назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [ 2 ] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


2

Advances in game theory. Ed. by M. D г e s h e r, L. S. S h a p 1 e y,

A. W.Tucker, Princeton, 1964, 679 стр.

Собранные здесь 29 статей показывают, что фундаментальные исследования по теории игр активно продолжаются одновременно во многих направлениях. В первых 13 статьях рассматриваются игры двух лиц; представляется, что преобладающими здесь являются проблемы, связанные с состоянием информации у игроков. Остальные 16 работ посвящены играм п лиц. Здесь делаются попытки ввести новые понятия решения для бесконечных позиционных игр, в которых имеется континуум альтернатив и допускаются партии бесконечной длины.

S*h u b i k M. (ed.), Game theory and related approaches to social behaviour, New York, 1964, xi + 390 стр.

Эта книга является собранием 23 отрывков, взятых из книг и статей, охватывающих все области фактических и потенциальных приложений теории игр к социальным наукам. Шубик написал введение (80 страниц), в котором дается широкий обзор социальных ситуаций, поддающихся теоретико-игровому анализу.

Isaacs R., Differential games: A mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization, New York, 1965, xxii + + 384 стр. x).

Автор развивает широкую теорию игр преследования, уклонения, соперничества и т. д., описывая непрерывное и дискретное поведение. Многие из рассмотренных здесь задач аналогичны проблемам, изучавшимся в работах Понтрягина, Келенджеридзе и других советских авторов. Указан ряд трудных, до сих пор не решенных задач.

Rapoport A., Chammah А. М., Prisoners dilemma, Ann. Arbor, 1965.

Наиболее подробный анализ знаменитой проблемы; освещены также многочисленные тщательно продуманные эксперименты, включающие обучение в повторяющихся партиях, цепи Маркова и т. д.

Rapoport A., Two-person game theory: the essential ideas, Ann. Arbor, 1966, 229 стр.

Популярная книга, в которой приведены также многочисленные интересные примеры.

Theory of games, techniques and applications. Ed. by A. M e n s с h, London, 1966, 490 стр.

Труды конференции, состоявшейся в 1964 г. в Тулоне (Франция) и организованной Комитетом по научным делам при НАТО. Рассматривается широкий круг проблем: информация, преследование, угрозы, экспериментальные игры, распределение ресурсов и т. п.

г) Русский перевод: Р. А й з е к с, Дифференциальные игры, М., «Мир», 1967.- Прим. ред.



S h u b i к М. (ed.), Essays in mathematical economics, in honor of Oskar

Morgenstern, Princeton, 1967, xx + 475 стр.

Первая часть этой книги содержит шесть статей по теории игр. Ауман дает подробный обзор кооперативных игр без побочных платежей. Кун обобщает игру справедливого разделения на случай п лиц. Дэвис, Машлер и Пелег приводят важные доказательства для теории множеств договоров и устойчивых конфигураций выигрышей, а Шепли и Шубик дают исчерпывающее рассмотрение связей теории игр с теорией свободной конкуренции.

В дополнение к этим книгам я упомяну еще книгу, N у b 1 е n G.r The problem of summation in economic science, Lund, 1951, хотя она и вышла до 1953 г. Это первая книга, в которой теория игр применяется к экономике. Дается, в частности, обоснование экономической оценки классической неаддитивности характеристической функции для игр п лиц. Проводится теоретико-игровой анализ денежной инфляции.

* Аналогично К. Эрроу (Arrow К., Social choice and individual values, New York, 1951; 2nd ed. 1964) доказал - при некоторой системе разумных аксиом о предпочтениях - неаддитивность индивидуальных предпочтений при попытке построения функции предпочтения для сообщества. Это - основная проблема экономики благосостояния, по которой имеется обширная литература.

Наконец, имеются две книги Зигеля и Фурэйкера (S i е g е 1 S., Fouraker L. Е., Bargaining and group decision making, New York, 1960; Bargaining behaviour, New York, 1963), в которых описаны важные эксперименты, касающиеся в основном рыночных ситуаций. Большое внимание в этих экспериментах уделялось психологическим аспектам поведения при торгах.

4. Приведенный здесь список основных книг показывает, что в рамках нескольких абзацев нет никакой возможности адекватно отразить основные тенденции развития теории игр после 1953 г. Поэтому я ограничусь перечислением следующих основных вопросов.

а) Исследование игр двух лиц как с нулевой, так и с ненулевой суммой достигло весьма высокого уровня развития. Однако здесь все еще остаются большие вычислительные проблемы, а также вопросы, касающиеся состояния информации игроков, знания ими правил игры, выгодности или невыгодности раскрытия собственной функции полезности в некоторых условиях переговоров и т. п.

Интересной разработкой явилось использование теории игр для обобщения модели расширяющейся экономики фон Неймана, предложенное Кеменем, Моргенштерном и Томпсоном (Econometrica 24) (1956), 115-127), а также Моргенштерном и Томпсоном (Kyklos, XX (1967), 387-409). В этих работах теория игр используется как математический аппарат, а не как модель реальной действительности; это применение представляется во многих отношениях неожиданным. В первой работе вводится понятие подэкономики и доказывается, что экономика не обязательно будет идти к эффективной точке.

б) В теории кооперативных игр п лиц предпринималось много попыток выработать новые понятия решения - в перспективе прийти тем самым к более простым понятиям и, может быть, даже найти такие решения, которые окажутся единственными. Имелась надежда, что любая игра п лиц в форме характеристической функции должна обладать решением. Эта гипотеза была основана на том факте, что каждая из изучавших-



ся до сих пор игр таким решением действительно обладала, даже если п было сколь угодно велико, как, например, в интересном случае простой игры [1, . . ., 1, п - 2]h с главным игроком (см. § 55, гл. X). Однако в октябре 1967 г. У. Лукас нашел игру 10 лиц в форме характеристической функции, которая не имеет решения (устойчивого множества). С точки зрения решений эта игра эквивалентна некоторой игре с супер аддитивной характеристической функцией (см. Lucas W. F., A game with no solution, RAND Corp., Memorandum RM-5518-PR, 1967). Это исключительно важное открытие будет стимулировать поиск других понятий решения по их математической и эмпирической значимости и откроет новые направления для дальнейшего развития теории игр.

Одним из возможных подходов к проблеме решений является выделение из всех множеств, описывающих исходы игры, некоторых особых множеств, которые могут считаться в каком-то смысле «устойчивыми». Другой подход заключается в погружении кооперативной игры в бескоалиционные модели переговоров; тем самым кооперативный случай сводится к более простому бескоалиционному. Первый подход, принадлежащий в основном Ауману и Машлеру, представляется весьма обещающим; в частности, он дает возможность для экспериментов, которые стали весьма важными и значение которых несомненно будет возрастать, ибо они уже сейчас ведут за собой теоретические исследования.

Теория кооперативных игр с побочными платежами обобщена на случай игр без побочных платежей. Это привело ко многим новым результатам; например, показано, что существуют игры, не имеющие решения, а также игры без побочных платежей и коалиций, для которых множество М{1) устойчивых конфигураций пусто (мы используем обозначения Машлера, которому принадлежит много работ в этой области). Это могло бы привести к пересмотру системы аксиом, при котором осталось бы выполненным требование о том, что любая игра имеет решение.

Важные работы были проделаны (и ведутся в настоящее время) в направлении исследования с-ядра. Это понятие было введено фон Нейманом и Моргенштерном и развито Джил лисом (1953). Было показано (впервые, очевидно, О. Н. Бондаревой в 1963 г. и повторно Шепли в 1965 г.), что принадлежащие некоторому классу игры с побочными платежами в форме характеристической функции имеют непустое с-ядро; с-ядра выпуклых игр изучались Шепли, который обнаружил их специфическую регулярную структуру; Ауман ввел понятие с-ядра игры без побочных платежей, а Скарф нашел необходимое и достаточное условие того, что последняя обладает непустым с-ядром.

Эти результаты имеют особую ценность для приложений к экономике, и сейчас в этом направлении ведется интенсивная работа. Особо отметим приведенную выше ссылку на совместные публикации Шепли и Шубика.

в) Бескоалиционные игры п лиц основаны на идее ситуаций равновесия, введенных первоначально Нашем, который показал, что любая конечная игра п лиц имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. Этот результат широко признан и получил применения во многих областях. Были найдены его чисто алгебраические доказательства, которые привели даже к эффективным схемам вычисления ситуаций равновесия.

Рассмотрение этих игр естественным образом привело к идее (предвосхищенной Вальрасом еще в 1874 г.) использования континуума игроков. Эти усилия выявляют по крайней мере одну точку соприкосновения теории игр и классической лозаннской школы общего экономического

[Старт] [1] [ 2 ] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]