назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [ 201 ] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


201

Повторение этого процесса присоединяет к V0 дележи

(67:В) а2 = 4, а3 = О, ах~т - 4, w - 5;

(67:С) а2 = 5, а3 = 0, а{ = ш - 5, w - 6

и требует продолжения процесса нахождения решения в области

(67:D) а26,

и т. д. и т. д.

Итак, V0 состоит из (67:R), (67:S), (67:Y), (67:Z), (67:B), (67:C), ... Эти множества можно охарактеризовать следующим образом:

(67:Е) а1 = 0, 1, .... м>;

(67:F) a2 = w - аи 1 -а4 (второе исключается, если aA = w;); (67:G) схз-0.

67.3.3. Результаты (67:Е) --(67:G) позволяют сделать следующие замечания.

Первое и второе. По поводу суммы ах-\-а2-\-аъ и ее связи с w мы можем дословно повторить соответствующие замечания из п. 67.2.3.

Третье. Здесь положение коренным образом отличается от случая из п. 67.2.3. Мы имеем тождественно а3 = 0. При приближении к непрерывному случаю, т. е. при w->оо, решение стремится к следующему виду:

(67 :Н) Oaw;

(67:Г) 4 = 1» -а*;

(67: J) а3 = 0.

Повторяя сравнение с (62:19) из п. 62.5.1, как это было сделано в соответствующей части п. 67.2.3, мы видим, что теперь ситуация такова: монотонные функции (62:19), которые описывают правила распределения между объединившимися покупателями, сейчас снова полностью определены, но в то же время мы обнаруживаем (вместо одинакового положения, которое эти игроки занимали в п. 67.2.3), что преимущество перешло полностью покупателю 2!

Мы теперь должны сравнить эти результаты с соответствующими результатами из п. 67.2.3 и интерпретировать явление в целом.

67.4. Выводы о соглашении

67.4. Выводы из результатов пп. 67.2.3, 67.3.3 очевидны. В первом случае оба покупателя имеют одинаковые возможности различения, т. е. равные единицы полезности, и правило распределения трактовало их одинаково. Во втором случае покупатель 2 имеет большие возможности различения, чем покупатель 3, именно, единица полезности 2 составляет половину единицы для 3, и в правилах распределения преимущество полностью перешло к покупателю 2. Ясно> что если они поменяются возможностями, то и с правилами произойдет то же самое. Мы можем сказать: в правиле распределения преимущество объединившихся покупателей делится между ними поровну, если они имеют одинаково тонкие шкалы полезностей, в противном случае это преимущество целиком переходит к тому покупателю, у которого шкала полезностей тоньше.



Замечание. Можно рассмотреть и более тонкий вариант: мы можем приписать а2 и а3 шкалы переменной плотности. В этом случае мы будем все еще иметь единственное решение по тем же причинам, что и раньше. Связь между а2 и а3, если ее изображать на плоскости а2, а3, есть комбинация трех типов, о которых было сказано выше: симметричного для а2, а3, т. е. изображаемого прямой, параллельной биссектрисе координатного угла; параллельного оси а3; параллельного оси а2.

Фактически можно построить любую желательную комбинацию этих элементов, выбирая соответствующим образом шкалы а2 и а3. При этом любая кривая может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована. Таким образом, восстанавливается первоначальная общность непрерывного случая.

Мы, однако, не предполагаем рассматривать здесь этот вопрос и родственные ему.

Это верно в дискретном случае, когда каждый участник имеет определенную шкалу полезности, и правило распределения (т. е. решение) определено однозначно. В непрерывном случае тонкость шкалы полезности не определена, и правила распределения, как мы уже видели, могут быть выбраны многими различными способами.

Итак, здесь мы впервые видим, как способность игрока к различению (именно, тонкость его шкалы полезности) оказывает определенное влияние на его положение при соглашении с союзником *). Следовательно, можно ожидать, что проблемы такого типа могут быть решены полностью, когда можно будет должным образом и систематически учесть связанные с ними психологические условия. Рассуждения в последнем параграфе можно считать первой попыткой соответствующего математического подхода.

г) Это происходит, конечно, только в тех случаях, когда теория с непрерывными етолезностями допускает несколько различных правил распределения между союзниками, что в свою очередь бывает, очевидно, в том случае, когда допускаются соглашения.



Приложение

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ

АЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

АЛЛ. Мы докажем в этом приложении, что аксиомы о полезности, перечисленные в п. 3.6.1, определяют полезность как число с точностью до линейного преобразованияг). Более точно: мы докажем, что эти аксиомы обеспечивают существование хотя бы одного отображения (в действительности их бесконечно много) полезностей на вещественные числа в смысле п. 3.5.1, со свойствами (3:1:а) и (3:1:Ь); мы докажем также, что любые два таких отображения получаются друг из друга линейным преобразованием, т. е. связаны соотношением (3:6).

Предварительно мы предпримем анализ аксиом (3:А) - (3:С) из п. 3.6.1; два следующих замечания об этих аксиомах могут быть полезными во избежание возможного неправильного понимания.

А.1.2. Первое замечание состоит в следующем. Эти аксиомы, именно группа (3:А), характеризуют понятие линейного упорядочения, основанного на отношениях >, <• Мы не аксиоматизируем отношение = , но интерпретируем его как полную индентичностъ. Альтернативная процедура - аксиоматизировать равенство тоже - была бы математически вполне законной; но таковой является и наша процедура. Эти две процедуры математически эквивалентны, и выбор той или иной из них является делом вкуса. Практика в соответствующей математической и логической литературе не является единообразной, и мы поэтому будем придерживаться простейшей из них.

Второе замечание следующее. Как указывалось в начале п. 3.5.1, мы пользуемся символом > как для обозначения «естественного» отношения и > v полезностей и и v, так и для отношения р > а чисел р и а; точно так же мы пользуемся записью а . . . + (1 - &) . . . как для «естественной» операции аи + (1 - а) г; над полезностями и и у, так и для операции ар + (1 - а) а над числами р, а (а в обоих случаях является числом). Можно возразить, что такая практика может вести к путанице, однако этого не случится, так как всегда будет ясно, являются входящие в соответствующее выражение величины полезностями (и, v, w) или числами (а, (5, 7, . . ., р, а). Эта идентификация обозначений для отношений и операций в двух случаях («естественном» и числовом) проста и облегчает прослеживание аналогии между «естественным» и числовым. По этой причине такие обозначения приняты почти всюду для подобных ситуаций в математической литературе; мы также будем ими пользоваться.

А.1.3. Выводы, которые будут сделаны в п. А.2, несколько громоздки и могут показаться довольно утомительными для математически неподготовленного читателя. С чисто математической точки зрения имеется еще и то возражение, что они не могут быть достаточно глубокими - идеи, ведущие к этим выводам, слишком просты, но технические выкладки,* к сожалению, должны быть достаточно объемистыми для того, чтобы

!) То есть без фиксации нуля или единицы полезности.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [ 201 ] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]