Глава XII
ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЙ ДОМИНИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ
§ 65. ОБОБЩЕНИЕ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 65.1. Постановка задачи
65.1.1. Наши математические исследования игры п лиц, начавшиеся с определений из п. 30.1.1, использовали понятия дележа, доминирования и решения, которые там были однозначно определены. Однако в последующем развитии теории несколько раз встречались примеры, в которых эти понятия подвергались изменениям. Эти примеры были трех видов.
Первый. Оказывалось, что в ходе наших математических рассуждений, опирающихся только на первоначальные определения, обнаруживалась важность понятий, которые, очевидно, были аналогичны первоначальным (т. е. понятиям дележей, доминирования, решения), однако полностью с ними не совпадали. В этом случае было удобно называть эти понятия теми же именами, не забывая, однако, об их отличии. Примеры этому можно найти в исследовании существенной игры трех лиц с эксцессом в пп. 47.3-47.7, где исследование фундаментального треугольника сводилось к исследованию различных более мелких треугольников внутри него. Другой пример содержится в исследовании одного частного случая простой игры п лиц в пп. 55.2-55.11, где исследование первоначальной области сводилось к исследованию областиV в Л (см. анализ в пп. 55.8.2 и 55.8.3).
Второй. При изучении разложимости в главе IX мы в пп. 44.4.2- 44.7.4 в явном виде переопределили (обобщили) понятия дележа, доминирования и решения. Это соответствовало распространению теории со случая игр с нулевой !*суммой на случай игр с постоянной суммой. В последующем изложении мы подчеркивали, что мы изучаем новую теорию, которая аналогична первоначальной из п. 30.1.1, но не совпадает с ней.
Фактически эти два вида вариации наших понятий отличаются друг от друга существенно: второй может рассматриваться как частный случай первого. В самом деле, новая теория была введена для того, чтобы более эффективно справиться с проблемой разложения в первоначальной теории. Об этих мотивах говорилось в эвристических рассмотрениях, которые привели к этому обобщению. При анализе погружения в:п. 46.10, в частности в (46:К) и (46:L), мы строго установили, что новая теория может быть подчинена первоначальной именно в этом смысле.
Третий. Понятия дележа, доминирования и решения были снова переопределены (обобщены) в главе XI, а именно в пп. 56.8, 56.11 и 56.12. Это соответствовало окончательному распространению теории на случай общих игр. Мы снова подчеркивали, что переходим к изучению новой теории, аналогичной предыдущим, но не совпадающей с ними.
Это распространение, однако, существенно отличалось от двух предыдущих: оно представляло действительно концептуальное обобщение теории, а не просто технически удобный прием.
65.1.2. Очевидно, что хотя в процессе описанных выше изменений понятия дележей, доминирования и решения и претерпевали изменения {в частности, в направлении обобщений), некоторая свяш между ними оста-
валась инвариантной. Для того чтобы выработать общий взгляд на эти вариации (и другие аналогичные им, которые могут появиться в дальнейшем), необходимо найти точную формулировку для этой инвариантной связи. Когда это будет сделано, мы достигнем полной общности во всех отношениях и сможем на этой основе переформулировать всю теорию.
Если вспомнить примеры, перечисленные в п. 65.1.1, то окажется, что эта инвариантная связь есть процесс, с помощью которого понятие решения получается из понятий дележей и доминирования. Это - условия (30:5:с) (или эквивалентные им (30:5:а) и (30:3:Ь)) из п. 30.1.1. Следовательно, мы достигнем наибольшей общности, если освободим понятия дележей и доминирования от каких-либо ограничений, но определим решения указанным способом.
В соответствии с этой программой мы будем поступать следующим образом.
Вместо дележей мы рассмотрим элементы из некоторой произвольной,, но фиксированной области (множества) D. Вместо доминирования мы рассмотрим некоторое произвольное, но фиксированное отношение & между элементами х и у из D х).
Теперь решением (в D для of) будет множество V D, которое удовлетворяет условию:
(65:1) Элементы V суть в точности те элементы у £ D, для которых
хоРу не верно ни для одного элемента х £ V 2).
65.2. Общие замечания
65.2. Эти определения представляют собой основу для более общей в указанном смысле теории.
Следует заметить, что имеющееся теперь понятие решения порождает то же самое отношение к понятию насыщения, исследованному в п. 30.3 и, в частности, в п. 30.3.5, что и первоначальное понятие решения из п. 30.1.1. В частности, наше определение (65:1) можно сравнить с четвертым примером из п. 30.3.3, причем рассматриваемое теперь $ соответствует отрицанию М из этого примера. Особенно существенно то, что при нахождении решения снова возникают все трудности, связанные с отсутствием симметричности рассматриваемого отношения. Поэтому все замечания, сделанные по этому поводу в пп. 30.3.6 и 30.3.7, остаются в силе и здесь.
Мы увидим далее, как эти трудности могут быть разрешены, по крайней мере в некоторых конкретных случаях 3).
Для того чтобы достигнуть лучшего понимания ситуации в целом, мы должны рассмотреть некоторые конкретизации отношения xofy. Действительно, в данном случае of совершенно произвольно, и поэтому мы не можем надеяться получить сколько-нибудь глубокие результаты, если <$Р остается во всей его общности. С другой стороны, первоначальное понятие решения, определенное в п. 30.1.1, остается важнейшим примером сУ, и представляется очень трудным обнаружить какие-либо простые отличительные свойства этого конкретного отношения. Поэтому нет никакого очевидного способа вводить конкретизации, хотя это и было бы желательно.
г) xtfy выражает то, что отношение имеет место между конкретными элементами хну. Читателю рекомендуется вспомнить начало п. 30.3.2.
2) Это эквивалентно (30:5:с) из п. 30.1.1, как и было обещано.
3) См. результаты из пп. 65.4, 65.5 и более глубокие результаты из пп. 65.6-65.7.
Тем не менее мы обсудим три часто встречающиеся схемы конкретизации отношения xtfу, а потом найдем и четвертую, которая, хотя и с некоторыми ограничениями, приложима к интересующим нас проблемам. Для того чтобы выполнить это, нам потребуются некоторые математические приготовления, к которым мы и перейдем.
65.3. Упорядочения, транзитивность, ацикличность
65.3.1. Рассмотрим сначала такое отношение xtfy (с областью D), которому присущи все существенные черты понятий «больше» и «меньше». Этот круг идей детально и тщательно изучался в математической литературе, и в настоящее время имеется достаточно полное согласие о том, что список этих свойств должен выглядеть следующим образом:
{65:А:а) Для любых двух х, у из D имеет место одно и только одно из следующих отношений:
х = у, xtfy, ytfx.
<65:A:b) Из xtfy и ytfz следует xtfz 1).
Мы назовем отношение tf с этими свойствами (линейным) упорядочением на D. Легко привести примеры линейного упорядочения и согласовать их с обычной интуицией: обычное понятие «больше» для множества всех вещественных чисел или для некоторой его части 2), понятие «меньше» при тех же условиях. Даже точки на плоскости обладают линейной упорядоченностью, например, в следующем смысле: xtfу означает, что х должна иметь большую ординату, чем у, или такую же, но в последнем случае х должна иметь большую абсциссу, чем у3).
65.3.2. Понятие линейной упорядоченности может быть значительно ослаблено, и при этом мы еще будем иметь содержательное понятие. Этому также уделено внимание в математической литературе 4), и такие понятия играют важную роль в теории полезности. Они получаются, если ослабить условие (65:А:а), но оставить без изменения (65:А:Ь).
Таким образом, мы приходим к следующему определению:
{65:В:а) Для произвольных х и у из D может выполняться не более чем одно из трех соотношений:
х = у, xtfy, ytfx. (65:B:b) Из xtfy и ytfz следует xtfz.
Мы назовем отношение tf с такими свойствами частичным упорядочением на D 5). Два элемента х и у из D, для которых ни одно из трех
2) Если читатель рассмотрит в качестве xtfy первоначальное отношение «больше», х ;> у, то он убедится, что (65:А:а) и (65:А:Ь) являются действительно основными свойствами этого отношения.
2) Например, для целых чисел или какого-нибудь интервала и т. д.
3) Без этой последней оговорки такое отношение будет исследоваться в следующих параграфах.
4) См. книгу Г. Б и р к г о ф, Теория структур (на которую мы уже ссылались), гл. 1. В этой книге в духе современной математики изучаются упорядочения, частичные упорядочения и аналогичные понятия. Там же приведены и обширные литературные ссылки.
5) Заметим, что слово «частично» употребляется здесь в нейтральном смысле, т. е. линейная упорядоченность является частным случаем частичной упорядоченности, так как из (65:А:а) следует (65:В:а).