§ 67. ОБСУЖДЕНИЕ ПРИМЕРА

67.1. Описание примера

67.1.1. Мы сейчас рассмотрим пример, в котором понятия полезности и трансферабельности модифицированы. Эти модификации не представляют собой значительного расширения нашей точки зрения на эти понятия. Наш пример представляет интерес скорее потому, что он допускает применение результатов, касающихся ацикличности, и приводит к выводам, которые проливают новый свет на вопросы, затронутые в конце п. 65.9. В частности, можно надеяться, что подобные процедуры позволят построить более адекватную математическую модель для таких явлений, как торговое соглашение.

67.1.2. Модификация, которую мы рассматриваем, состоит в следующем. Предположим, что полезность (или ее денежный эквивалент) состоит из неделимых единиц. Таким образом, мы не оспариваем ее числового характера, но требуем, чтобы ее значение, выраженное в надлежащих единицах, было целым. Тем самым передаваемые количества также необходимо ограничиваются целыми числами, но дальнейших ограничений не делается. Мы предполагаем, как и прежде, пользоваться характеристической функцией, но тоже с целыми значениями. Понятия доминирования и решения остаются без изменений.

Если такую точку зрения применить к общим играм одного и двух лиц, то никаких существенных изменений не произойдет, т. е. все остается, по существу, таким же, как и в нашей старой теории. Поэтому нет необходимости подробно останавливаться на этих случаях. С другой стороны, игры трех лиц приобретут некоторые новые черты, даже в своей старой, нулевой форме. При этом возникнут некоторые весьма специфические трудности, которые, как окажется, представляют значительный интерес, но еще недостаточно изучены. Поэтому мы предпочтем отложить их анализ до другого случая.

Это исключает исчерпывающее исследование общей игры трех лиц в новой модели. Мы, однако, проанализируем некоторый частный случай, который имеет прямое отношение к природе торговых соглашений. Это - рынок трех лиц, состоящий из одного продавца и двух покупателей.

67.1.3. При предварительном анализе этого случая мы получили различные решения, зависящие от того, может ли происходить только одна (индивидуальная) сделка или несколько, а также от относительной силы двух наших покупателей. Эти решения описаны в (62:С) из п. 62.5.2 и в (63:Е) из п. 63.5. Во всех этих случаях оказалось, что общее решение состоит из двух частей: (62:18) (или (62:20), (62:21) и (63:30)) и (62:19) (или (62:23) и (63:31)). Наше исследование этого случая показало, что части типа (62:18) соответствуют ситуации, в которой оба покупателя конкурируют друг с другом, в то время как части типа (62:19) соответствуют ситуации, когда они образуют коалицию против продавца. Часть типа (62:18) определена однозначно и, по существу, находится в согласии с обычными, основанными на здравом смысле экономическими представлениями об этом предмете. Часть типа (62:19), с другой стороны, определяется с помощью весьма произвольных функций. Как мы видели в п. 62.6.2, эти функции соответствуют различным возможным правилам разделения полученного выигрыша между объединенными игроками. Тем самым они утверждают нормы их поведения внутри коалиции. Наше настоящее исследование имеет целью получить некоторую дополнитель-

ную информацию, касающуюся функционирования этой части социального механизма.

Для того чтобы сделать это эффективно, целесообразно исключить из рассмотрения все те элементы, которые в этом отношении несущественны. Таким образом, мы хотим избавиться от части нашего решения типа (62:18). Мы знаем из пп. 62.5.2 и 62.6.1, что эта часть имеет наименьший объем и может быть фактически вовсе опущена (см. сноску 3 на стр. 572)), если в принятых обозначениях v = w. Это означает, что может произойти только одна (неделимая) сделка и что оба покупателя имеют равные силы. Решение тогда описывается соотношениями (62:20) и (62:19) из п. 62.5 (соотношение (62:20) становится излишним, см. выше) или рис. 77.

Итак, мы предположим в схеме п. 66.1.2 v - w. Мы можем сделать дальнейшее упрощение, без каких-либо значительных потерь, положив «полезность альтернативного использования товара для продавца» и = 0. Таким образом, равенства (62:2) - (62:4) из п. 62.1.2, определяющие характеристическую функцию, упростятся до

Замечание. Заметим, что мы используем (67:2:Ь) с <, а не с =. Эта точка зрения принята при анализе (66:2) из п. 66.3.2. В терминологии (56:1:Ь) из п. 56.12 это означает, что используется (56:10) и не используется (56:25). Это делается по той причине, что первое условие является первоначальным (см., например, п. 56.8.2), а эквивалентность, использованная в п. 56.12 в данной модели не имеет места.

Мы увидим в первом замечании в п. 67.2.3, что и = из (67:2:Ь) должны привести к различным результатам; однако эта разница сгладится в общей картине. Кроме того, использование = вместо в (67:2:Ь) привело бы к результатам, отличающимся лишь второстепенными деталями от тех, которые мы собираемся получить.

67.1.4. Предположим теперь, что все эти величины, т. е. данное w и все допустимые al5 a2, a3 из (67:2:а) и (67:2:Ь), являются целыми.

Доминирование определим, как и прежде, т. е. посредством п. 56.11.1; это означает, что мы повторяем определения из 30.1.1 дословно.

Поэтому необходимо определить характер множеств S s I = (1, 2, 3) в связи с их ролью в определении доминирования. Легко показать, что множества

являются заведомо необходимыми, а все остальные - заведомо не необходимыми *). Таким образом, мы можем воспользоваться опреде-

*) Условия заведомой необходимости и заведомой ненеобходимости были введены в п. 31.1 и снова рассматривались в п. 59.3.2. Так как наша точка зрения опять изменилась (см. выше, особенно замечание), необходимо вернуться к рассмотрению этих понятий. Проще всего определить их заново.

На основании (67:2:а) и условия (30:3) из п. 30.1.1 каждое S, для которого v (S) = = 0, является заведомо не необходимым. Это распространяется на S - (1), (2), (3), (2, 3). Обращение к (67:1), (67:2:а), (67:2:Ь) дает нам a4 -f- а2 < w = v ((1, 2)), а4 + + а3 w = v ((1, 3)); следовательно, множества S - (1, 2), (1, 3) заведомо необходимы. Так как (31:С) из п. 31.1.3, очевидно, остается в силе, это делает множество S = (1, 2, 3) заведомо не необходимым.

(67:1)

v((l)) = v((2)) = v((3)) = 0, v((l, 2)) = v((l, 3)) = ы>, v((2, 3)) = 0, v((l, 2, 3)) = и>.

Дележи теперь определяются как a = {{alt a2, а3}}, гДе (67:2:а) а0, а2=:0, а3=т0.

(67:2:b) а4 + ос2 -f а3 =g w.

S = (1,2), (1,3)

лением доминирования относительно S = (1, 2), (1,3). Следовательно* a&-fi означает, что

(67:3:а) оц>$1

(67:3:Ь) а2>32 или а3>33.

Итак, из доминирования следует (67:3:а); поэтому отношение доминирования ациклично. (См. соответствующее обсуждение в п. 65.9.)

Кроме того, определяемая неравенствами (67:2:а), (67:2:Ь) область деле-->

жей а конечна, так как компоненты аи а2, а3 должны быть целыми *).

Теперь мы можем применить (65:Х) из п. 65.7.2. Мы получаем, что существует единственное решение V0, которое описывается формулами (65:2) и (65:3) из этого пункта.

67.2. Решение и его интерпретация

67.2.1. Для того чтобы применить формулы (65:2) и (65:3) из п. 65.7.2, мы должны определить множества Вг, Сг, определенные в начале п. 65.7.1. Сделаем это для Bt,

Bi есть множество тех а, которые не могут быть доминируемыми.

->

Для того чтобы доминировать а, мы должны увеличить аь а также и а2 или а3, не нарушая (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Эти числа можно увеличить не меньше чем на 1, в то время как оставшаяся компонента

или а3 может быть уменьшена до 0. Следовательно, а может быть доми-нировано, если

либо (at + 1) -4- (а2+ 1) =ч и>, либо (oq-f- 1) + (а3 +1) w. Итак, Bt определяется неравенствами

(67:4) (а4 +1) + (а2 + 1) > ш, (а4 + 1) + (а8 +l)>w.

С помощью (67:2:а) и (67:2:Ь) мы получаем а3 < 2, а2 < 2, т. е. а2, а3 = == 0, 1. Теперь (67:4) в соединении с (67:2:а) и (67:2:Ь) дает следующие возможности:

67:А) a2 = a3 = 0, at = w, w- 1;

{02 = 1, а3 = 0 Л или I , а± = и?-и

а? = 0, а3 = 1 J (67:С) а2 = а3=1, а{ = ю - 2.

Ct есть множество тех дележей а, которые доминируются элементами из Bt, т. е дележами из (67:А) - (67:С). Легко проверить, что они характеризуются посредством

( а2 = 0

(67:D) < или У ai=w - 2.

[ а3 = 0 J

*) Это, конечно, не имело места в первоначальной непрерывной модели.