назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [ 197 ] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


197

65.9. Применение к играм* Дискретность и непрерывность

65.9.1. Полученные выше результаты, касающиеся ацикличности и строгой ацикличности, как уже было сказано, не имеют прямого отношения к теории игр.

Что касается строгой ацикличности, то достаточно обратить внимание на ее эквивалентность условию (65:К) (согласно (65:Р)) и вспомнить, что в теории игр даже само D (множество всех дележей) не имеет максимумов (т. е. недоминируемых элементов) *).

Простая ацикличность тоже исключается, например, уже для существенных игр трех лиц 2).

Тем не менее существуют ситуации, возникающие при математическом исследовании некоторых игр, когда можно воспользоваться понятием ацикличности. Эти ситуации можно рассматривать в духе первого примера из п. 65.1.1, и, в частности, они обнаруживаются среди примеров, о которых там говорилось.

Так в треугольниках Г, исследованных в п. 47.5.1, мы имеем ациклическое доминирование, как показывает изучение рис. 55 и 56 3). Далее, в множестве А, описанном в п. 55.8.2, имеется ациклическое доминирование, как это видно из критерия (55:Z) 4).

Наконец, в модели рынка, рассмотренной в § 64, доминирование является ациклическим для случаев монополии и монопсонии, как показывает обсуждение в конце п. 64.2.2 и, в частности, утверждения (64:12), (64:13) 5). Мы можем усилить впечатление от сделанного там заключительного замечания тем наблюдением, что можно предположить наличие внутренней связи между монополистическими ситуациями в экономике и математическим понятием ацикличности доминирования.

Весьма примечательно поэтому, что во всех этих случаях были обнаружены особенно многочисленные семейства решений. Действительно, в эти решения входят не. только числовые параметры, но даже достаточно произвольные кривые или функции. По этому поводу см. п. 47.5.5 и рис. 60 для первого примера и пятое замечание в п. 55.12 - для второго. В третьем примере мы можем только сослаться на математическое исследование частного случая: рынок трех лиц - монополия против дуополии, который мы анализировали в пп. 62.3, 62.4 и 63.4.

65.9.2. Упомянутая выше многочисленность решений в ациклических ситуациях представляется естественной, если принять во внимание бесконечность соответствующих D (множества всех рассматриваемых дележей). Наконец, из ацикличности следует единственность решения только для конечных множеств D; для бесконечных множеств решающим становится понятие строгой ацикличности (см. последнюю часть п. 65.8, в частности п. 65.8.2). Во всех этих случаях, как легко„ убедиться, нет строгой ацикличности.

х) Это выполняется для всех существенных игр. См. (31 :М) из п. 31.2.3.

2) Читателю предлагается проверить это, например, на диаграмме рис. 33. Легко убедиться, что (Вт) выполняется (а (Ат) - нет) для всех т 3.

3) Здесь из доминирования следует обладание большей ординатой.

4) Здесь из доминирования следует обладание большей п-я компонентой, из чего очевидным образом следует ацикличность.

5) Здесь из доминирования следует обладание большей 1-й (или 1*-й) компонентой, откуда ацикличность, очевидно, следует.

Если нет ни монополии, ни монопсонии, т. е. если в обозначениях этой книги Z, пг > 1, то вместо (64:12) и (64:13) применяются (64:10) и (64:11). Легко проверить, что в этом случае ацикличности нет.



Ситуация тем не менее является парадоксальной по следующей причине: модификация понятия полезности, которая будет рассматриваться в п. 67.1.2, может быть применена так, чтобы сделать рассматриваемое множество конечным. Тогда упомянутые ациклические игры должны иметь единственные решения. Далее, эти конечные модификации могут быть сделаны сколь угодно близкими к первоначальным играм. Следовательно, первоначальные ациклические игры со многими решениями (бесконечное DI) можно сколько угодно близко аппроксимировать модифицированными ациклическими играми с единственными решениями (конечное D\). Как могут при этом единственные решения быть «сколь угодно близкими» к неединственным?

Эта парадоксальная ситуация будет подробно описана в § 67. Анализ, который мы предполагаем там провести, прояснит это отсутствие непрерывности и даст возможность сделать несколько интересных интерпретаций.

§ 66. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПОЛЕЗНОСТИ 66.1. Обобщение. Два этапа теоретического исследования

66.1.1. В предыдущих пунктах мы наиболее широко обобщили понятие решения, основанное на отношении of, которое играло роль доминирования. Эти обобщения будут использованы в нашей теории следующим образом: наши понятия дележа, доминирования и решений опираются на первичное понятие полезности. Теперь, если мы хотим изменить формализацию, использованную для описания вторичных понятий, то мы можем попытаться адекватно описать эти изменения при помощи соответствующих обобщений первичных понятий.

Конечно, мы не хотим заниматься обобщениями ради них самих, но имеются некоторые модификации, которые делают нашу теорию более реалистической. Конкретно: мы трактовали понятие полезности довольно узким и догматическим способом. Мы не только предполагали, что она выражается численно (для этого случая еще можно построить приемлемую теорию (см. пп. 3.3 и 3.5)). но что она также заменяема и неограниченно трансферабельна между различными игроками (см. п. 2.1.1). Мы поступали так по техническим причинам: числовые полезности были необходимы для теории игр двух лиц с нулевой суммой - в частности, благодаря той роли, которую должны играть там ожидаемые значения. Заменяемость и трансферабельность были необходимы в теории игр п лиц с нулевой суммой для того, чтобы ввести дележи как векторы с числовыми компонентами и характеристическую функцию с числовыми значениями. Все эти необходимости встречаются в неявном виде и во всех последующих конструкциях, а поэтому, в конце концов и в общей теории игр п лиц.

Таким образом, представляется желательной модификация понятия полезности в направлении ее обобщения; но в то же время ясно, что для осуществления этой программы придется преодолеть определенные трудности.

66.1.2. Построение нашей теории игр очевидным образом разбивается на два различных этапа: первый, состоящий из исследования игр двух лиц с нулевой суммой и ведущий к определению их значения, и второй, касающийся игр п лиц с нулевой суммой и основанный на характеристической функции, определенной с помощью значений игр двух лиц. Ранее мы подчеркивали, каким образом на каждом из этих этапов



используются специфические свойства понятия полезности. Поэтому если обобщить, изменить или отбросить некоторые из этих свойств, то нам придется изучать эффект таких изменений на каждом этапе. Это указывает, следовательно, на необходимость раздельного анализа каждого из этих этапов.

66.2. Обсуждение первого этапа

66.2.1. Трудности обобщения на первом этапе очень серьезны. Теория игр двух лиц с нулевой суммой, изложенная в главе III, широко пользуется численным характером полезности.

Скажем более конкретно. Трудно понять, как может быть приписано1 игре определенное значение, если для каждого игрока нет возможности во всех случаях определить, какая из различных ситуаций, которые могут возникнуть, предпочтительнее с его точки зрения. Это означает, что индивидуальные предпочтения должны определять на полезностях линейное упорядочение.

Далее, нельзя обойтись и без операции смешивания полезностей с помощью числовых вероятностей. Мы видели, что правила игры могут в явном виде требовать подобных операций, если в них предусмотрены ходы случая. Но даже когда их нет, теория главы III приводит, вообще говоря, к применению смешанных стратегий с теми же последствиями (см. § 17).

Теперь хорошо известно, что из линейной упорядоченности полезностей не следует их числового характера. Однако в п. 3.5 мы видели, что из линейной упорядоченности полезностей вместе с возможностью их смешиваний уже вытекает числовой характер полезности.

Таким образом, в данный момент мы не сможем приписать значения играм двух лиц с нулевой суммой, если мы не располагаем численной полезностью.

В игре п лиц характеристическая функция определяется с помощью значений различных (вспомогательных) игр двух лиц с нулевой суммой. Наше сведение общих игр п лиц к играм с нулевой суммой вдобавок еще использует трансферабельность полезности от одного игрока к другому.

Действительно, конструкциям, подобным n+i = 2 из п- 56.2.2,

едва ли можно придать какой-либо иной смысл. Итак, мы в настоящий момент не можем избежать чисто аппаратной связи определения характеристической функции в игре п лиц с численным характером полезности.

Значения v (S) характеристической функции такой игры - значения для соответствующих множеств (коалиций) игроков S. Следовательно, наше заключение можно сформулировать следующим образом: наш общий метод приписывания некоторого значения v (S) каждой возможной коалиции игроков существенно зависит от числовой природы полезности, и мы в настоящее время не в состоянии это изменить.

Мы уже отмечали раньше, что предположение о числовой природе полезности не так конкретно, как обычно принято считать (см. рассуждения в § 3). Кроме того, мы можем избежать всех концептуальных трудностей, относя наши рассмотрения к строго денежной экономике. Тем не менее предпочтительнее было бы освободить нашу теорию от этих ограничений; однако мы должны признать, что пока не располагаем возможностью сделать это.

66.2.2. Несмотря на указанный общий недостаток, имеется много игр, где трудности в определении характеристической функции не являют-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [ 197 ] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]