назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [ 217 ] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


217

*) Игрок i называется «болваном», если для любой коалиции S такой, что i (£ S, имеет место и (S \J i) = v (S) + v (i).

3° Если игрок j -«болван» *), то

ф. (р) =v(i).

4° Для любых двух характеристических функций vt и v2

(нетрудно убедиться в том, что сумма Vy + и2 двух характеристических функций в свою очередь является характеристической функцией).

Эта система аксиом является непротиворечивой и полной. Именно -справедливо следующее утверждение: для каждой характеристической функции v существует один и только один вектор значений Ф (у); компоненты этого вектора определяются равенством

(*\S\ - число элементов во множестве S).

Данное утверждение можно интерпретировать следующим естественным образом. Пусть имеется некоторая перестановка игроков qr. {ф1, . . . . . ., ф/г). На некотором месте в этой перестановке находится игрок i. Положим i = ф& и *У = {ф1, ф&}. Тогда разность

v(S) - v(S\i) = A(v, i, ф)

можно рассматривать как приращение значения характеристической функции и за счет присоединения к коалиции S \ i игрока i в условиях перестановки ф. Очевидно, при различных перестановках ф это приращение также может быть различным. Шепли доказал следующую теорему: значение Фг (v) есть математическое ожидание приращения A (v, £, ф), если асе перестановки ф являются равновероятными.

В одной из последующих работ [5] Шепли распространил этот подход на некоторый класс игр с бесконечным множеством игроков, получив весьма интересные результаты.

4. Фон Нейман и Моргенштерн систематически пользуются редуцированной формой характеристической функции, для которой v (i) = - 7, -а и (/) = 0, принимая обычно 7 = 1. Такие .характеристические функции принято теперь называть -1-О-редуцированными характеристическими функциями. Иногда картина получается более наглядной, если перейти к 0-1-редуцированной форме характеристической функции, при которой 7 (£) = 0, а 7(7) = 1. Ясно, что от одной из этих форм можно перейти к другой при помощи преобразования стратегической эквивалентности.

§ 7. ИГРЫ ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. В отличие от игр трех лиц, составляющих лишь два класса стратегически эквивалентных игр, игры четырех лиц являются весьма разнообразными. Среди них имеется континуальное множество классов стратегической эквивалентности, естественным образом описываемых точками куба. Фон Нейман и Моргенштерн находят решения для игр, соответствующих некоторым областям этого куба. Полные множества решений указываются ими лишь для вершин куба. х



Типы решений, которые при этом обнаруживаются, весьма разнообразны. Достаточно подчеркнуть, что на главной диагонали куба, лежащей на прямой Xt = х2 = х3, каждому из участков -1 < х{ -1/5, -1/5 < < х < 0, 0 < Xi < 1/9, 1/9 < Xi < 1/3, 1/3 < Xi < 1 соответствуют решения различного вида.

Авторы предполагали в последующей публикации (см. сноску на стр. 320) подробно изложить все полученные ими результаты, но это намерение не было осуществлено.

2. Непосредственное продолжение исследований фон Неймана и Мор-генштерна в области теории игр четырех лиц было предпринято Миллсом [1]: он перечислил все решения игр, соответствующих точкам ребер куба, и указал некоторые свойства игр, соответствующих точкам его граней.

Исчерпывающий анализ ряда вопросов, касающихся игр четырех лиц с нулевой суммой, рассматриваемых как игры с квотой, принадлежит Шепли [2] (см. Ш.3.6).

§ 8. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ СЛУЧАЯ

УЧАСТНИКОВ

1. Таблица 24 из п. 39.2.3 (см. стр. 345) является весьма впечатляющей. Она отбивает всякую охоту заниматься каталогизацией решений игр пяти лиц (классы стратегически эквивалентных игр пяти лиц составляют десятипараметрическое семейство!). Даже классы симметрических игр пяти лиц образуют континуальное семейство, хотя и однопараметриче-ское. Здесь уместно напомнить то прискорбное обстоятельство, что неизвестно, все ли игры пяти лиц обладают решениями.

В этом месте становится особенно ясной необходимость перехода от систематического описания игр с небольшим числом участников к разработке общей теории типа «исчисления игр», в которой изучение свойств одних игр сводилось бы к изучению свойств других игр, в том или ином смысле более просто устроенных. Первый пример такого сведения встретился в п. 35.2, где игра четырех лиц «распадалась» на игру трех лиц и отдельно стоящего «болвана». Второй пример - проведенная в п. 40.3 аналогия между симметрическими играми пяти лиц и играми четырех лиц, соответствующих точкам на главной диагонали куба. Одно из возможных направлений развития этих идей изложено в гл. IX.

Другой путь состоит в выделении тех или иных классов игр, обладающих свойствами, способствующими их классификации и анализу. (Уже ясно, что фиксированное число игроков к этим свойствам не относится.) Один такой класс рассматривается в гл. X.

2. В п. 40.2.3 авторы высказывают весьма интересное соображение о задании игр путем формулирования целей игроков по вступлению в коалиции. Это открывает некоторые перспективы сведения неясного и описательного кооперативного аспекта игры к более четкому и формализованному аспекту - стратегическому. Важный шаг в этом направлении сде-ланавторами в § 26.

§ 9. КОМПОЗИЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ ИГР

1. В гл. IX фон Нейман и Моргенштерн вводят на множестве всех игр (впрочем, здесь особенно было бы уместно говорить не о множестве игр, а о множестве всех характеристических функций) операцию композиции. Как и всюду в книге, авторы избегают явных указаний на



математические (в данном случае - на алгебраические) аналогии, и лишь ссылка на книгу Биркгофа и Маклейна (на стр. 353) указывает на те алгебраические ассоциации, которых не могло не быть у авторов и которыми они, быть может, даже руководствовались.

Конструкция композиции игр весьма напоминает прямые произведения групп, аннулирующие суммы полугрупп, ортогональные произведения пространств - словом, те образования, в которых элементы из различных компонент взаимодействуют друг с другом наиболее простым образом. Для игр наиболее простым взаимоотношением между игроками является бесцельность коалиций между ними (что формально выражается аддитивностью соответствующих значений характеристической функции).

2. В п. 44.3.2 затрагивается важный вопрос о соотношении между формально получаемыми математическими утверждениями, с одной стороны, и требованиями «здравого смысла», с другой. Авторы склонны; (в данном месте, во всяком случае) приписать здравому смыслу роль критерия истины, упуская из виду его неизбежную ограниченность, а порой н субъективность.

В действительности требования здравого смысла играют существенную роль при фиксации основных положений математической теории. Если же парадоксальные выводы теории будут противоречить здравому смыслу, то не следует априори считать, что это обстоятельство опровергает теорию: быть может, оно свидетельствует лишь о необходимости пересмотреть или хотя бы уточнить представления здравого смысла. Современный научный здравый смысл отлично уживается с некоммутативными операциями, с неевклидовой геометрией, релятивистской механикой и т. д.

Например, несправедливость в отдельных случаях утверждения (44:D) противоречит здравому смыслу ничуть не больше, чем, скажем, возможность появления автоморфизмов прямого произведения групп, не являющихся произведениями автоморфизмов прямых сомножителей. Кроме того, в данном случае оказывается, что и «интуитивно правдоподобное» утверждение (44:В:а) является неверным.

Сказанное не может умалить педагогической роли здравого смысла, особенно для таких молодых дисциплин, как теория игр, обладающих притом широкими областями применения. Появление на ранних стадиях логического развития теории результатов, противоречащих общепринятым, наглядным представлениям, может лишь напрасно дискредитировать теорию. Можно надеяться, что со временем утверждения теории игр (касающиеся, например, решений в кооперативной теории) будут поддаваться объективной экспериментальной проверке. Первые шаги в этом направлении уже делаются (см., например, статьи Калиша, Милнора, Нэша и Неринга [1], Льюса [1], Машлера [2] и содержащий обширную библиографию обзор Фурейкера [1], а из последних работ - сообщение Фюрста [1]), однако говорить о систематическом экспериментировании в теории игр покаеще рано. Поэтому вполне понятно, что как здесь, так и в других многочисленных местах фон Нейман и Моргенштерн не упускают случая подчеркнуть согласие выводов теории игр со здравым смыслом.

Вместе с тем расхождение теоретических выводов с представлениями здравого смысла иногда дает повод, не подвергая сомнениям справедливость теории, модифицировать последнюю в направлении обобщения так, чтобы охватить ее выводами и те интуитивные соображения, которые первоначально в нее не укладывались. Так, недостаточная естественность выводов о решениях композиции игр происходит из-за накладываемого на игры ограничения нулевой суммы. Снятие этого ограничения

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [ 217 ] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]