•{в п. 44.4) позволяет в дальнейшем построить более естественный (хотя и существенно более громоздкий) вариант теории.

3. Введение эксцесса (п. 44.5 и след.) для обобщенных дележей развивает представление о дележе как о возможности, альтернативной к фактическому участию в игре с тем или иным поведением в ней. Поэтому крупный отрицательный эксцесс стимулирует участие игроков в игре даже без кооперирования. Крупный же положительный эксцесс предоставляет игрокам дележи более предпочтительные, чем их возможные выигрыши (даже в условиях образования коалиций). Так исследование вопроса о разложении игр с нулевой суммой приводит к необходимости изучения игр с нулевой суммой.

Заметим, наконец, что рассмотрение отделенных (соответственно вполне отделенных) дележей, по существу, предвосхищает введение в дальнейшем понятия ядра для характеристической функции (см. III.3.8).

§ 10. ПРОСТЫЕ ИГРЫ

1. Наиболее наглядно характеристические функции простых игр определяются в 0-1-редуцированной форме (см. II.6.4) как такие характеристические функции, которые принимают лишь значения 0 и 1. При этом коалиция S с v (S) =1 является выигрывающей, а с v (S) =0 - про-лгрывающей. В простых играх кооперативный аспект игры достигает наиболее четкого выражения: в них, как остроумно замечают фон Нейман и Моргенштерн, имеется только один вид выигрыша.

Важный класс простых игр составляют взвешенные мажоритарные игры, в которых каждому игроку i приписывается некоторый вес wt и выигрывающими объявляются те и только те коалиции *S, для которых

2 wt > 4" 2 wi- Каждая такая игра обозначается через [wt, . . .

. . ., wn]. Оказывается, что все простые игры с числом игроков, не превосходящим 5, являются взвешенными мажорантными играми (при большем числе игроков это уже не так).

2. Эвристические рассуждения приводят авторов к выделению некоторых специфических решений простых игр, которые они называют главными. Идея главного решения состоит в том, что приемлемыми следует считать такие дележи, в которых члены некоторой минимальной выигрывающей коалиции делят между собой единицу (считая, что игра дана в 0-1-редуцированной форме). Фактическое получение главного решения оказывается, однако, весьма сложным как логически, так и технически. Дальнейшее развитие этих идей содержится в статье Исбелла [1].

Теория простых игр оказалась математически весьма содержательной. О полученных в этом направлении результатах см. III.3.7.

§11. ОБЩИЕ ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Отказ от постоянства суммы выигрышей игроков (и тем более от обращения ее в нуль) приводит фон Неймана и Моргенштерна к необходимости расширения построенной ранее теории. В принципе это можно сделать различными путями.

Первый из них связан с радикальным отказом от сведения игры к ее характеристической функции и с возвращением к первичному понятию теории игр - функции выигрыша. Однако на этом пути возникает необходимость установить существенно более общие принципы рационального

поведения игроков, чем те, которые положены в основу теории антагонистических игр. Начала соответствующей теории появились в работе Нэша [2], а достаточно полного представления о «решении» игр в этом смысле нет до сих пор.

Второй путь основан на формальном распространении результатов теории характеристических функций на функции, обладающие лишь свойствами нормированности и супераддитивности:

*>(0)=О, (1)

v (S [J Т) v (S) + v (Т) для любых непересекающихся коалиций S и Т. (2) Очевидно, здесь можно определить понятие дележа как вектора а - (а4, ап), для которого

(О» 2« ==*>С0>

и на его основе - понятия доминируемоспги дележей и решения.

На этом пути существенно ослабляется связь с исходным стратегическим аспектом проблемы: значение характеристической функции превращается из значения реальной антагонистической игры в значение некоторой фиктивной игры и даже в чисто нормативную характеристику коалиции.

Заметим здесь же, что, как показал Джиллис [2], формально можно отказаться и от условия супераддитивности (2): для произвольной (т. е. не обязательно супераддитивной) характеристической функции можно указать такую супераддитивную характеристическую функцию, что между дележами в первой и во второй устанавливается однооднозначное соответствие, сохраняющее доминирование.

2. Фон Нейман и Моргенштерн выбирают второй путь, но с целью сохранения содержательного смысла характеристической функции предпринимают обходной маневр. По каждой общей игре (т. е. игре с переменной суммой выигрышей Г) они строят некоторую игру с нулевой суммой Г, которую можно назвать расширением первоначальной игры Г до игры с нулевой суммой и которая должна воспроизводить все ее основные стратегические и кооперативные черты.

Переход от игры Г к ее расширению до игры с нулевой суммой Г достигается включением в Г дополнительного фиктивного игрока, обладающего единственной стратегией и автоматически поглощающего в любой ситуации всю алгебраическую сумму проигрышей всех остальных игроков.

Характеристическую функцию игры Г можно определить на основании ранее разработанной теории. После этого, ограничивая полученную характеристическую функцию на множестве одних только реальных игроков, мы приходим к характеристической функции игры Г, обладающей свойствами (1) и (2).

С чисто стратегической точки зрения какой-либо разницы между исходной игрой Г и полученным ее расширением Г нет: в обеих играх стратегические возможности игроков одни и те же, и одинаковое их использование приводит к одинаковым результатам. Однако в кооперативном плане эти игры существенно отличаются друг от друга. Поскольку фиктивный игрок может получить больший или меньший выигрыш, он наделяется некоторыми интересами. Для осуществления своих целей он может вступать с другими, реальными игроками в соглашения, компенсируя те убытки, которые они могут понести, увеличивая его в ыигрыш. Это представляется тем более правдоподобным, что и стратегические

возможности реальных игроков после перехода к характеристической функции игры практически утрачивают свое значение, и в этом смысле реальные игроки сами превращаются в фиктивных. Такое уравнивание, в правах фиктивного игрока с реальными достаточно наглядно показано в примере п. 56.4.1.

Так как, однако, игра Г призвана моделировать игру Г, ее следует рассматривать лишь частично, допуская в ней только те возможности игроков, которыми они обладают в Г.

Это достигается надлежащей модификацией понятия доминирования (сводящейся к тому, что эффективность каждого множества понимается как эффективность подмножества всех его реальных игроков) и основанного на нем модифицированного понятия решения (п. 56.12). В этом новом решении участвуют только такие дележи, в каждом из которых фиктивный игрок п + 1 получает лишь и (п + 1). Таким образом, в решениях исходной игры Г кооперативные возможности фиктивного игрока исключаются.

3. Зависимость выигрышей каждого из игроков от стратегий, выбранных остальными игроками, составляет существо теории игр. Поэтому весьма интересны те случаи, когда эта зависимость имеет место не в полной мере. Фон Нейман и Моргенштерн в п. 57.4 выделяют крайний случай отсутствия такой зависимости, вводя понятие устранимого множества. Авторы указывают на устранимость любого двуэлементного множества в существенной игре трех лиц. Этот факт представляется парадоксальным, и поэтому мы приведем здесь соответствующий пример.

Пусть игрок 1 располагает двумя стратегиями, а множества стратегий игроков 2 и 3 произвольны. Если 1 играет первую стратегию, то независимо от стратегий, выбираемых игроками 2 и 3, он сам, равно как и 3, получает нулевой выигрыш, а игрок 2 - единицу. Если же 1 выбирает вторую стратегию, то во всех ситуациях единицу получает 3, а 1 и 2 получают нули.

Это - существенная игра трех лиц и притом в 0-1-редуцированной форме, причем множество игроков {2, 3} является устранимым.

4. Последние четыре параграфа гл. XI фон Нейман и Моргенштерн посвящают экономическим интерпретациям некоторых простейших фактов кооперативной теории игр. Здесь следует еще раз подчеркнуть, что содержанием этих разделов книги является не описание тех или иных экономических явлений как таковых и даже не их моделирование в рамках теории игр, а лишь истолкование на экономическом языке отдельных теоретико-игровых утверждений. Авторы говорят о различных видах рынков: с одним-продавцом и одним покупателем (§ 61), с одним продавцом и двумя покупателями (§§ 62 и 63) и, наконец,, с I продавцами и т покупателями (§ 64). В действительности же они ограничиваются рассмотрением лишь актов купли - продажи, рассматривая подробно тот случай, когда возможна только одна сделка. Ясно, что такой теоретико-игровой анализ описывает не упоминаемые явления в их полном объеме, а лишь отдельные их черты.

§ 12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ ДОМИНИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ

1. Различие вариантов понятий доминирования и решения дает авторам повод рассмотреть этот вопрос в абстрактном виде, не фиксируя природы дележей и приняв в качестве доминирования произвольное отношение на их множестве. В частности, они доказывают (в п. 65.8.2) утверж-