Но вместе с тем цели wu тгж w3 осуществимы для любой пары игроков* при объединении пары в коалицию претензии ее членов удовлетворяются!. Разумеется, оставшийся вне коалиции игрок при этом полностью «обЙ* рается».
3. Для произвольного числа игроков п можно рассуждать аналогичным образом. Именно произвольное разбиение всего множества игройбв на две противостоящие друг другу коалиции р,!, . . . , \ik и vi, ... , определяет некоторую антагонистическую игру и тем самым, как ее зМче-ние, величину ...tiiky для любой коалиции ци . . ., \ik.
Как нетрудно убедиться,
1) М{} = 0;
2) M{lll.....м+ M{vu ..Vn k} = 0,
если теоретико-множественная сумма коалиций (Hi, . . ., и v1? . . ., составляет все множество игроков;
3) Minl.....и,> + M{Vi.....v M{lli.....Vl.....v}, если коалиции (Xi, . . . , \ik и vi, . . ., не пересекаются.
Свойства величины М, как функции коалиции, являются вместе с тем существенными свойствами исходной игры. В дальнейшем эта функция получила название характеристической функции и изучалась в многочисленных работах.
Описанный подход в какой-то мере напоминает корреляционную теорию случайных функций, где изучение совместных распределений многих случайных величин ограничивается лишь нахождением и сравнением i между собой коэффициентов корреляции всевозможных пар случайных величин. Вводимая при этом характеристическая функция по своей роли в теории игр напоминает корреляционную функцию. Разумеется, это сходство носит чисто логический, а не формальный характер.
4. Мы видим, что в статье фон Неймана содержится большинство фундаментальных идей современной теории стратегических игр, и историю теории игр следует начинать именно с нее. Поэтому фон Неймана можно по праву называть основоположником теории игр. Однако в ближайшие последующие годы статья фон Неймана не нашла ни откликов, ни продолжений в математической литературе того времени. Единственным исключением является уже упоминавшаяся работа Билля [1], содержащая упрощенное доказательство теоремы о минимаксе и полученное на основе исследования игр типа покера распространение ее на случай игр с бесконечными множествами стратегий. В частности, в ней доказывается, что всякая бесконечная антагонистическая игра, в которой множество стратегий каждого игрока является единичным сегментом (такие игры теперь принято называть играми на единичном квадрате), а функция выигрыша непрерывна, имеет значение в смешанных стратегиях.
Между прочим, уже в этой статье приводится пример игры (разумеется, с бесконечным множеством стратегий), которая не имеет значения (в смешанных стратегиях). Тем самым вновь возник вопрос, поднятый в свое время Борелем (см. 1.4.2), о возможной ограниченности вероятностного подхода к стратегическим играм и о необходимости психологического подхода к ним.
Таким образом, если говорить о 20-х и 30-х годах, фон Неймана также нельзя признать (пользуясь терминологией Легуве - Фреше) за «инициатора» теории игр.
Заметим, что практика (именно практика планирования эксперимента) выявила целесообразность использования смешанных стратегий, по-видимому, и независимо от игровых идей фон Неймана. Анализируя игру «проходящий туз», Фишер [1] указывает на разумность случайного выбора одного из двух действий каждого игрока и приводит даже подробное вычисление соответствующих вероятностей.
5. В конце 30-х годов фон Нейман снова занялся вопросами теории игр, на этот раз совместно с экономистом О. Моргенштерном. В результате исследования по теории игр обрели если не непосредственную прикладную направленность, то, во всяком случае, своего рода «социальный заказ»: теория игр стала разрабатываться как математический аппарат для описания и анализа экономических явлений. Итогом этой многолетней работы явилась монография «Теория игр и экономическое поведение».
Глава II
ТЕОРИЯ ИГР И ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Здесь не имеется в виду излагать вкратце содержание монографии или хотя бы отдельных ее мест. Нет даже надобности приводить «литературно-критические» соображения по поводу того, что именно имели в виду авторы, организуя свой научный материал так, а не иначе, и чем вызвана данная композиция книги и ее разделов. Авторы сами, и притом весьма подробно, описывают каждый логический шаг своих математических рассуждений и обстоятельно аргументируют необходимость изложения вопросов в принятой ими последовательности.
Вместе с тем представляется целесообразным привести ряд замечаний как теоретико-игрового, так и общеметодологического характера. Кроме того, здесь же естественно указать и на те полученные впоследствии результаты, которые непосредственно относятся к тем или иным конкретным вопросам, разбираемым в монографии.
Для удобства все эти замечания расположены в том же порядке, что и те места в монографии, к которым они относятся. Они сгруппированы в параграфы, соответствующие главам монографии.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ
1. Книга называется «Теория игр и экономическое поведение», а в первой же ее фразе авторы указывают, что ее цель -«рассмотреть некоторые фундаментальные вопросы экономической теории». Таким образом, может создаться впечатление, что книга посвящена экономике, а именно приложениям к экономике методов теории игр. Однако в действительности содержание монографии - чисто математическое.
Авторы отдают себе отчет в том, что формально записанные результаты математических выводов, несмотря на полную строгость приведших к ним выкладок, могут выглядеть далеко не бесспорными с точки зрения тех читателей, для которых использованный математический аппарат, не является привычным. Поэтому они всюду, где к тому представляется возможность, сопровождают математические формулировки чисто словесными описаниями.
Экономическая же направленность этой книги проявляется лишь в трех аспектах, которые, не будучи решающими, тем не менее заслуживают разъяснения.
Во-первых, отправной точкой исследований авторов явилось рассмотрение некоторых элементарных экономических явлений типа изолированных актов обмена, фактов конкуренции, равновесия и т. п. При этом они ограничиваются изолированным рассмотрением этих явлений, игнорируя их общеэкономические и социальные черты, утрачивая ту их специфику, которая превращает их из непосредственно наблюдаемых фактов в экономические явления. С точки зрения экономической науки это недопустимую; математически же - вполне законно, так как облегчает построение фор-