назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [ 198 ] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


198

ся серьезными. Так, примеры из пп. 26.1 и 57.3 таковы, что характеристические функции можно определить непосредственно, без реальной необходимости обращения к теории игр двух лиц с нулевой суммой. Конечно, эти примеры сконструированы так, чтобы получить известные, заранее предписанные характеристические функции, - следовательно, легкость, с которой они могут быть получены, едва ли удивительна. Однако существуют и другие, более важные, примеры того же самого явления: так, определение характеристических функций не вызывает трудностей в теории простых игр из главы X Далее, различные модели рынков, рассмотренные в пп. 61.2-64.2, все имеют характеристические функции, которые вычисляются легко и непосредственно.

В этих случаях можно легко заменить числовые полезности более общими понятиями. Мы предполагаем сделать это по другому поводу.

66.3. Обсуждение второго этапа

66.3.1. Если характеристическая функция принимается как заданная, то мы можем перейти ко второму этапу.

Здесь необходимость численной полезности может быть полностью обойдена. Мы не предполагаем описывать это во всех деталях, так как предмет в целом еще недостаточно созрел для полной-математической формализации. Действительно, первый этап осложнен неразрешенными трудностями, которые описаны выше. Однако имеется некоторая надежда на то, что унифицированная форма теории, контуры которой мы в данный момент видим, сможет привести нас к желаемой цели.

Поэтому мы дадим лишь некоторые общие указания, касающиеся исследования второго этапа.

Начнем с того, что отказ от трансферабельности полезности, так же как и отказ от ее числового характера, приводит к невозможности непосредственного определения таких понятий, как игры с нулевой суммой или игры с постоянной суммой. Следовательно, лучше всего иметь дело сразу с общими играми.

Рассмотрим поэтому общую игру п лиц. Так как мы располагаем теорией главы XI, мы можем забыть о ее возникновении из теории игр с нулевой суммой и попытаемся непосредственно распространить ее на более общий случай нечисловых и нетрансферабельных полезностей.

Дележи

а = {{а4, ..., ап}}

по-прежнему останутся векторами, но их компоненты а1? . . ., ап могут уже не быть числами. Надо отметить, что если мы откажемся от числового характера полезности, то лучше всего будет предположить, что каждый участник i (= 1, . . ., п) имеет свою собственную область индивидуальных полезностей °Ии т. е. . . ., °11п, вообще говоря, будут различными. В этой модели каждая компонента at должна принадлежать °lLi. Следует отметить, что, даже если все полезности числовые, т. е. если . . ., Ч1п совпадают друг с другом и с множеством всех вещественных чисел, мы тем не менее можем опустить предположение о трансферабельности. Можно также рассматривать случай, когда трансферабель-ность имеет место, но подчинена некоторым ограничениям. Соответствующий пример будет разобран в § 67.

г) Эти игры определяются указанием выигрывающих коалиций, и в этом уже содержится неявное определение характеристической функции.



66.3.2. Теперь надо рассмотреть ограничения, налагаемые на компоненты с. Они будут двух видов. Во-первых, область всех дележей была определена в п. 56.8.2 посредством

(66:1) ajv((0) Для i = l,

(66:2) 2 a*v((l, ...,/г))1).

Во-вторых, мы определяли доминирование с помощью понятия эффективности, основанной на неравенстве

(66:3) 2 a*v(£),

которое есть (30:3) из п. 30.1.1.

Все эти неравенства принадлежат некоторому общему типу: дано некоторое множество Т (Т = (г) в (66:1), Т = (1, . . ., п) = I в (66:2)

иГ = 5в (66:3)) и требуется, чтобы в дележе а это множество (коалиция) Т находилось бы не в лучшем положении (в (66:1)) или не в худшем (в (66:2) и (66:3)), чем при получении v (Т).

Положение коалиции 7\ т. е. синтез положений всех ее участников, характеризуется во всех этих неравенствах суммой компонент дележа

2 ось. Для нечисловых полезностей области . . ., °Un могут отлижет

чаться друг от друга и, кроме того, для них может не существовать понятия сложения, так что образование, подобное 2 afe> может оказаться

бессмысленным. Но, даже если полезности числовые, использование

2 а* в таком контексте, очевидно, равносильно предположению г

их неограниченной трансферабельности. В самом деле, положение коалиции можно описать при помощи суммы выплат ее членам без ссылки на индивидуальные полезности только в том случае, если эти члены в состоянии распределить между собой эту сумму любым способом, с которым все они согласны, т. е. если нет никаких физических препятствий к передаче.

Поэтому, вообще говоря, мы должны будем воздержаться от использования 2 ak- Вместо этого мы должны ввести область полезностей

feeT

для составного игрока, состоящего из всех членов данной коалиции Т. Обозначим эту область через °IL (Т). Ясно, что °И ((к)) есть просто Область °ll (Т) должна получиться в результате некоторого синтеза областей °llk для всех к £ Т. Совсем нетрудно построить для этого процесса соответствующий математический алгоритм, однако мы предполагаем обсудить этот вопрос в другой раз.

Набор чисел ад, где к £ Т, так же как назначение v (Т) характеристической функции, должны быть элементами этой системы. Неравенства (66:1), (66:2) и (66:3) убудут относиться тогда к предпочтениям в такой системе полезностей.

х) Мы предпочитаем пользоваться здесь (56:10) вместо альтернативно возможного 5 6:25) из (56:1:Ь) в п. 56.12.



66.4. Желательность унификации двух этапов

66.4. Надеясь, что читатель не сочтет анализ в п. 66.3 слишком схематичным, мы покажем теперь, как можно получить желательную унификацию двух наших этапов. Наша теория игр двух лиц с нулевой суммой фактически опирается на те же общие принципы, что и последующая система дележей, доминирования и решений для игр п лиц с нулевой суммой и даже для общих игр п лиц. В частности, решающее обсуждение взаимной связи различных стратегий в игре двух лиц с нулевой суммой, проведенное в пп. 14.5, 17.8 и 17.9 (т. е. анализ понятия оптимальной стратегии), во многих отношениях аналогично анализу понятия доминирования дележей.

Нам представляется, что слабость построенной нами теории лежит в необходимости проходить через две стадии: сначала получить решение для игр двух лиц с нулевой суммой, а затем, используя это решение, определить характеристическую функцию, чтобы иметь возможность построить на ее основе решение общей игры п лиц. Общий опыт математических и физических наук показывает, что такой двухшаговый процесс с промежуточным звеном, представленным в данном случае характеристической функцией, имеет два существенных аспекта. На ранних ступенях исследования он может оказаться успешным, так как расчленяет трудности. На дальнейших ступенях, однако, где желательна полная концептуальная общность, могут встретиться затруднения. Требование получения строго определенных количеств в середине нашей процедуры (в нашем случае - для характеристических функций) может оказаться ненужной формальностью, вносящей в главную задачу чисто внешние трудности.

Применим это к нашему опыту с играми. Мы должны расчленить трудности для их преодоления и рассмотреть последовательно вполне определенные в узком смысле игры двух лиц с нулевой суммой, вполне определенные в широком смысле игры двух лиц с нулевой суммой, игры п лиц с нулевой суммой, общие игры п лиц. Однако все эти шаги, кроме двух, в конце концов, сливаются в общей теории: остаются только игры двух лиц с нулевой суммой и общие игры п лиц. Настаивание на характеристических функциях заставляет получать по поводу игр двух лиц с нулевой суммой промежуточные результаты более сильные, чем это необходимо для игр п лиц *). Конечно, мы были способны удовлетворить этим требованиям в случае числовой, неограниченно трансферабельной полезности. Однако все это изменяется, когда мы отказываемся от таких предположений о полезности. Представляется более правдоподобным, что напш трудности с играми п лиц можно приписать тому, что мы продолжаем настаивать на этой частной модели для игр двух лиц с нулевой суммой. Имеющаяся у нас техническая процедура заставляет нас настаивать на этом, но такая настойчивость может тем не менее оказаться неуместной.

Единое исследование всей теории игр п лиц - без искусственного (как это теперь оказывается) звена, состоящего из игр с нулевой суммой и характеристических функций,- может, следовательно, в конце концов, помочь избавиться от этих трудностей.

х) Для игр двух лиц с нулевой суммой мы получаем единственное значение, т. е. дележ. Для общих игр п лиц (так же как и для игр с нулевой суммой) мы имеем только (обычно не единственное) решение, и даже отдельное решение есть множество дележей!

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [ 198 ] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]