Для w Ф и0, т. е. при щ < w < v0, положим / (w) - а, т. е. по (А:В) w = (1 - а) щ + av0. Тогда по (3:С:Ь) (с щ, v0l р, 1 - а соответственно в качестве и, v, а, р и с использованием (3:С:а)) мы получаем
(1-р)Уо + р = (1-р)о4-Р((1--а)0 + аг;0)-=р(1--а) + (1--р (l-a))iv
Следовательно, на основании (А:В)
/((1 -р)0 + Рш) = 1--а) = 1 -3 + рсс = 1 -р + р/ И,
что и требовалось доказать.
(A:F). Рассмотрим отображение
(A:l) w-+U(w),
удовлетворяющее (I), (II) и либо (1Г), либо (HP). Отображение (А: 2) w-+f(w)
есть взаимно однозначное отображение щ w и0 на 0 ;< a :=g 1; следовательно, для него существует обратное:
(А:3) а->ур(а).
Объединяя теперь (А:1) с (А:3), т. е. с обращением к (А:2), мы получим, (А:4) а->/в(я?(а)) = ф(а).
Так как оба отображения (А:1) и (А:2) удовлетворяют (I) и (II), мь* получим для (А:4)
(А:5) Ф(0) = 0, Ф(1) = 1.
Если (А:1) удовлетворяет (1Г) или (ИГ) то, поскольку (А:2) удовлетворяет и (1Г), и (ИГ), мы получим для (А:4)
(А:6) Ф(ра) = рФ(а),
(А: 7) Ф (1 - р + pa) = 1 - р + рФ (а).
Теперь, положив в (А:7) а = 1 и воспользовавшись (А:5), мы получим* (А:8) Ф(Р)=Р,
а положив в (А:7) a = 0 и снова воспользовавшись (А:5), мы получим ф (1 - р) = 1 - р. Замена р на 1 - р дает снова (А:8).
Таким образом, (А:8) справедливо во всех случаях. (1Г), (ПГ) ограничивают его теми р, для которых 0 < р < 1. Однако (А:5) распространяет его также на 3 = 0, 1, т. е. делает верным для всех 3 из сегмента 0 р 1. Принимая во внимание определение ф (а) посредством (А:3) и (А:4), мы получаем, что справедливость (А:8) означает совпадение (А:1) и (А:2), а это и требовалось доказать.
(A:G) Пусть и0, v0 заданы, как и выше: щ, v0 фиксированы и и0<и0.
Пусть даны также два фиксированных числа а0, р0 таких, что-а0 < Ро- Для всех w из интервала щ w :g v0 определим числовую* функцию g (w) = g*l*$°(w) следующим образом:
g И = (Ро - <*о) / И +а0 (/ (w) = fuo,v0(w) в соответствии с (A:D)).
Заметим, что
(I) g(u0) = a0;
(II) #Ы = Ро.
А:Н) Это отображение w]->g(w) имеет следующие свойства:
(Г) оно монотонно; (1Г) для 0<р<1 и ю\фщ
((1-Р)о+М = (1-Р) ао+РгИ;
(ИГ) для 0<р<1 и и;фи0
8 ((1 -Р) *>о + Р) = (1 -Р) Ро + Ps И-
А:1) Отображение всех w из сегмента u0wu0 на любое мно-
жество чисел, обладающее свойством (I), (II) и либо (1Г). либо (ИГ), совпадает с отображением из (A:G).
Доказательство. Используя соответствие между функциями
gt (w) = (Ро - оо) /i (w) + а0,
или, что то же самое
Эо-«о
(для /i(w;), gi(w), а также для /(и;), g(w)), мы видим, что утверждения (A:G) -(А:1) переходят в (A:D) - (A:F). Следовательно, (A:G) - (A:I) следуют из (A:D) - (A:F).
A:J) Беря (I) и (И) из (A:G), мы получаем, что уравнение
(щ u <С v и0), где u = u0 и ифщ, эквивалентно (IP) из (А:Н) и с 1£=ту0, у = у0 эквивалентно (ПГ) из (А:Н).
Доказательство. (1Г). Подставим u0, w, р вместо и, у, р. (ИГ). Подставим ш, 1 - Р вместо и, v, р.
А.2.3. В (A:G) - (А:1) отображение интервала полезностей щ w и0 *на числовой интервал а0 а ро было дано в удобной форме, заключающей в себе соответствующее свойство единственности. Теперь мы приступим к согласованию отображений
ф\К) Рассмотрим gjjjj;So и "о* для которого u0w0u0. Положим
Тогда .?2j;2j() совпадает с g™\Z°n(w) в области и00 (если и>ъфщ, т. е. если и0О0) и g\(w) совпадает с gl°0\l°0 в области WqwUq (если ш0фи0, т. е. если w0<C.v0).
Доказательство. Для gZX (Функция ggS.Sj И обладает свойствами (I), (1Г) (из (A:G) и (А:Н)) для а0, 7о, u0f w0, так как они те же, что ц для а0, Ро, Щ, Щ (они содержат лишь нижние границы а0, и0). Эта функция обладает также и свойством (II) (из (A:G)) для оь0, 7о, Щ, Щ,
потому что gZ\vl [щ) = Уо- Значит, из (А:1) следует, что gl°0]°0 удовлетворяет внутри Uq-wVo условию единственности gul\w0*
Для gZ°o,v°o- Функция guoJo обладает свойствами (II), (ПГ) (из (A:G), (А:Н)) для уо, Ро> Щ, v0, так как они те же, что и для а0, р0, w0, v0 (они содержат лишь верхние границы р0, v0). Эта функция также удовлетворяет (I) (из (A:G)) для y0i р0, wo, так как gl°0\%°0 (w0) = 70. Значит, из (А:1> следует, что gu00\v°0 Для w0 5g w v0 удовлетворяет условиям, определяющим единственную gXo,*o-
(A:L) Рассмотрим gullvl и щ, vu для которых щ 5g щ < vt г;0.
Положим оы = g2\v0 Ы и р4 = gZ\Z fa). Тогда g%X (w) сов-
падает с gu\\ v{ (w) в области изменения последней функции щ
Доказательство. Применим сначала (А:К) к gul\ll и к gu0\vi (т. е. с щ, vQ, а0, р0, vu $t соответственно в качестве щ, v0, а0, р0, w0, у0;.. заметим, что pf = gu°0\ %°0(vt)). Это показывает, что gu00\v00 {w) в области щ =\ w =1 i совпадает с guo,5l (w). Применим затем (А:К) к g2J;5i и к йь(£ (т. е. с и0у Ui, а0, рь м4 соответственно в качестве щ, v0, а0, р0, w0, у0;. заметим, что at = gSJJ; %°0 Мы получим, что gl°0\%°0 (w), а сле-
довательно, и gZ00\%°0(w), в области iiiwgvi совпадает с gullvl (и>).
(A:L) следует объединить со второй линией рассуждений. Здесь мы также предположим, что выбраны и* и v*y для которых и* <z;*; мы будем считать их фиксированными до тех пор, пока не перейдем, к (A:V) и (A:W).
Теперь докажем следующее:
(А:М) Если и* <iv* 5g v0, то существует единственная функция;
О™ И для К0Т°Р°Й
Доказательство. Построим / (w) = fUo, v0 iw) из (A:D). Так-как и* < и*, должно быть / (и*) < / (г;*). Для переменных а0 и р0 (A:G> дает gZ\l°0 (w) = (ро - a0) / (w) + a0. Следовательно, условия (I) и (II> означают, что (р0 - а0) / (и*) + а0 = О, (р0 - а0) / (v*) + а0 = 1, и эти два уравнения определяют единственные а0 и р0 х). Итак, искомая,
функция gu°0\ vl (w>) существует и единственна.
(A:N) Если щ v0 и* < г;* vt i;0t то йио> *0 (w) совпаДаег
с иь ui (w) в области ii fg w -\ V\.
Доказательство. Положим a4 = fewo, г?0 (wi) и р4 = hUOt vo (г). Тогда, по (A:L), hU(it vo (w) совпадает с g*\\ v[ (и?) в ее области щ <; w z. Применение этого к ш = и* и = дает нам §J (w) = feUo, vo (M*) = "= 0 и Й1;51 (v*) -Ko.vo (*>*) = 1- Значит, по (A:M) должно быть
i) Именно,
Po =
1-/(ц*)
/("*)-/("*)
/(»•)-/(»•) •