назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [ 206 ] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


206

Л.З]

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Однако для действительно интересных случаев частично упорядоченных систем ни одно из утверждений (А:16) или (А:17) не верно. (См., в частности, второй пример в конце п. 65.3.2, с которым мы встречаемся также в сноске 1 на стр. 590, где указывается на его связь с понятием полезности. Это - упорядочение на плоскости, при котором и > v означает, что и имеет большие, чем у и, ординату и абсциссу).

Второе. В группе аксиом (3:В) аксиомы (3:В:а) и (3:В:Ь) выражают свойство монотонности, без которого было бы трудно обойтись. С другой стороны, аксиомы (3:В:с) и (3:B:d) выражают то, что известно в аксиоматике геометрии как аксиома Архимеда: сколь бы много полезность v ни превосходила (или была бы меньше, чем) полезность и и сколь бы мало полезность w ни превосходила (соответственно была бы меньше, чем) полезность и, если и примешать кис численно достаточной малой вероятностью, то эта смесь будет отличаться от и меньше, чем w. Быть может, желательно требовать сохранения этого свойства при всех условиях, так как отказ от него был бы равносилен введению бесконечных разностей между полезностями.

Замечание. По поводу аксиомы Архимеда в геометрической аксиоматике, где она возникла, см., например, книгу Д. Гильберта, упомянутую в сноске 1 на стр. 100. Ср. с аксиомой V.I в этой книге. Аксиома Архимеда широко использовалась в аксиоматике числовых систем и алгебр.

Имеется небольшое различие между трактовкой аксиомы Архимеда здесь и в цитируемой литературе. Мы свободно пользуемся понятием вещественного числа, в то время как обычно в соответствующей литературе этого избегают. Поэтому принятый подход состоит в возможности «мажорировать» «большее» количество соответствующим прибавлением «меньшего» (ср., например, гильбертову процедуру из указанной книги), в то время как мы «минорируем» «меньшее» количество (в нашемслучае разницу между полезностями w и и) умножением на соответственный малый множитель (в нашем случае коэффициент а) «большего» количества (в нашем случае разницы между v ж и).

Это различие чисто техническое и не влияет на концептуальную сторону вопроса. Читатель может заметить также, что мы говорим о таких количествах, как «превышение и над и» или «превышение и над и» или (объединяя обе эти возможности) «разница между и и и» (и, v - полезности), лишь для облегчения словесных выражений. Эти обороты не являются частью строгой, аксиоматической системы.

В этой связи стоит также сделать следующее замечание. Пусть дана произвольная линейно упорядоченная система полезностей 41, в которой не допускаются вероятностные комбинации событий и не дано числовой интерпретации полезностей. (Например, система, построенная на обычном упорядочении при помощи кривых безразличия. Линейность этого отношения, как было указано в первом замечании, следует из того, что его можно рассматривать как обобщение понятия равенства, т. е. трактовать введенное там отношение и « v как равенство. В этом случае и « v означает, конечно, что или лежат на одной и той же кривой безразличия.) Введем теперь события, происходящие с некоторыми вероятностями. Это означает, что мы вводим комбинации, скажем, тг (= 1, 2, . . .) событий с соответствующими вероятностями

а4 ...,ал (а4 . ..,ад0, 2аг = 1).

Это требует введения соответствующих (символических) комбинаций полезностей ащ + . . . + апип (щ, . . ., ип £ °IL). Эти комбинации ащ + . . . + апип (при любых п = 1, 2, . . . и любых аь . . ., ап и и4, . . ., ип, подчиненных указанным выше условиям) можно линейно упорядочить и не делая их числовыми-если допускать не-архимедовы упо-



рядочения. Действительно, сравнивая, скажем, ащ + . . . + ыпип j с -}-... -f- $mvm, мы можем принять, что п = т и что щ, . . ., ип \ и Vi, . . ., vm совпадают (запишем ахщ + . . . + апип + 0 + . . . + 0vm и 0! + . . . + 0ип + Pii + . . . + $mvm соответственно вместо I ОцЩ + • • • + ®>пип и Piyi + • • • + Pmm и заменим затем п + т; \ щ, . . ., ип; Vi, . . ., vm; а4, . . ап, 0, . . ., 0, р4, . . рт соответ- ственно на п; ии . . ., ип; аи . . ., ап; р4, . . ., р). Таким образом, достаточно сравнивать + . . . -f ou и р + . . . + $пип. Далее, при помощи надлежащей перестановки индексов 1, . . ., п сделаем так, чтобы было Ui > ... > ип. После этой предварительной подготовки положим aiUi +...-)- апип > р +...-)- $пип, если для наименьшего i (= 1, . . ., п), для которого otj Ф pf (скажем, i = i0), будет

Ясно, что эти полезности не числовые. Их не-архимедов характер становится ясным, если заметить, что сколь угодно малое превышение вероятностей Pi0 - asi0, соответствующих щ0, перевешивает любое возможное противоположное превышение рг - at оставшихся ии i = i0 -f- 1, ... . . ., п, т. е. полезностей < щ0. (Это, следовательно, исключает возможность применения критериев, подобных упомянутому в сноске 1 на стр. 44.) Очевидно, что здесь нарушаются наши аксиомы (3:В:с) и (3:B:d).

Ясно, что такое не-архимедово упорядочение противоречит нашим обычным представлениям о природе полезности и предпочтения. Если, с другой стороны, желательно определить для вероятностных систем полезности (и их упорядочение), удовлетворяющие аксиомам (3:А)-(3:С) и, следовательно, обладающие архимедовым свойством, то полезности должны быть числовыми, так как в этом случае применимы наши рассуждения из п. А.2.

Третье. Представляется вероятным, что действительно уязвимой для критики группой аксиом является (3:С) или, более конкретно, аксиома (3:С:Ь). Эта аксиома выражает правило комбинирования сложных случайных альтернатив, и представляется правдоподобным, что специфическая полезность или вредность азартной игры может иметь место лишь при отказе от этого простого правила комбинирования.

Некоторое изменение системы (3:А)-(3:С), включающее во всяком случае отказ от (3:С:Ь) или хотя бы радикальное изменение этой аксиомы, возможно, приведет к математически полному и удовлетворительному исчислению полезностей, которое будет охватывать и возможности специфической полезности или вредности азартной игры. Можно надеяться, что будет найден способ сделать это, однако математические трудности при этом представляются значительными. Конечно, это заставляет считать осуществление надежд на успешный подход при помощи чисто словесных средств еще более далеким.

Из сделанных выше замечаний ясно, что употребительный метод использования кривых безразличия не в силах преодолеть эти трудности. Он просто расширяет понятие равенства (см. первое замечание выше), но он не дает никаких полезных указаний, и тем более никаких конкретных предписаний, как трактовать ситуации, в которых участвуют вероятности, неизбежно связанные с ожидаемыми полезностями.



ДОБАВЛЕНИЕ

РАЗВИТИЕ-ТЕОРИИ ИГР

Н. Н. ВОРОБЬЕВ

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [ 206 ] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]