назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [ 219 ] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


219

дение, являющееся частным случаем теоремы Ричардсона (см. 1.2.6). Вопросы существования несколько модифицированных решений Ричардсон рассмотрел в работе [3].

2. В п. 66.3 фон Нейман и Моргенштерн пытаются обойти предположение о трансферабельности полезности. Они вводят области индивидуальных полезностей °lLi для каждого игрока i и °ll (Т) для каждой коалиции Г, предвосхищая тем самым те результаты, которые были получены совсем недавно (см. III.3.11).

3. Важным предположением всей теории является условие безграничной делимости полезности. Отказ от этого условия приводит к разнообразным последствиям: в п. 65.9.2 указывается на возможность аппроксимации игры с непрерывными множествами дележей и многочисленными решениями игр с дискретным множеством дележей и единственными решениями у каждой игры.

Ограниченную делимость полезности можно интерпретировать как ограниченность различения полезности субъектом, т. е. как ограниченность (в известном смысле) информации, которой располагает субъект относительно своих полезностей. Учет такой неполноты информации есть результат последовательного теоретико-игрового подхода к вопросу. Как и следовало ожидать, оказывается, что (см. п. 67.3) игрок, более тонко различающий полезности, оказывается в выигрыше.



Глава III

ТЕОРИЯ ИГР-РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ

За время, прошедшее с момента выхода в свет монографии «Теория игр и экономическое поведение», теория игр разрослась в обширную дисциплину; ей посвящено значительное число монографий, о которых достаточно обстоятельно говорится в предисловии О. Моргенштерна к данному изданию, а также огромное количество статей (библиография, составленная в 1959 г. Д. Томпсон и Дж. Томпсоном [1], уже насчитывала 1009 названий).

Для современной теории игр характерно разнообразие отдельных направлений. Это вполне естественно, так как принятие решений в условиях конфликтов, равно как и в условиях неопределенности, является весьма сложным объектом, к изучению которого можно подходить с самых различных сторон. Поэтому описание или хотя бы систематизация всех результатов, полученных в области теории игр, практически невозможна. В этой главе будут разобраны основные направления в теории игр и приведены наиболее типичные результаты.

Так как мы говорим здесь о теории игр как о разделе математики, мы не будем касаться разнообразных приложений теории игр, несмотря на их интерес и поучительность.

§ 1. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

1. К настоящему времени матричные игры теоретически изучены достаточно хорошо. Боненбласт, Карлин и Шепли [1] выяснили возможное расположение многогранников оптимальных стратегий игроков в матричных играх в симплексах всех их смешанных стратегий, указав необходимые соотношения для размерностей тех и других. Они же указали способ построения матричной игры с заданным решением. Исследование этого последнего вопроса было завершено в работе Гейла и Шер-мана [1], которые охарактеризовали множество пар выпуклых многогранников, которые могут быть множествами оптимальных стратегий игроков в некоторой матричной игре, а также нашли способ описания всех игр с заданными множествами оптимальных стратегий игроков. Множественность решений, обычно присущая играм, для матричных игр является в некотором смысле исключением. Боненбласт, Карлин и Шепли [1] установили, что множество всех т X тг-игр, имеющих единственные решения, открыто и всюду плотно в яш-мерном евклидовом- пространстве всех т х тг-игр.

Весьма интересные исследования, касающиеся общих комбинаторных свойств седловых точек в матрицах, были выполнены Шепли [6].

2. Проведенные в п. 18.2 книги фон Неймана и Моргенштерна рассуждения показывают, что охват единой формулой решения матричных игр даже в простейших случаях практически невозможен. Отсюда естественным образим намечаются два пути для нахождения решений игр.



Во-первых, можно пытаться выделять те или иные классы матричных игр,, зависящих от небольшого числа параметров (см. по этому поводу сказанное в II.4.2). Решения для таких классов игр (впрочем, довольно узких и немногочисленных) можно найти в книгах Карлина [3] и Дрешера [1].

Во-вторых, можно строить алгорифмы нахождения всех (или хотя бы некоторых) решений произвольной матричной игры.

Первый такой алгорифм, имеющий также и общетеоретическое значение, нашли Шепли и Сноу [1]. Сущность его описывается следующей теоремой.

Пусть X и Y - оптимальные стратегии игроков I и II в игре с матрицей выигрышей А, значение которой отлично от нуля. Тогда для того, чтобы X и Y были крайними точками (вершинами) соответствующих многогранников оптимальных стратегий, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая невырожденная г х г-подматрица В матрицы А, что

*.-jJ!. -Тту *<A-j£& <">

(здесь Хв и YB означают те части векторов X и У, которые составлены из компонент, отвечающих строкам или столбцам матрицы А, участвующим в образовании ее подматрицы В; Jr - г-мерный вектор, все компоненты которого равны единице).

Так как каждая конечная матрица содержит лишь конечное число подматриц, последовательное рассмотрение всех подматриц А, составление векторов Хв и YB согласно формулам (1) и проверка их на «страте-гичность» и оптимальность приводят в результате выполнения конечного числа операций к нахождению всех вершин многогранников оптимальных стратегий. Отсюда, переходя к выпуклым комбинациям, можно получить и все вообще оптимальные стратегии.

3. Весьма интересный, основанный на дифференциальных уравнениях способ приближенного нахождения оптимальных стратегий игроков в матричной игре предложили Браун и фон Нейман [1].

Пусть А - кососимметрическая n X ?г-матрица (рассмотрение, игр только с кососимметрическими матрицами выигрышей общности рассмотрений не умаляет). Тогда оптимальной стратегией каждого из игроков является каждая из предельных точек решения системы дифференциальных уравнений

= Ф, (*)-*, 2 Ф,(*) (2)

при произвольных начальных условиях (#£, для которых

Фг (х) = max {0, 2 axj}.

К сожалению, на практике даже численное решение системы (2) представляет большие трудности.

4. Еще один путь нахождения хотя бы одной стратегии каждого из игроков, предложенный Брауном и строго обоснованный Дж. Робинсон

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [ 219 ] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]