Повторение этого процесса присоединяет к V0 дележи
(67:В) а2 = 4, а3 = О, ах~т - 4, w - 5;
(67:С) а2 = 5, а3 = 0, а{ = ш - 5, w - 6
и требует продолжения процесса нахождения решения в области
(67:D) а26,
и т. д. и т. д.
Итак, V0 состоит из (67:R), (67:S), (67:Y), (67:Z), (67:B), (67:C), ... Эти множества можно охарактеризовать следующим образом:
(67:Е) а1 = 0, 1, .... м>;
(67:F) a2 = w - аи 1 -а4 (второе исключается, если aA = w;); (67:G) схз-0.
67.3.3. Результаты (67:Е) --(67:G) позволяют сделать следующие замечания.
Первое и второе. По поводу суммы ах-\-а2-\-аъ и ее связи с w мы можем дословно повторить соответствующие замечания из п. 67.2.3.
Третье. Здесь положение коренным образом отличается от случая из п. 67.2.3. Мы имеем тождественно а3 = 0. При приближении к непрерывному случаю, т. е. при w->оо, решение стремится к следующему виду:
(67 :Н) Oaw;
(67:Г) 4 = 1» -а*;
(67: J) а3 = 0.
Повторяя сравнение с (62:19) из п. 62.5.1, как это было сделано в соответствующей части п. 67.2.3, мы видим, что теперь ситуация такова: монотонные функции (62:19), которые описывают правила распределения между объединившимися покупателями, сейчас снова полностью определены, но в то же время мы обнаруживаем (вместо одинакового положения, которое эти игроки занимали в п. 67.2.3), что преимущество перешло полностью покупателю 2!
Мы теперь должны сравнить эти результаты с соответствующими результатами из п. 67.2.3 и интерпретировать явление в целом.
67.4. Выводы о соглашении
67.4. Выводы из результатов пп. 67.2.3, 67.3.3 очевидны. В первом случае оба покупателя имеют одинаковые возможности различения, т. е. равные единицы полезности, и правило распределения трактовало их одинаково. Во втором случае покупатель 2 имеет большие возможности различения, чем покупатель 3, именно, единица полезности 2 составляет половину единицы для 3, и в правилах распределения преимущество полностью перешло к покупателю 2. Ясно> что если они поменяются возможностями, то и с правилами произойдет то же самое. Мы можем сказать: в правиле распределения преимущество объединившихся покупателей делится между ними поровну, если они имеют одинаково тонкие шкалы полезностей, в противном случае это преимущество целиком переходит к тому покупателю, у которого шкала полезностей тоньше.
Замечание. Можно рассмотреть и более тонкий вариант: мы можем приписать а2 и а3 шкалы переменной плотности. В этом случае мы будем все еще иметь единственное решение по тем же причинам, что и раньше. Связь между а2 и а3, если ее изображать на плоскости а2, а3, есть комбинация трех типов, о которых было сказано выше: симметричного для а2, а3, т. е. изображаемого прямой, параллельной биссектрисе координатного угла; параллельного оси а3; параллельного оси а2.
Фактически можно построить любую желательную комбинацию этих элементов, выбирая соответствующим образом шкалы а2 и а3. При этом любая кривая может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована. Таким образом, восстанавливается первоначальная общность непрерывного случая.
Мы, однако, не предполагаем рассматривать здесь этот вопрос и родственные ему.
Это верно в дискретном случае, когда каждый участник имеет определенную шкалу полезности, и правило распределения (т. е. решение) определено однозначно. В непрерывном случае тонкость шкалы полезности не определена, и правила распределения, как мы уже видели, могут быть выбраны многими различными способами.
Итак, здесь мы впервые видим, как способность игрока к различению (именно, тонкость его шкалы полезности) оказывает определенное влияние на его положение при соглашении с союзником *). Следовательно, можно ожидать, что проблемы такого типа могут быть решены полностью, когда можно будет должным образом и систематически учесть связанные с ними психологические условия. Рассуждения в последнем параграфе можно считать первой попыткой соответствующего математического подхода.
г) Это происходит, конечно, только в тех случаях, когда теория с непрерывными етолезностями допускает несколько различных правил распределения между союзниками, что в свою очередь бывает, очевидно, в том случае, когда допускаются соглашения.
Приложение
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ
АЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
АЛЛ. Мы докажем в этом приложении, что аксиомы о полезности, перечисленные в п. 3.6.1, определяют полезность как число с точностью до линейного преобразованияг). Более точно: мы докажем, что эти аксиомы обеспечивают существование хотя бы одного отображения (в действительности их бесконечно много) полезностей на вещественные числа в смысле п. 3.5.1, со свойствами (3:1:а) и (3:1:Ь); мы докажем также, что любые два таких отображения получаются друг из друга линейным преобразованием, т. е. связаны соотношением (3:6).
Предварительно мы предпримем анализ аксиом (3:А) - (3:С) из п. 3.6.1; два следующих замечания об этих аксиомах могут быть полезными во избежание возможного неправильного понимания.
А.1.2. Первое замечание состоит в следующем. Эти аксиомы, именно группа (3:А), характеризуют понятие линейного упорядочения, основанного на отношениях >, <• Мы не аксиоматизируем отношение = , но интерпретируем его как полную индентичностъ. Альтернативная процедура - аксиоматизировать равенство тоже - была бы математически вполне законной; но таковой является и наша процедура. Эти две процедуры математически эквивалентны, и выбор той или иной из них является делом вкуса. Практика в соответствующей математической и логической литературе не является единообразной, и мы поэтому будем придерживаться простейшей из них.
Второе замечание следующее. Как указывалось в начале п. 3.5.1, мы пользуемся символом > как для обозначения «естественного» отношения и > v полезностей и и v, так и для отношения р > а чисел р и а; точно так же мы пользуемся записью а . . . + (1 - &) . . . как для «естественной» операции аи + (1 - а) г; над полезностями и и у, так и для операции ар + (1 - а) а над числами р, а (а в обоих случаях является числом). Можно возразить, что такая практика может вести к путанице, однако этого не случится, так как всегда будет ясно, являются входящие в соответствующее выражение величины полезностями (и, v, w) или числами (а, (5, 7, . . ., р, а). Эта идентификация обозначений для отношений и операций в двух случаях («естественном» и числовом) проста и облегчает прослеживание аналогии между «естественным» и числовым. По этой причине такие обозначения приняты почти всюду для подобных ситуаций в математической литературе; мы также будем ими пользоваться.
А.1.3. Выводы, которые будут сделаны в п. А.2, несколько громоздки и могут показаться довольно утомительными для математически неподготовленного читателя. С чисто математической точки зрения имеется еще и то возражение, что они не могут быть достаточно глубокими - идеи, ведущие к этим выводам, слишком просты, но технические выкладки,* к сожалению, должны быть достаточно объемистыми для того, чтобы
!) То есть без фиксации нуля или единицы полезности.