назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [ 210 ] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


210

5. В наиболее общем и полном виде теория азартных игр строится Дубинсом и Сэвиджем в их монографии [1], Основную задачу теории они формулируют как нахождение оптимального поведения игрока, располагающего к моменту начала игры некоторой заданной суммой и обладающего заданной функцией полезности.

Весьма существенно, что классические вероятностные (т. е. счетно-аддитивные) распределения оказываются недостаточными для исчерпывающего описания возникающих в азартных играх явлений. Поэтому Дубине и Сэвидж приходят к необходимости разработки более общей теории - конечно-аддитивных дискретных вероятностных процессов.

Далее станет видно (см. III.2.5), что конечно-аддитивные распределения оказываются важными и для стратегических игр.

§ 4. СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ. РАБОТЫ Э. БОРЕЛЯ

1. В отличие от комбинаторного и азартного аспектов игр, корни математической разработки которых уходят вглубь столетий, стратегические вопросы игр имеют значительно более короткую историю.

Первая математическая трактовка стратегического аспекта игры встречается в курсе теории вероятностей Бертрана [1], где рассматривается вопрос о целесообразности «прикупать к пяти», играя в бакара. Рассуждения Бертрана носят в значительной мере психологический характер: он оценивает целесообразность для понтера прикупать или не прикупать в зависимости от того, знает или не знает банкомет его обычное поведение.

Сказанное Бертраном следует рассматривать даже не как математическую постановку вопроса, а лишь как указание на ее возможность.

2. В 1921 г. вышла в свет небольшая, но весьма содержательная заметка Э. Бореля «Теория игры и интегральные уравнения с кососим- метричными ядрами» [1]. В этой работе были впервые сформулированы основные понятия, связанные со стратегическими играми (точнее, с теми играми, которые впоследствии получили название симметричных антагонистических игр).

Стратегия определялась как система правил, точно определяющих действия игрока в любых возможных обстоятельствах. При этом игра рассматривалась как азартная, и выбор двумя ее участниками А и В соответственно стратегий Ct и Cj приводил к победе игрока А с вероят-

ностью y+afj (из симметричности игры вытекает, что atj = - a>

а ан = 0).

Борель высказал также идею использования доминирования стратегий: если c/Lih 0 при всех значениях h, то стратегию Ct можно считать «плохой» и исключить из рассмотрения.

Наоборот, если при всех значениях h имеет место aih 0, то стратегию Си можно считать «лучшей».

В случае, когда плохие стратегии исключены, а лучшие отсутствуют, следует попытаться выработать систему игры, основанную на чередовании стратегий, причем это чередование должно опираться не на психологические соображения, а на правила игры. Единственную возможность Борель видит здесь в выборе игроком А каждой своей стратегии Ck с некоторой вероятностью рк. Аналогично игрок В будет выбирать свои стратегии Ck с вероятностями qh. Тем самым Борель впервые установил целесообразность использования смешанных стратегий.



В результате указанного выбора смешанных стратегий вероятность победы игрока А окажется равной

г j

Нетрудно видеть, что если число стратегий каждого игрока равно трем, то

Pi Pz Рз а = ?t ?2 Яз 023 а31 а12

Ясно, далее, что при отсутствии «плохих» и «лучших» стратегий числа «23? «31 и ai2 будут одного знака, и можно найти такую систему вероятностей рг, рз, что а будет равно нулю независимо от того, какой будет система вероятностей qu qz, q3.

Тем самым, говоря современным языком, Борелем была доказана теорема о существовании оптимальных стратегий (называемая также теоремой о минимаксе) для симметричных матричных игр размера 3x3.

Ясно, что это доказательство опирается на весьма конкретные соображения, связанные с тем, что число чистых, нерандомизированных стратегий у каждого игрока равно трем. Борель сомневался в возможности распространить это результат на случай произвольного числа стратегий, склоняясь даже к отрицательному решению вопроса в общем случае. Он полагал, что, «вообще говоря, каковы бы ни были числа pk, можно выбрать числа qk так, чтобы а имело заранее предписанный знак.» Однако, высказав такое предположение (оказавшееся впоследствии неверным), Борель приводит рассуждение, показывающее глубокое понимание им стратегических ситуаций, приводящих к смешанным стратегиям. Он пишет: «Поскольку это так, какую бы случайную чередуемость (variete) ни ввел в свою игру А, раз эта чередуемость определена, для игрока В будет достаточно знать ее для чередования своей игры таким образом, чтобы одержать верх над А. Обратное также справедливо, из чего мы должны заключить, .что теория вероятностей может служить лишь для облегчения исключения плохих способов ведения игры и вычисления значений а; в остальном искусство игры зависит от психологии, но не от математики». Только теперь мы можем по достоинству оценить это рассуждение. Мы еще вернемся к этому вопросу.

Далее Борель распространяет постановку вопроса на случай непрерывного множества стратегий игроков. При этом дискретные вероятности переходят в вероятностные распределения, а суммы - в интегралы Стил-тьеса. В качестве примера он приводит любопытную задачу, являющуюся в каком-то смысле прообразом современных задач о распределении безгранично делимых ресурсов: каждый из игроков А и В выбирает по 3 числа, составляющих в сумме единицу,

x + y + z=l, *i + yi + Zi = l,

и упорядочивает их произвольным образом. А побеждает, если

(xi - x)(yi - y)(zi - z)>0

(по поводу другой интерпретации этой игры см. П.5. 3).

В заключение статьи Борель отмечает, что вероятностные и аналитические проблемы, которые могут возникнуть в военном искусстве или



в экономике и финансовых делах, не лишены сходства с рассмотренными игровыми проблемами.

Таким образом, в этой первой работе, посвященной стратегическим играм, Борель скорее ставит, чем решает вопрос, но делает это вполне обоснованно даже с современной точки зрения.

3. В 1924 г. Борель в статье [2] вернулся к рассмотрению стратегических игр. В ней он приводит исчерпывающий анализ симметричных матричных игр с тремя и пятью стратегиями у каждого игрока. Попутно в одном из подстрочных примечаний Борель указывает на возможность симметризации произвольной игры, которая основана на участии игроков в двух партиях такой игры, причем в этих партиях игроки выступают в различных ролях (точное описание этой симметризации было осуществлено Брауном и фон Нейманом в 1950 г. [1]).

Отметим еще одно, на первый взгляд несколько странное явление, подобное которому мы уже наблюдали в XVII веке, когда Паскаль и Ферма фактически пользовались формулой полной вероятности, т. е. математическим ожиданием условной вероятности, но не математическим ожиданием выигрыша как таковым. Последнее осуществил Гюйгенс. Сходным образом и Борель в своей заметке 1921 г. имеет дело не с численными выигрышами, а с вероятностями победы, которые он усредняет. Математическое ожидание выигрыша встречается у него только в статье 1924 г.

Отчасти это можно объяснить тем, что формула полной вероятности выполняет переход от вероятности к вероятности же. Но математическое ожидание выигрыша, хотя и измеряется в тех же единицах, что и выигрыш, само по себе выигрышем не является. Для того чтобы его понимать как выигрыш, необходимы дополнительные соглашения, не всегда очевидные и даже не всегда естественные. Полная ясность в этот вопрос была внесена лишь после создания аксиоматической теории полезности, о которой пойдет речь в гл. II.

В остальном статья Бореля 1924 г., равно как и его последующие публикации на эту тему, не содержит ничего нового по сравнению с его заметкой 1921 г.

4. В 1953 г. в журнале «Econometrica» были в английском переводе воспроизведены работы Бореля [1, 2, 3, 4] с коротким предисловием М. Фреше [1], озаглавленным «Эмиль Борель - инициатор теории психологических игр и ее приложений». Как истый математик, Фреше приводит используемое им определение термина «инициатор», принадлежащее Легу-ве: «Я называю инициаторами тех привилегированных существ, тех магнетических созданий, которые заставляют трепетать в нас до этого немые струны, которые будят души». Но как раз в этом смысле Бореля нельзя считать инициатором теории «психологических» (стратегических) игр. Ничьих душ его статьи по теории игр 20-х гг. не разбудили, никаких печатных откликов они не нашли. Имя инициатора теории игр можно было бы по праву присвоить Борелю даже в том случае, если бы он разбудил душу «одного только» фон Неймана. Но, как явствует из подстрочного примечания фон Неймана к работе [1] (см. стр.186 русского перевода), он познакомился с заметкой Бореля [1] лишь при окончательном оформлении своей статьи.

Имя Бореля не нуждается в каких-либо титулах. Но чтобы выразить одним словом его место в истории теории стратегических игр, уместнее всего употребить термин «первооткрыватель», который пришел, увидел и ... все. Но увидел Борель немало.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [ 210 ] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]