быть полными. Возможно, что впоследствии будет найдено и более короткое изложение.
Во всяком случае, мы теперь собираемся использовать в п. А.2 эстетически не вполне удовлетворительный способ изложения.
А.2, ВЫВОДЫ ИЗ АКСИОМ
А.2.1. Переходим к выводам из аксиом (3:А) - (3:С) из п. 3.6.1. Весь вывод будет расчленен на несколько последовательных шагов и будет выполнен в этом и в четырех следующих пунктах. Окончательный результат будет сформулирован в (A:V) и (A:W).
(А:А) Если u<v, то из а<Р следует
(1 - а)и + ои;<(1 - p)tt + py.
Дока {ате льство. Ясно, что а = у$ для некоторого О <С < 7 < 1. Из (3:В:а) (примененного к и, и, 1 - р соответственно в качестве и, у, а) мы имеем и < (1 - Р) и + $v и, следовательно, из (3:В:Ь) (примененного к (1 - Р) и + рр, и, у соответственно в качестве и, и, а) получим (1 - р) u + Py>7((l - P)u + f}z;) + (l - у) и. По (3:С:а) это может быть записано как
(l-p)i* + py>7(pi;+(l--p) и) + (1-у)и.
Теперь по (3:С:Ь) (примененному к v, и, 7, р, а = 7Р соответственно в качестве и, v, а, р, 7 = аР) правая часть есть av + (1 - а) и и, следовательно, по (3:С:а) (1 - а) и + av. Итак, (1 - а) и + w < (1 - Р) и + Ру, что и требовалось.
(А:В) Пусть даны фиксированные uG и v0, для которых щ < v0r рассмотрим отображение
а -> w = (1 - а) и0 + ocv0. Это - взаимно однозначное монотонное отображение интервала О < а <С 1 на часть интервала и0 < < *)•
Доказательство. Это отображение на часть и0 <Civ интервала щ < w < у0 совпадает с (3:В:а) (примененным к щ, у0, 1 - а в качестве u, у, а), а на часть w <CvQ - с (3:B:b) (примененным к v0, u0, а соответственно в качестве и, v, а).
Взаимная однозначность следует из монотонности, которую установим далее.
Монотонность совпадает с (А:А).
(А:С) Отображение из (А:В) фактически отображает 0 < а <С 1
на все множество щ < w <С v0.
Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. что некоторое w0: и0 < w0 < v0 не имеет прообраза. Тогда для всех а из 0 < а <С 1 должно быть (1 - а) и0 + av0 Ф w0, т. е. (1 - а) и0 + + аи0 w0.
В соответствии с тем, имеем мы < или >> , будем говорить, что а принадлежит классу I или классу II. Таким образом, классы I и II, которые, очевидно, не пересекаются, составляют вместе интервал 0 < а < 1. Теперь мы замечаем следующее.
х) В (А:С) будет показано, что эта часть в действительности есть весь интервал
Первое. Класс i непуст. Это немедленно следует из (3:В:С) (примененного к щ, w0, v0, 1 - а соответственно в качестве и, Wyy, а).
Второе. Класс ii непуст. Это немедленно следует из (3:B:d) (примененного к v0, w0, и0, а соответственно в качестве и, w, v, а).
Третье. Если а из класса i, а 3 из класса ii, то а << р. Действительно, так как i и ii не пересекаются, должно быть а Ф р. Следовательно, единственной ка<Р альтернативой является а > р. Но тогда по монотонности отображения из (А:В), так как а принадлежит i, 3 тоже должно принадлежать i, но р принадлежит ii. Следовательно, остается а << р.
Из этих трех свойств классов i и ii следует, что должно существовать некоторое а0, 0 < а0 < 1, разделяющее эти классы, т. е. такое число, что для всех а из i будет а :g а0, а для всех а из ii будет а =Х ао
Далее, само число а0 должно принадлежать либо классу i, либо П. Будем различать соответственно два случая.
Первый. а0 из класса i. Тогда (1 - а0) и0 + a0v0 < w0, а также м>о < Щ. Применяя (3:В:с) (с (1 - а0) и0 + a0v0, w0, v0, у соответственно в качестве и, w, v, 7), мы найдем некоторое 7, для которого 0<С7<1> и 7 ((1 - а0) щ + a0v0) + (1 - 7) vo < Wo- Поэтому по (3:С:Ь) (с щ, u0l 7, 1 - а0, 1 - а == y (1 - а0) соответственно в качестве и, v, а, р, 7 = = ар) должно быть (1 - а) щ + av0 <С w0. Значит, а = 1 - 7 (1 - а0) принадлежит i. Однако а > 1 - (1 - а0) = а0, хотя мы должны были бы иметь а < ап.
Второй. а0 из класса П. Тогда (1 - а0) щ + a0v0 > w0, а также Ио < wo- Применяя (3:B:d) (с (1 - а0) щ + a0v0, w0, и0, у соответственно в качестве и, wy v, а), мы найдем некоторое 7, для которого 0 < 7 < 1, и у ((1 - а0) Щ + а0у0) + (1 - 7) щ > и>0. Поэтому по (3:С:а), 7 (аоо + (1 - «о) о) + (1 - 7) > о; значит, по (3:С:Ь) (с v0j щ, 7, а0, а = 7а0 соответственно в качестве и, у, а, р, 7 = оф) должно быть av0 + (1 - а) щ > м;0, т. е. по (3:G:a) (1 - а) щ + аи0 > и?0. Следовательно, а = 7а0 принадлежит ii. Однако а << а0, хотя мы должны были бы иметь а а0.
Таким образом, мы получаем противоречие в каждом случае. Следовательно, первоначальное предположение невозможно, и нужное свойство установлено.
А.2.2. На этом месте стоит остановиться. (А:В) и (А:С) осуществляют взаимно однозначное отображение интервала полезностей щ <Cw < у0 (здесь щ и v0 фиксированы и щ << v0, а в остальном щ и v0 произвольны!) на числовой интервал 0 < а << 1. Ясно, что это есть первый шаг для получения числового представления полезностей. Однако этот результат в некоторых отношениях далеко не полон. Основная его ограниченность состоит в следующем.
Первое. Числовое представление получено только для интервала полезностей щ <С w << v0, а не для всех полезностей w одновременно. Неясно и то, как отображения, полученные для различных пар щ, у0, соответствуют друг другу.
*) Интуитивно это вполне правдоподобно. Кроме того, возможен и строгий вывод. Фактически он совпадает с одной из классических теорем, в которой вводятся иррациональные числа, теоремы о дедекиндовом сечении. Подробности можно найти в курсах теории функций вещественной переменной или основ анализа. См., например, Каратеодори (сноска 1 на стр. 356), стр. 11, Аксиома VII. Вместо упомянутого там множества {а} следует взять наш класс I; тогда множество {А} будет содержать наш класс II.
Второе. Числовое представление, определяемое (А:В) и (А:С), еще не согласовано с нашими требованиями (3:1:а), (3:1:Ь). Очевидно, что 3:1 :а) выполняется: это лишь другой способ выражения монотонности, обеспечиваемой (А:В). Однако остается еще проверить справедливость <3:1:Ь).
Мы выполним все эти требования одновременно. Ход рассуждений будет сначала идти по пути, соответствующему первому замечанию, однако в процессе этого будут установлены положения второго замечания и надлежащая единственность результата.
Мы начнем с доказательства группы лемм, которые более в духе второ-то замечания и требования единственности, однако на их основе мы смо-;жемютветить на вопрос, поставленный в первом замечании.
<(A:D) Пусть и0 и и0 такие, как указано выше: и0, v0 фиксированы
и щ <С v0. Для всех w в интервале и0 < w <С v0 определим числовую функцию / (w) = fUQt vo (w) следующим образом: (I) / (щ) = 0;
(II) /Ы =1;
(III) / (w) для w Ф и0, v0, т. е. для uQ < w < v0, есть то число а из интервала 0 < а < 1, которое соответствует w в смысле (А:В) и (А:С).
{А:Е) Отображение w / (w) обладает следующими свойствами:
(Г) оно монотонно; (1Г) для 0<р<1 и и>фщ
/((1-Р)"о + И = Р/ И;
(ИГ) для 0<Р<1 и и>фи0
/((1-Р)г;о + Р = 1-р + Р/И.
i(A:F) Отображение всех w из щ < w < v0 на любое множество
чисел, обладающее свойствами (I), (II) и либо (1Г), либо (ПГ), совпадает с отображением (A:D).
Доказательство. (A:D) является определением; мы должны доказать (А:Е) и (A:F).
(А:Е). (Г) Для щ <. w < v0 отображение монотонно согласно (А:В). Все w из этого интервала отображаются на числа > 0 и < 1, т. е. на числа большие, чем образ w0, и меньшие, чем образ v0. Поэтому мы имеем монотонность на щ w vQ.
(IV) Для w = и0 это утверждение превращается в / ((1 - Р) щ + + Руо) = Р, что совпадает с определением (А:В) (с р в качестве а).
Для случая w Ф v0, т. е. щ <Cw < v0, положим / (w) = а. Отсюда по (А:В)
w = (1 - а) щ + av0.
Тогда по (3:С:Ь) (с v0, щ, р, а соответственно в качестве и, v, а, р и с использованием (3:С:а)) мы имеем (1 - Р) и0 + $w = (1 - Р) щ + + р ((1 - а) и0 + av0) = (1 - Ра) щ + раг;0. Следовательно, по (А:В) должно быть / ((1 - Р) и0 + $w) = Ра = р/ (w), что и требовалось получить.
(ПГ) Для w = щ утверждение состоит в том, что / ((1 - Р) v0 + + Pu0) = 1 - Р, а это совпадает с определением (А:В) (с 1 - р в качестве а и с использованием (3:С:а)).