назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [ 200 ] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


200

67.2.2. Теперь лучше отклониться от схемы (65:2), (65:3) из п. 65.7.2, т. е. не продолжать определения В2, С2, В3, С3, . . ., а воспользоваться индуктивным процессом, который больше подходит в данном конкретном случае.

Рассмотрим а, для которых (67:Е) а2 = 0 или а3 = 0.

Это соответствует случаям (67:А), (67:В), (67:D). Мы знаем, что из этих дележей V0 содержит в точности те, которые удовлетворяют (67:А), (67:В).

Остаются те а, для которых

(67:F) а2, а31.

Следовательно, они не доминируются дележами (67:А), (67:В). Итак, мы образуем V0, беря (67:А) и (67:В) вне области (67:F) и повторяя процесс нахождения решения в (67:F).

Сравним (67:F) с (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Разница состоит здесь только в том, что а2 и а3 возрастают на 1. Следовательно, w можно заменить на w - 2. Поэтому V0 содержит еще

(67:G) (67:Н)

а2 = а3 = 1, a{ = w- 2, w - 3;

( а2 - 2, а3 = 1 "j < или > , ai = w- 3,

[ а2 = 1, а3 = 2 J

и мы должны повторить этот процесс нахождения решения при (67:1) а2, а32.

Повторение процесса присоединяет к V0 дележи (67:J) а2 = а3 = 2, ai = w - 4, w - 5;

{а2 = 3, а3 = 2 Л или > ,

а2 = 2, а3 = 3 J

и требует повторения процесса нахождения решения при (67:L) а2, а33,

и т. д. и т. д.

Итак, V0 состоит из (67:А), (67:В), (67:G), (67:Н), (67:J), (67:К). Эти множества можно охарактеризовать следующим образом:

(67:М) а1 = 0, w;

(67:N)

<67:0)

а2 = а3 ==

а2 = а3 = w-1 - а4

w-а4

, если W - а4 четно;

а2 =

IV- 1 -

а3: а3-

W- 1 - OCi

если w - a,i нечетно.



67.2.3. Результаты, содержащиеся в (67:М) - (67:0), позволяют сделать следующие замечания.

Первое. Значениями а4 + а2 + а3 в этом решении будут w и w - 1. Следовательно, мы не можем заменить в (67:2:Ь) из п. 67.1.3 на =, и результаты, установленные в (56:1:Ь) из п. 56:12, здесь неверны. Максимум социальной выгоды не обязательно достигается, и это оказывается прямым следствием существования неделимых единиц полезности х).

Второе. Такая «дискретная» шкала полезности сходится к обычной непрерывной, если wоо. (См. соответствующие рассуждения в п. 19.12, касающиеся дискретных и непрерывных раскладов в покере.) Разница между а4 + а2 + а3 и упомянутым выше w не может превосходить 1. Следовательно, когда она становится все более и более незна-

чительной, и в этом смысле ситуация приближается к той, которая имеет место в непрерывном случае.

Третье. а2 и а3 отличаются друг от друга не более чем на 1. Следовательно, разница между ними становится несущественной при w оо. Значит, когда мы приближаемся к непрерывному случаю, решение принимает такой вид:

(67:Р) Oaw;

(67:Q) а2 = а3 = =. .

Как отмечалось в первой части п. 67.1.3, это решение надо сравнить с (62:19) из п. 62.5.1 при значениях и - 0, v = w. Эти два решения действительно похожи, но наше решение покрывает лишь один частный случай (62:19): монотонно убывающие функции а1? фигурирующие там,

совпадают друг с другом и с -.

Эти функции описывают, как было рассмотрено в п. 62.6.2, правила дележа, выработанные в результате соглашения двух покупателей, когда они образуют коалицию (эти правила даются условиями (62:19)). В непрерывном случае эти правила в высшей степени произвольны, но сейчас, в дискретном случае, они оказались вполне определенными: оба покупателя должны рассматриваться совершенно одинаково.

Каков смысл этой симметрии? Являются ли другие правила распределения, т. е. другие выборы функций в (62:19), в «дискретном» случае фактически невозможными?

67.3. Обобщение. Различные дискретные шкалы полезностей

67.3.1. Для того чтобы ответить на поставленные выше вопросы, мы должны попытаться уничтожить симметрию (между двумя покупателями), но сохранить «дискретность».

Это будет сделано в результате изменения модели п. 67.1, при котором покупателю 2 приписывается значение неделимой единицы полезности, отличное от значения, приписываемого покупателю 3. Именно, мы будем считать, что числа аА и а2 - целые, а число а3 - целое четное. Все остальное из п. 67.1 мы оставим без изменения.

Теперь проведем рассуждения, аналогичные проведенным в п. 67.2. В соответствии с этим начнем с определения множеств С4 из п. 65.7*

) Ср. со сноской 2 на стр. 519.



By есть множество тех а, которые не могут быть доминируемы. Для

->

того чтобы доминировать а, надо увеличить аь а также а2 или а3, не нарушая (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Это увеличение равно 1 (для аи а2)

или 2 (для а3), в то время как одна из оставшихся компонент а2, а3 может

->

быть уменьшена до 0. Следовательно, а может быть доминируемо, если либо (а4 + 1) + (а2 + 1) <; w, либо (с*! + 1) + (а3 + 2) <; w. Итак, Bi определяется следующим образом:

(67:5) . (а4 +1) + (а2 +1) > м?, (cq +1) + (а3 + 2) > т.

Ввиду (67:2:а) и (67:2:Ь) отсюда следует, что а3<2, а2<3, т.е. а2 = = 0, 1, 2, а3 = 0. Теперь (67:5) вместе с (67:2:а) и (67:2:Ь) даст следующие возможности:

(67:R) а2 = 0, а3 = 0, ai = w, w - i\

(67:S) а2=1, а3 = 0, aw -1, w - 2;

(67:Т) а2 = 2, а3 = 0, 0 = - 2.

С4 есть множество тех а, которые доминируются элементами из Ви т. е. теми, которые удовлетворяют условиям (67:R) -(67:Т). Легко проверить, что они характеризуются соотношениями

(67:U) а2 = 0, -

(67:V) сх2= 1, -

67.3.2. Воспроизведем теперь вариант п. 67.2.2. Вместо определения 52, С2, 53, С3, ... мы используем иной индуктивный процесс.

Рассмотрим те а, для которых (67: W) О2 = 0, 1.

Эти дележи как раз составляют множества (67:R), (67:S), (67:U) и (б?)1).

->

Мы знаем, что V0 содержит из них (67:R) и (67:S). Остаются те а, для которых

(67:Х) а22

и которые поэтому не доминируются дележами (67:R), (67:S). Так мы составляем V0, беря (67:R) и (67:S) вне (67:Х) и повторяя процесс нахождения решения в (67 :Х).

Сравним (67:Х) с (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Единственная разница состоит здесь в том, что а2 увеличилось на 2. Следовательно, с w можно обращаться так, как будто это есть w- 22). Итак, V0 содержит теперь еще

(67:Y) а2 = 2, а3 =-0, aw - 2, w- 3;

(67:Z) а2 = 3, а3 = 0, аА -=w - 3, w - A,

и мы должны повторить процесс нахождения решения в (67:А) сс24.

х) Заметим, что а3 не может равняться 1, так как это число должно быть четным. 2) Заметим, что есть различие между этим и соответствующим ему шагом в п. 67.2.2, следующим за (67:F).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [ 200 ] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]