назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [ 216 ] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


216

§ 5. ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Начиная с пятой главы, фон Нейман и Моргенштерн покидают чисто стратегическую почву и вводят в рассмотрение кооперативный аспект проблемы. При этом результаты анализа оказываются, по существу, менее полными, чем в антагонистическом случае. Решение антагонистической игры, существование которого для конечного случая было установлено в гл. III, указывает на некоторый способ действий, обеспечивающий игроку уверенный выигрыш (равный значению игры). В рамках кооперативной теории получение такого или аналогичного результата уже не удается: игрок выигрывает указываемую теорией сумму не форсированно, опираясь лишь на собственные возможности, а условно, при определенном поведении некоторых других участников игры. Таким образом, даваемые теорией условия осуществимости целей (в том числе их количественные характеристики) оказываются необходимыми, но недостаточными.

Наоборот, в игре (существенной) трех лиц все выигрывающие (т. е. двуэлементные) коалиции получают один и тот же выигрыш, а все проигрывающие (одноэлементные) терпят один и тот же ущерб. Таким образом, в игре трех лиц кооперативный аспект выступает в своем наиболее чистом виде: целью игрока является вступление в выигрывающую коалицию. Эта идея подробно развивается в гл. X, посвященной простым играм. Существенная игра трех лиц является простой Ы притом мажоритарной, см. § 50).

2. Принципиально новыми и важными оказываются понятия дележа и решения, как некоторого множества дележей. По существу, каждый дележ можно рассматривать как дилемму, стоящую перед игроками: получать ли им суммы, предусматриваемые дележом, или же обратиться к игре для получения своего выигрыша в ней. Дележ можно считать «справедливым», если обе эти возможности для игроков равноценны. В этом отношении справедливый дележ играет роль, сходную со значением антагонистической игры: для игрока безразлично, участвовать ли в игре (в качестве первого игрока) или же получить значение игры непосредственно.

3. Дележ можно понимать как исход игры, предлагаемый игрокам со стороны некоторого внешнего по отношению к данной игре субъекта. Возможными действиями этого субъекта являются различные дележи, а целью - принятие предлагаемого им дележа. Если имеется несколько таких субъектов, то цели их, очевидно, будут различными, и, дав этим целям ту или иную количественную оценку, мы приходим к некоторой игре, которую по отношению к исходной игре будем называть метаигрой. Ее участников назовем метаигроками. Метаигрока можно интерпретировать как лицо, вносящее на рассмотрение всего коллектива игроков некоторый проект, затрагивающий интересы каждого игрока. Грубо говоря, цель метаигрока определяется предложением с его стороны доминирующих и недоминируемых дележей.

Поскольку в игре трех лиц два дележа не могут одновременно доминировать друг друга, антагонистическая метаигра в этих условиях строится весьма просто: если а и р - дележи, выбранные соответственно метаигроками I и II, то

{1 при а>р, -1 при а<р, 0 в остальных случаях.



Нетрудно проверить, что эта метаигра совпадает с бесконечной игрой, описанной Борелем (см. 1.4.2). Ее решение было найдено А. И. Соболевым [1].

§ 6. ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ, ИГРЫ П ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

1. Основным понятием кооперативной теории является понятие характеристической функции, определяемой на множестве всех коалиций. Система соотношений (25:3:а), (25:3:Ь) и (25:3:с), выражающая основные свойства характеристических функций, по существу является системой аксиом, описывающих естественные свойства тех возможностей, которыми каждая коалиция располагает в наименее благоприятных условиях, именно когда все игроки, не входящие в коалицию, совместно выступают против нее.

Эта аксиоматика соответствует основным представлениям теории игр, ибо функция, значениями которой являются значения антагонистических игр коалиций против их дополнений, ей удовлетворяет. Вместе с тем аксиоматика является и полной в том смысле, что никаких «общезначимых» утверждений (т. е. справедливых во всех игровых интерпретациях), не зависящих от перечисленных аксиом, нет. Это доказывается в § 26 путем указания способа построения игры с произвольной заданной характеристической функцией.

По существу, все дальнейшее содержание монографии4 касается не игр, а характеристических функций. Поэтому можно было бы всюду далее (за исключением немногих отдельных мест) заменить термин «игра» термином «характеристическая функция». Авторы не делают этого, так как ограничиваются изучением лишь тех свойств игр, которые проявляются в их характеристических функциях.

2. Основной задачей кооперативной теории является формализация перехода от заданных возможностей каждой коалиции к индивидуальным возможностям игроков. При этом начинает использоваться предположение о том, что получаемые игроками и коалициями полезности могут неограниченно передаваться другим игрокам и коалициям, не изменяясь при этом даже количественно. Иными словами, задача состоит в построении по характеристической функции игры такого дележа или таких дележей, которые при данных условиях были бы в том или ином смысле естественными, «справедливыми».

Разумеется, решение этой задачи зависит от тех аксиом справедливости, которые при этом будут постулированы.

Фон Нейман и Моргенштерн фактически предлагают систему из трех аксиом, задающих множество дележей V, называемое ими решением игры:

1° Для любого дележа (аь . . ., ап)

2«. = 0.

2° Никакие два дележа, принадлежащие решению V, не доминируют *) друг друга (аксиома внутренней устойчивости).



3° Каков бы ни был дележ ос, не принадлежащий V, существует дележ р, принадлежащий V, который доминирует ос.

Определенные таким образом решения оправдывают свое название с точки зрения естественности. Чисто математически теория решений является весьма содержательной. О некоторых результатах, полученных в этом направлении, см. в III.3.3 - III.3.7.

Однако сведение анализа игры (хотя бы в виде своей характеристической функции) к нахождению и рассмотрению ее решений нельзя признать исчерпывающим.

Во-первых, за исключением тривиальных («несущественных») игр, решение должно состоять более чем из одного дележа. Это сильно обесценивает нормативное содержание понятия решения, так как даже найденное решение не указывает, какие выигрыши игроки получат в результате игры.

Во-вторых, многие игры (в том числе уже простейшие из существенных - нулевые игры трех лиц) обладают многими решениями. Поэтому было бы желательно дополнить приведенную аксиоматику указаниями на выбор какого-либо определенного решения.

Кун и Таккер [2] ссылаются на следующее свидетельство Вольфа о высказывании фон Неймана спустя десятилетие, как руководителя дискуссии «круглого стола» 1 февраля 1955 г. в г. Принстоне: «Фон Нейман подчеркнул, что исключительное разнообразие решений, которые можно получить для игры п лиц, не было неожиданным ввиду соответствующего исключительного разнообразия наблюдаемых устойчивых социальных структур; много различных соглашений могут оставаться неизменными, не имея для своего сохранения сегодня более основательных причин, чем тот факт, что они имели место вчера. Поэтому все еще весьма важно решение общего вопроса о существовании решения для произвольной игры п лиц».

Наконец, в-третьих, ответ на упомянутый фон Нейманом вопрос оказался отрицательным. Совсем недавно Льюкас [1] привел пример игры десяти лиц, не обладающей решением. Таким образом, оказывается, что аксиоматика решения не вполне соответствует аксиоматике характеристической функции.

Доказательства разрешимости для достаточно широких классов игр являются довольно сложными. Фон Нейман и Моргенштерн установили (см. п. 60.4.2), что любая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет хотя бы одно решение. Однако уже для случая игр пяти лиц с нулевой суммой вопрос остается открытым.

3. Шепли [1] предложил иную систему аксиом, свободную от перечисленных недостатков. Он по-прежнему рассматривает дележи, т. е. векторы, удовлетворяющие аксиоме 1° из предыдущего пункта. Далее, для каждой характеристической функции v он из всех дележей выбирает такие дележи

Ф(и) = (Ф1(и), Фп(и)),

называемые им векторами значений игры, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

2° Для каждого автоморфизма *) ф характеристической функции и Фф; (») = ф* (»)

*) Определение автоморфизма (симметрии) характеристической функции см. на стр. 276.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [ 216 ] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]