назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [ 213 ] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


213

мальной теории, учитывающей только сохранившиеся после проведенной схематизации черты явлений.

Во-вторых, в книге нередко применяется экономическая терминология: в ней говорится о деньгах, монополиях, дуополиях, двусторонних монополиях и т. д. Что касается монополий, дуополий и пр., то их следует понимать здесь не как понятия из буржуазной политической экономии и даже не как обозначения тех или иных феноменов, которые на самом деле или хотя бы по видимости наблюдаются в капиталистической экономике. Этими терминами в книге обозначаются лишь определенные варианты столкновения противоречивых интересов. В какой мере эти варианты соответствуют действительным столкновениям экономических интересов в капиталистических условиях, авторы книги не описывают.

Несколько сложнее обстоит дело с деньгами. Под деньгами авторы понимают, как это говорится ими на стр. 34, «единый денежный товар», который предполагается «неограниченно делимым и заменяемым, свободно передаваемым и неизменным» даже в количественном смысле и «удовлет-воряемость» или «полезность» которого желательна для каждого участника.

Ясно, что этот аксиоматически определенный товар обладает не всеми свойствами денег. Ясно также, что и деньги не всегда и не в полной мере обладают перечисленными в определении свойствами. Вместе с тем этот товар «похож» на деньги в большей степени, чем на что-либо иное, и поэтому закрепление за ним названия денег удобнее, чем какого-нибудь другого. Впрочем, термин «деньги» употребляется авторами лишь в конкретных иллюстративных примерах. Во всех своих теоретических рассуждениях они предпочитают термин «полезность».

Наконец, в-третьих, отдаленными целями авторов, выходящими за рамки данной книги, действительно являются экономические приложения развиваемого ими математического аппарата. Но какими эти приложения в действительности окажутся и к каким экономическим выводам они приведут, авторы нигде не указывают, да и не имеют этого в виду.

В действительности теория игр имеет разнообразные экономические (равно как и иные) приложения. Однако в данной статье мы не касаемся прикладных вопросов.

2. Понятие полезности, как количественно измеряемого и безгранично делимого объекта, принадлежит к числу важнейших в теории игр. Существование такой полезности можно было бы провозгласить с самого начала в виде некоторой аксиомы,, подлежащей проверке в каждом отдельном случае. Однако, с одной стороны, такая проверка может вызывать затруднения, а с другой - сама констатация существования полезности, наделенной указанными свойствами, представляется недостаточно бесспорной. Поэтому фон Нейман и Моргенштерн предпочитают расчленить предъявляемые к полезности требования на отдельные более элементарные аксиомы.

Здесь следует указать на своеобразие аксиоматической трактовки большинства фундаментальных понятий теории игр. Обычно в формальных математических теориях аксиомы выбираются не столько по признаку их естественности, простоты и изначальности, сколько по дедуктивным соображениям: независимости, непротиворечивости, возможной полноты, обозримости, логической завершенности и т. п. Грубо говоря, этим объясняется малое число аксиом и большое число теорем в традиционных аксиоматических теориях.



В теории игр дело обстоит существенно иначе. Утверждения о существовании нужных объектов (в том числе, забегая несколько вперед, и принципы разумного поведения), которые принимаются «аксиоматиче-чески», не всегда выглядят достаточно правдоподобно (и тем более не всегда абсолютно правдоподобно) и потому не всеми разделяются. Поэтому возникает вопрос о формулировке «более первичных», «более правдоподобных» аксиом и о доказательстве на их основе тех или иных игровых принципов, которые первоначально принимались за исходные. При этом нередка ради доказательства единственной теоремы, из которой, по существу, и состоит вся теория, разрабатывается обширная аксиоматика.

Именно такая аксиоматика приводится авторами в п. 3.6, а существование требуемой «функции полезности» выводится из нее в Приложении (стр. 616-630).

3. Теория игр строится фон Нейманом и Моргенштерном как теория математических моделей конфликтов. При этом уже в простейших случаях выясняется роль информации, которой располагает игрок о поведении партнеров. Так, в случае антагонистической игры с функцией выигрыша Н (х, у) максимизирующий игрок, знающий выбор стратегии противника (например, в силу того, что делает свой выбор после него), получает уверенно min max Н (х, у), а в противоположном случае, т. е. не зная

У х

о противнике ничего, может рассчитывать лишь на max min Н (х, у),

х у

Вместе с тем с математической точки зрения совершенно безразлично, будет ли этот противник реальным субъектом, действующим сознательно и притом во вред нашему игроку, или же фиктивным, олицетворяющим лишь недостаточную осведомленность игрока о той обстановке, в которой ему приходится принимать свои решения. В качестве такого противника можно, например, рассматривать природу, закономерности которой к моменту принятия решения могут быть познаны недостаточно, или, скажем, вполне благожелательно настроенное к игроку лицо, руководствующееся, однако, в своих действиях неизвестными игроку критериями.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать также как математический аппарат, описывающий принятие решений в условиях неопределенности, которую естественно назвать стратегической неопределенностью. Систематически такой подход к теории игр (именно к антагонистическим играм) был изложен А. Вальдом в его книге «Статистические-решающие функции» [2]. В сущности, и большинство военно-тактических приложений теории игр (см., например, книгу М. Дрешера [1], а также сборник [7]) основано не столько на враждебности намерений противника (к этому вопросу нам еще придется вернуться в П.3.3), сколько на непредсказуемости предпринимаемых им действий. На эти же соображения опираются и технические приложения теории игр, примеры которых приведе-дены Н. Н. Воробьевым в [7].

Стратегическая неопределенность, с которой имеет дело теория игр, коренным образом отличается от неопределенности статистической. Статистическая неопределенность имеет место в тех случаях, когда принимающий решения субъект не знает истинного положения дел, но знает априорные вероятности каждого из возможных вариантов условий. В случае стратегической неопределенности у субъекта нет каких-либо оснований приписывать возможным вариантам те или иные априорные вероятности.



В соответствии с этим в условиях стратегической неопределенности следует ввести и использовать иное понятие информации, чем в случае неопределенности статистической. Для статистической неопределенности таковым является «селективная информация», теория которой была разработана К. Шенноном [1] и его последователями и в настоящее время достаточно хорошо известна. Для теоретико-игровой, стратегической неопределенности более важно понятие «стратегической информации», введенное М. Сакагучи [1].

4. Фон Нейман и Моргенштерн неоднократно иллюстрируют свои рассуждения о путях развития теории игр и ее приложений фактами из истории термодинамики. Так, в п. 3.2 говорится о возможности дать для температуры жесткую числовую шкалу на основе изучения поведения идеального газа и выяснения роли абсолютной температуры в связи с теоремой об энтропии.

По этому поводу следует заметить, что числовая шкала для температуры была разработана задолго до выяснения природы идеального газа и других упомянутых физических концепций. Ее создание было основано на непосредственно наблюдаемом явлении температурного расширения тел. В то время это явление никак логически не связывалось с тепловыми явлениями, оставаясь (во всяком случае, до разработки молекулярно-кинетической теории) внешним по отношению к ним. Тем не менее в дальнейшем (именно из рассмотрения идеального газа и пр.) оказалось, что тепловое расширение, по существу, чисто энергетически связано с изменением температуры, так что построенная шкала была и единственно возможной (с точностью до линейных преобразований).

Возращаясь к теории полезности, мы видим, что в основу ее измерения также положено нечто внешнее по отношению к полезности, именно вероятностная комбинация полезностей. Аналогия с термодинамикой дает надежду, что в действительности этот вероятностный подход связан с установлением субъективных предпочтений внутренним образом и дальнейшее исследование субъективных предпочтений эти связи вскроет. Разумеется, измерение полезности является качественно более сложным процессом, чем измерение температуры, так что все сказанное есть лишь предположение •о некотором сходстве в тенденциях развития двух совершенно различных теорий.

5, Вводимое в § 4 понятие решения как множества дележей, обобщающего понятие максимума, по существу воспроизводит по новому поводу конструкцию, приводящую к множеству нулей функции Гранди (см. 1.2.5). Решения суть множества дележей, обладающие теми же самыми свойствами внутренней и внешней устойчивости применительно к отношению доминирования дележей, что и множества нулей возможных функций Гранди применительно к отношению, устанавливаемому графом. Множественность решений в играх оказывается поэтому столь же естественным явлением, как и наличие у одного и того же графа функций Гранди с различными множествами нулей.

Поскольку множества дележей непрерывны, а функции Гранди, по существу, приспособлены лишь для дискретных графов, непосредственное использование функций Гранди для нахождения решений игр или хотя бы для доказательства существования решений в тех или иных классах игр едва ли возможно. Не исключено, однако, что некоторые свойства функций Гранди удастся распространить на континуальный случай и применить к теории игр. В этом отношении несколько обнадеживают результаты М. Ричардсона [1].

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [ 213 ] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]