мальной теории, учитывающей только сохранившиеся после проведенной схематизации черты явлений.
Во-вторых, в книге нередко применяется экономическая терминология: в ней говорится о деньгах, монополиях, дуополиях, двусторонних монополиях и т. д. Что касается монополий, дуополий и пр., то их следует понимать здесь не как понятия из буржуазной политической экономии и даже не как обозначения тех или иных феноменов, которые на самом деле или хотя бы по видимости наблюдаются в капиталистической экономике. Этими терминами в книге обозначаются лишь определенные варианты столкновения противоречивых интересов. В какой мере эти варианты соответствуют действительным столкновениям экономических интересов в капиталистических условиях, авторы книги не описывают.
Несколько сложнее обстоит дело с деньгами. Под деньгами авторы понимают, как это говорится ими на стр. 34, «единый денежный товар», который предполагается «неограниченно делимым и заменяемым, свободно передаваемым и неизменным» даже в количественном смысле и «удовлет-воряемость» или «полезность» которого желательна для каждого участника.
Ясно, что этот аксиоматически определенный товар обладает не всеми свойствами денег. Ясно также, что и деньги не всегда и не в полной мере обладают перечисленными в определении свойствами. Вместе с тем этот товар «похож» на деньги в большей степени, чем на что-либо иное, и поэтому закрепление за ним названия денег удобнее, чем какого-нибудь другого. Впрочем, термин «деньги» употребляется авторами лишь в конкретных иллюстративных примерах. Во всех своих теоретических рассуждениях они предпочитают термин «полезность».
Наконец, в-третьих, отдаленными целями авторов, выходящими за рамки данной книги, действительно являются экономические приложения развиваемого ими математического аппарата. Но какими эти приложения в действительности окажутся и к каким экономическим выводам они приведут, авторы нигде не указывают, да и не имеют этого в виду.
В действительности теория игр имеет разнообразные экономические (равно как и иные) приложения. Однако в данной статье мы не касаемся прикладных вопросов.
2. Понятие полезности, как количественно измеряемого и безгранично делимого объекта, принадлежит к числу важнейших в теории игр. Существование такой полезности можно было бы провозгласить с самого начала в виде некоторой аксиомы,, подлежащей проверке в каждом отдельном случае. Однако, с одной стороны, такая проверка может вызывать затруднения, а с другой - сама констатация существования полезности, наделенной указанными свойствами, представляется недостаточно бесспорной. Поэтому фон Нейман и Моргенштерн предпочитают расчленить предъявляемые к полезности требования на отдельные более элементарные аксиомы.
Здесь следует указать на своеобразие аксиоматической трактовки большинства фундаментальных понятий теории игр. Обычно в формальных математических теориях аксиомы выбираются не столько по признаку их естественности, простоты и изначальности, сколько по дедуктивным соображениям: независимости, непротиворечивости, возможной полноты, обозримости, логической завершенности и т. п. Грубо говоря, этим объясняется малое число аксиом и большое число теорем в традиционных аксиоматических теориях.
В теории игр дело обстоит существенно иначе. Утверждения о существовании нужных объектов (в том числе, забегая несколько вперед, и принципы разумного поведения), которые принимаются «аксиоматиче-чески», не всегда выглядят достаточно правдоподобно (и тем более не всегда абсолютно правдоподобно) и потому не всеми разделяются. Поэтому возникает вопрос о формулировке «более первичных», «более правдоподобных» аксиом и о доказательстве на их основе тех или иных игровых принципов, которые первоначально принимались за исходные. При этом нередка ради доказательства единственной теоремы, из которой, по существу, и состоит вся теория, разрабатывается обширная аксиоматика.
Именно такая аксиоматика приводится авторами в п. 3.6, а существование требуемой «функции полезности» выводится из нее в Приложении (стр. 616-630).
3. Теория игр строится фон Нейманом и Моргенштерном как теория математических моделей конфликтов. При этом уже в простейших случаях выясняется роль информации, которой располагает игрок о поведении партнеров. Так, в случае антагонистической игры с функцией выигрыша Н (х, у) максимизирующий игрок, знающий выбор стратегии противника (например, в силу того, что делает свой выбор после него), получает уверенно min max Н (х, у), а в противоположном случае, т. е. не зная
У х
о противнике ничего, может рассчитывать лишь на max min Н (х, у),
х у
Вместе с тем с математической точки зрения совершенно безразлично, будет ли этот противник реальным субъектом, действующим сознательно и притом во вред нашему игроку, или же фиктивным, олицетворяющим лишь недостаточную осведомленность игрока о той обстановке, в которой ему приходится принимать свои решения. В качестве такого противника можно, например, рассматривать природу, закономерности которой к моменту принятия решения могут быть познаны недостаточно, или, скажем, вполне благожелательно настроенное к игроку лицо, руководствующееся, однако, в своих действиях неизвестными игроку критериями.
Таким образом, теорию игр можно рассматривать также как математический аппарат, описывающий принятие решений в условиях неопределенности, которую естественно назвать стратегической неопределенностью. Систематически такой подход к теории игр (именно к антагонистическим играм) был изложен А. Вальдом в его книге «Статистические-решающие функции» [2]. В сущности, и большинство военно-тактических приложений теории игр (см., например, книгу М. Дрешера [1], а также сборник [7]) основано не столько на враждебности намерений противника (к этому вопросу нам еще придется вернуться в П.3.3), сколько на непредсказуемости предпринимаемых им действий. На эти же соображения опираются и технические приложения теории игр, примеры которых приведе-дены Н. Н. Воробьевым в [7].
Стратегическая неопределенность, с которой имеет дело теория игр, коренным образом отличается от неопределенности статистической. Статистическая неопределенность имеет место в тех случаях, когда принимающий решения субъект не знает истинного положения дел, но знает априорные вероятности каждого из возможных вариантов условий. В случае стратегической неопределенности у субъекта нет каких-либо оснований приписывать возможным вариантам те или иные априорные вероятности.
В соответствии с этим в условиях стратегической неопределенности следует ввести и использовать иное понятие информации, чем в случае неопределенности статистической. Для статистической неопределенности таковым является «селективная информация», теория которой была разработана К. Шенноном [1] и его последователями и в настоящее время достаточно хорошо известна. Для теоретико-игровой, стратегической неопределенности более важно понятие «стратегической информации», введенное М. Сакагучи [1].
4. Фон Нейман и Моргенштерн неоднократно иллюстрируют свои рассуждения о путях развития теории игр и ее приложений фактами из истории термодинамики. Так, в п. 3.2 говорится о возможности дать для температуры жесткую числовую шкалу на основе изучения поведения идеального газа и выяснения роли абсолютной температуры в связи с теоремой об энтропии.
По этому поводу следует заметить, что числовая шкала для температуры была разработана задолго до выяснения природы идеального газа и других упомянутых физических концепций. Ее создание было основано на непосредственно наблюдаемом явлении температурного расширения тел. В то время это явление никак логически не связывалось с тепловыми явлениями, оставаясь (во всяком случае, до разработки молекулярно-кинетической теории) внешним по отношению к ним. Тем не менее в дальнейшем (именно из рассмотрения идеального газа и пр.) оказалось, что тепловое расширение, по существу, чисто энергетически связано с изменением температуры, так что построенная шкала была и единственно возможной (с точностью до линейных преобразований).
Возращаясь к теории полезности, мы видим, что в основу ее измерения также положено нечто внешнее по отношению к полезности, именно вероятностная комбинация полезностей. Аналогия с термодинамикой дает надежду, что в действительности этот вероятностный подход связан с установлением субъективных предпочтений внутренним образом и дальнейшее исследование субъективных предпочтений эти связи вскроет. Разумеется, измерение полезности является качественно более сложным процессом, чем измерение температуры, так что все сказанное есть лишь предположение •о некотором сходстве в тенденциях развития двух совершенно различных теорий.
5, Вводимое в § 4 понятие решения как множества дележей, обобщающего понятие максимума, по существу воспроизводит по новому поводу конструкцию, приводящую к множеству нулей функции Гранди (см. 1.2.5). Решения суть множества дележей, обладающие теми же самыми свойствами внутренней и внешней устойчивости применительно к отношению доминирования дележей, что и множества нулей возможных функций Гранди применительно к отношению, устанавливаемому графом. Множественность решений в играх оказывается поэтому столь же естественным явлением, как и наличие у одного и того же графа функций Гранди с различными множествами нулей.
Поскольку множества дележей непрерывны, а функции Гранди, по существу, приспособлены лишь для дискретных графов, непосредственное использование функций Гранди для нахождения решений игр или хотя бы для доказательства существования решений в тех или иных классах игр едва ли возможно. Не исключено, однако, что некоторые свойства функций Гранди удастся распространить на континуальный случай и применить к теории игр. В этом отношении несколько обнадеживают результаты М. Ричардсона [1].