gu\\ v\ (w) - hui, V! (w)- Следовательно, hUQiVQ(w) совпадает с функцией huu vt (w) в ее области щ w vt.
Теперь мы можем установить желаемый факт: все hUOfVO (w) совпадают с одной и той же функцией. Конкретно, мы докажем следующее:
(А:0) Пусть дано произвольное w, тогда можно найти такие щ и v0r
что Uq и* <С v* fg v0 и щ 5g w v0. Для всех таких щ, v0. функция hUQfV0 (w) имеет одно и то же значение. Таким образом, ио, то (w) зависит только от w. Эту величину мы будем обозначать поэтому через h (w).
Доказательство. Существование щ, v0. Экстремумы и0 = = min (u*, w) и v0 = max (у*, w), очевидно, обладают требуемыми свойствами.
Переходим к доказательству того, что hUOiVO (w) зависит только от w. Выберем для этого две пары щ, v0 и и0, v0, для которых щ и* < v*
v0, щ g w g v0 и и0 -\ и* <Z v* v0, щ w g г/. Положим = = max (и0, щ) и Vi = min (v0, v0). Тогда u0 щ и* <. v* Vi = v0r щ w Vi и u0 щ и* <C v* Vi v0, щ fg w g i. Теперь, применяя дважды (A:N) (сначала с w0, v0, щ, vi4 w, а затем с щ, v0, uiy Vi, w), мы получим
Ко, vo И = Klt V! И И AuJ> rj (и?) = feUl> Vl (w).
Следовательно,
что и требовалось доказать.
А.2.4. Функция h(w) из (А:0) определена для всех полезностей и принимает числовые значения. Мы можем теперь без особого труда показать, что она обладает всеми требуемыми свойствами.
Легче всего это сделать с помощью двух вспомогательных лемм.
(А:Р) Пусть даны любые и, v, для которых и << v; тогда существуют
такие щ, v0, что щ ;rg и* < v* 5g v0, и0 и < v :=g v0.
Доказательство. Положим щ = min (и*, и) я v0 = = max (у*, у).
(A:Q) Пусть даны любые и, v, причем и < v. Положим h (и) = а,
h (v) = р. Тогда а<р и функция h ( w) в области и w v совпадает с gu\ S (w).
Доказательство. Выберем щ, v0, как это указано в (А:Р). По (А:М) функция hUQt VQ (w) принадлежит к числу gu°0\ щ (и>) с соответствующими а0 и р0. По (А:0) h (w) совпадает с hUQiV0 (w), т. е. с gu°0]vo {w) в области щ :fg w 5g v0. Для w = и и w = v это дает нам соответственно gu0\ щ (и) = h (и) = а] и Й2: SS =h(v) = р. Так как функция eu°Q,vl (w) монотонна, должно быть сс <С р. Далее, по (A:L) (с щ, v0, os0, ро, и, v, а, р соответственно в качестве щ, v0, сс0, ро» o&i, pi) функция
gul\ v°0 (u>) совпадает с функцией gu\ v (w) в области и w v. Следовательно, то же самое верно и для h (w).
После этой подготовки мы установим интересующие нас свойства h (w)
(A:R) Отображение w->h(w) всех w на множество чисел обладает
следующими свойствами:
(I) М"*) = 0;
(II) Л(у*) = 1;
(III) h(w) монотонно;
(IV) для 0<7<1 и u<Cv
h ((1 - у) и + yv) = (1 - у) h (и) -г yh (v).
(A:S) Отображение всех w на некоторое множество чисел, обладаю-
щее свойствами (I), (II) и (IV), совпадает с отображением (A:R).
Доказательство. (A:R). Свойства (I), (II) следуют немедленно из (А:0) и (А:М).
Свойство (III) вытекает из (A:Q).
Свойство (IV). Выберем и и и в соответствии с (А:Р), а затем а, (3 и gZ*%(w) в соответствии с (A:Q). Далее согласно (1Г) из (А:Н) (с и, v, vt у соответственно в качестве щ, v0, w, у) следует
*2; 2 ((4 - у) u+yv) = (1 - 7) *г; g N+тс5 М •
Значит, по (A:Q) должно быть
h ((1 - у) и + yv) = (1 - у) h (и) + yh (v),
что и требовалось доказать.
(A:S). Рассмотрим отображение
w->hi (w)]
всех полезностей w на множество чисел, и пусть оно удовлетворяет (I), (II) и (IV). Выберем и0 и v0, для которых щ и* < у* г;0. и положим а0 = h (и*), pi = А-! (г;*). Тогда, [по (А:1), /&4 (н?) совпадает с gl°0\v°0 (w) в области щ rg w :g у0. Положив ш = и* и w = у*, мы получим gu°0\ щ {и*) =
= Л4 (и*) = 0 и gSJj (v*) = h (v*) = 1. Следовательно, по (А.Н), gZ\vl есть hUOt VQ. Итак, hi (w) совпадает с hu jVQ (w), т. е. с ft (w) на щ g w :g v0. По (А:0) это означает, что hi(w) и h (w) совпадают везде.
А.2.5. (A:R) и (A:S) описывают отображение всех полезностей в множество вещественных чисел. Это отображение обладает некоторыми правдоподобными свойствами и однозначно ими определяется; следовательно, мы могли бы на этом остановиться. Однако мы еще не вполне удовлетворены по следующим причинам: описание в (A:R) не совпадает с описанием, данным в (3:1:а) и (3:1:Ь); именно, (A:R) требует несколько меньшего в (IV) (в (3:1 :Ь) утверждение касается всех и и v, а (IV) лишь тех и и у, для которых и <С v); кроме того, в (I) и (II) вводится произвольное нормирование (с помощью произвольных и* и v*). Теперь мы займемся ликвидацией этих несоответствий. Это делается совсем просто. Сначала распространим (IV) из (A:R).
<А:Т) Всегда (1 - у) и + уи = и.
Доказательство. Смотря по знаку в соотношении и (1 - у) и + уи, будем говорить, что у принадлежит классу I (верхний класс) или классу II (нижний класс). Если-у принадлежит классу I или II и если 0 < р < 1, то
и$ (1-Р)м + Р((1-7)> + 7)(1-т)" + 7"
на основании (3:В:а) и (3:В:Ь). (Для у соответственно из I или II класса. Сначала возьмем и, (1 - у) и + уи, Г - р соответственно в качестве и, v, а в (3:В:а) или в (3:В:Ь). Затем возьмем (1 - у) и + уи, и, р соответ-
ственно в качестве и, и, а в (3:В:Ь) или в (3:В:а).) По (3:С:а) и (3:С:Ь) (с и, и, р, у соответственно в качестве и, и, а, Р) мы получаем
(1 - Р) и + р ((1 - у) и + уи) = (1 - Рт) и + $уи.
Значит, и (1 - Ру) и + Pyw $ (1 - y) w + Положим б = Ру. Так как р выбирается свободно из 0 < р < 1, число б может быть любым из 0 < б <С у. Принимая 0<7<1и0<;б<;1, мы имеем поэтому следующее:
(А:9) Если 7 принадлежит классу I или II, то каждое б < 7 при-
надлежит тому же классу, I или II.
(А:10) В условиях (А:9) соответственно должно быть
(1 - б) и + 8и (1 - 7) и + уи.
Выражение (1 - 7) и + уи не изменится, если мы заменим 7 на 1 - 7. Так как 1 - 7 < 1 - б равносильно 7 > б, мы можем в (А:9) заменить 7 и б соответственно на 1 - 7 и 1 - б. Тогда (А:9) и (А:10) соответственно приобретают вид
(А:11) Если 7 принадлежит классу I или II, то любое б>7 при-
надлежит тому же классу, I или И.
(А: 12) В условиях (А: 11) соответственно должно быть
(1 - б) и -f- 8и (1 - 7) и + уи.
Теперь (А:9) и (А:11) показывают, что если 7 из класса I или II, то каждое б (< 7 или = 7, или > 7) из того же класса, I и II. Следовательно, если один из классов I или II непуст, то он содержит все б, для которых 0 < б < 1. Предположим, что это имеет место (для класса I или II), и рассмотрим 7 и б, для которых 7 < б. Тогда по (А:10) должно быть (1 - б) и + 6w (1 - 7) и + уи, а по (А:12) (с б, 7 соответственно в качестве 7, б) (1 - б) и + Ьи =g (1 - 7) и + уи. Значит, в обоих случаях в (1 - б) и + бгг 5g (1 - 7) и + уи имеют место оба знака <С и >. Получили противоречие. Поэтому оба класса, I и II, должны быть пустыми.
Следовательно, никогда не может быть и (1 - 7) и + уи\ значит, всегда (1 - 7) и + уи = и, что и требовалось доказать.
(A:U) Всегда
h ((1 -7) и+ yv) = (1 -7) h (u)+yh (v) (0<7<1, & и в. v любые).
Доказательство. Для и <. и - это (A:R), (IV). Для и > v это получается из только что установленного заменой и, и, у на и, и, 1 - 7. Для и = v это следует из (А:Т).
Теперь мы сможем доказать теорему существования и единственности в требуемой форме, т. е. в соответствии с (3:1:а) и (3:1:Ь). Начиная с этого места мы опустим предположение о фиксированном выборе и* и у*, введенных ранее в (А:М).
(A:V) Существует отображение
w -> v (w)
всех w на некоторое множество чисел, обладающее следующими
свойствами:
(I) монотонность;