назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [ 214 ] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


214

§ 2. ОБЩЕЕ ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ИГР

1. Фон Нейман и Моргенштерн в своей монографии воспроизводят и детализируют первоначальное определение стратегической,игры, введенной фон Нейманом в статье [1]. Это определение оказывается весьма емким: большинство появившихся впоследствии работ по теории игр* касаются игр именно в этом понимании слова, быть может, несколько* уточненном или обобщенном, но мало измененном по существу.

Именно эти игры получили впоследствии наименование бескоалиционных и оказались одним из наиболее широких по объему классов игр. Об исследованиях, касающихся бескоалиционных игр,, см. III.4.

2. Однако с более широкой точки зрения некоторые пункты в приводимом определении представляются излишне ограничительными.

Прежде всего, фон Нейман и О. Моргенштерн целью каждого участника игры считают получение им индивидуального выигрыша. Даже в тех случаях (рассматриваемых кооперативным вариантом теории), когда игроки объединяются в коалиции для совместных действий, они делают это для того, чтобы, получив на всю коалицию некоторый суммарный выигрыш, разделить этот выигрыш между собой.

Вместе с тем в экономической и социальной действительности нередко наблюдается, что получаемый коалицией выигрыш принадлежит этой коалиции как таковой и не подлежит дальнейшему разделению между игроками, участвующими в коалиции. В частности, может оказаться,, что один и тот же игрок одновременно участвует в двух или более различных коалициях, интересы которых не совпадают. Ясно, что теория игр,, претендующая на достаточно полный анализ противоречий в интересах, различных сторон, должна отражать и этот аспект проблемы. К этому вопросу мы еще вернемся в III.4.7.

Далее, в связи с трактовкой теории игр как математической теории принятия решений в условиях неопределенности возникает критическое» отношение к одному из основных положений теории игр, состоящему в том, что игроки полностью знают условия (правила) той игры, в которой они. участвуют.

С содержательной точки зрения знание игроком игры означает выполнение двух условий: 1) каждый игрок знает ту цель, к которой он стремится, и 2) каждый игрок отдает себе полный отчет о последствиях,, к которым приводит выбор им той или иной стратегии.

Формально, однако, принципиальной разницы между этими условиями нет, и математическая трактовка игр, в которых не выполняется первое или второе из этих условий (или они оба), может быть осуществлена, по некоторой единой схеме. Такие игры естественно назвать неопределенными. Начала теории неопределенных игр содержатся в работе? Н. Н. Воробьева [5].

Наконец, фон Нейман и Моргенштерн предполагают конечность множества игроков в каждой игре. Хотя в будущем игры с бесконечными множествами игроков, несомненно, будут изучаться по меньшей мере* так же интенсивно, как и игры с конечными множествами игроков, однако* до сих пор играм с бесконечными множествами игроков посвящены лишь, работы Шепли [5], Дэвиса [1], а также Калиша и Неринга [1].

3. Как и в статье фон Неймана [1], общее определение игры дается в позиционной форме. Это не только соответствует реальному протеканию* большинства игр (как игр в буквальном смысле слова, так и моделируе-



мых играми конфликтов или процессов принятия решений), но и отражает тот факт, что игрок в процессе игры принимает свои решения на основе-информации, которой он располагает и которая в ходе игры может изменяться. В частности, изменяться может и имеющаяся у игрока информация о его собственных прошлых информационных состояниях и о тех решениях, которые он в них принимал. Это последнее обстоятельство* описывается в монографии в терминах «предварения» и «предшествования». В дальнейшем эти рассуждения послужили отправной точкой для исследования Куна [1] и последующих работ, о которых см. в III.5.2.

4. Включение в игру случайных ходов позволяет рассматривать игры, являющиеся одновременно стратегическими и азартными. Представление множества позиций в виде ориентированного графа показывает,, что комбинаторный аспект также охватывается общим определением стратегической игры.

То, что авторы ограничиваются случаем дискретного множества ходов, с теоретико-игровой точки зрения не представляется особенно принципиальным, хотя, конечно, переход к непрерывному множеству ходов, наблюдаемому, например, в дифференциальных играх (см. III.5.7), и сопряжен со значительными трудностями.

5. Стратегии вводятся фон Нейманом и Моргенштерном в процессе «окончательного упрощения» задания игры, приводящего к определешпо игры в нормальной, т. е. в чисто стратегической форме. Хотя такое упрощенное задание в действительности эквивалентно первоначальному, однако, по видимости, оно представляется описанием более частного объекта: именно игры, в которой каждый игрок делает лишь один ход,, и притом в полном неведении о том, какой ход сделал каждый из остальных игроков. Это дало повод авторам в дальнейшем (п. 12.1.1) говорить о позиционной игре как об extensive form of the game (среди буквальных русских переводов этого термина встречаются «игры в обобщенной форме»,, «в развернутой форме» и даже «в расширенной форме»).

Вместе с тем по существу позиционные игры являются более конкретными объектами, чем игры в нормальной форме. В самом деле, основное понятие в стратегической игре есть понятие стратегии. В играх в нормальной форме стратегии игрока лишены каких бы то ни было содержательных свойств, являясь просто элементами некоторого абстрактного множества. В позиционных же играх стратегии выступают как функции на множестве всех информационных состояний игрока, т. е. как объекты существенно более конкретной природы, наделенные индивидуальными свойствами.

Сказанное определяет и целесообразность использования в одних случаях задания игр в нормальной форме, а в других - в позиционной форме. Как отмечают авторы в п. 12.1, рассмотрение игр в нормальной форме удобно при доказательстве общих теорем, относящихся к целым классам игр, при формулировках общих принципов оптимального поведения игроков и т. п. Играми в позиционной форме предпочтительно пользоваться, когда целью является выяснение особенностей поведения игроков в данной игре, при установлении возможных редукций стратегий и т. д. Отметим вместе с тем, что фактическое решение игр, т.* е. нахождение оптимальных (или, в ином смысле, целесообразных) стратегий игроков в той или иной конкретной игре, до сих пор, за исключением некоторых весьма специфических случаев, удавалось только для игр в нормальной форме. , к , л



§ 3. ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. ТЕОРИЯ

1. В п. 12.2 фон Нейман и Моргенштерн рассматривают игры с единственным игроком. С математической точки зрения нахождение рационального поведения участника такой игры состоит в решении некоторой задачи максимизации и не представляет теоретико-игрового интереса.

2. Игры двух лиц с нулевой суммой, т. е. антагонистические игры, являются простейшими в теоретико-игровом смысле. В них конфликты двух сторон выступают в непосредственно стратегическом виде и не осложняются какими-либо соображениями, касающимися вступления игроков в коалиции или обмена информацией между ними.

В самом деле, в антагонистической игре выигрыши двух игроков равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому, если некоторые совместные действия игроков полезны для одного из них, т. е. приводят к увеличению его выигрыша, то тем самым они уменьшают выигрыш другого игрока, т. е. нежелательны для него. Значит, для того чтобы игроки были готовы в том или ином пункте выступать совместно, необходимо, чтобы эти их действия не приносили выгоды ни одному из игроков. Но тогда такие действия вообще не будут оказывать какого-либо эффекта на исход игры и их можно вовсе исключить из рассмотрения.

Антагонизм в математическом, теоретико-игровом смысле, понимаемый как равенство по величине и противоположность по знаку, существенно отличается от одноименного философского понятия. Это следует иметь в виду при обсуждении возможных путей моделирования играми реально встречающихся конфликтов или, наоборот, содержательных интерпретаций теоретико-игровых конструкций. В частности, достаточно адекватное моделирование социальных или военных конфликтов антагонистическими играми удается лишь в отдельных случаях. Дело в том, что в таких конфликтах каждая сторона обычно преследует свои собственные цели, а нанесение ущерба сопернику является лишь способом достижения цели или даже просто сопутствующим обстоятельством.

Между прочим, не следует смешивать антагонистичность конфликта с его остротой. Так, например, военно-тактическая ситуация, в которой участвуют с каждой стороны по одной единице сил, а цель стороны состоит в уничтожении единицы противника, не является антагонистической с теоретико-игровой точки зрения. В условиях антагонистического конфликта стремлению уничтожить противника противостоит стремление избежать собственного уничтожения.

Более подробное изложение этого круга вопросов см. в статье Н. Н. Воробьева [4].

3. В качестве руководящего принципа оптимального поведения участника антагонистической игры фон Нейман и Моргенштерн предлагают принцип максимина (минимакса). Применение этого принципа каждым из игроков приводит (с использованием в случае необходимости смешанных стратегий) к значению игры как к «справедливому» выигрышу первого игрока в ней. «Справедливость» выигрыша, равного значению игры, можно интерпретировать как право игрока на получение этой суммы вместо своего участия в игре. Вероятностный подход к полезностям позволяет рассматривать здесь математические ожидания выигрышей как реальные выигрыши.

Авторы обосновывают принцип максимина в результате весьма подробного анализа мажорантной и минорантной игр. Эти рассуждения носят, по существу, аксиоматический характер и могут быть вполне формализо-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [ 214 ] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]