через v\*. Таким образом, числа
(64:2) и10 = 0 и\, ..., и\ (i = l, Z),
(64:3) i# = 0, v{*, ..., if (У = 1*,..., m*)
описывают различные полезности этих количеств для участников
Как и прежде, мы используем начальную позицию каждого покупателя в качестве нуля его полезности.
Как и в пп. 61.5.2, 61.5.3, 62.1.2 и 63.2.1, нам нет необходимости повторять рассуждения из пп. 61.2.2, 61.3.1, 61.3.2 по поводу правил игры, моделирующей эту ситуацию.
64.1.2. Легко определить для этой игры характеристическую функцию v (S).
Очевидно, S I - L\]M. Рассмотрим теперь последовательно три альтернативные возможности.
Первая: S L. В этом случае S состоит только из продавцов, которые не могут совершать между собой никаких сделок. Отсюда непосредственно следует, что v (S) попросту отражает их первоначальное положение:
(64:4) v(5) = SuJ.
Вторая: S М. В этом случае S состоит только из покупателей, и они также не способны заключать между собой сделки. Снова очевидно, что v (S) отражает их первоначальное положение:
(64:5) v(S) = 0.
Третья: S S <М, т. е. S имеет общие элементы как с L, так и с М. В этом случае S содержит и продавцов, и покупателей; следовательно, сделки между ними возможны. Отсюда получается следующая формула:
(64:6) v(5)= max ( 2 Ц + 2 4 )•
*-=о, i, ...,s. (iesf]L) iesr\L * j*esr\M j* riHc=o, l,..., s u*esr)M)]
2 *i+ 2 *>= 2 s*
В этом выражении S П L есть множество всех продавцов в S, S [}М - множество всех покупателей ъ S, tt - число единиц, переданных продавцом i (из S\]L), -число единиц, переданных покупателю у* (из S0M)1). Для читателя не будет представлять трудностей проверить формулу (64:6).
64.2.1. Некоторые частные свойства. Монополия и монопсония
64.2.1. Мы далеки от возможности исчерпывающего исследования описанной игры, рынка с I продавцами и т покупателями. Мы располагаем лишь отрывочной информацией о частных случаях, а кроме того, лишь несколькими предположениями относительно более общих случаев. Задачи, возникающие в этой связи, по-видимому, представляют собой определенный математический интерес помимо их экономической важности. Однако нам представляется преждевременным обсуждать эти вопросы до более глубокого исследования.
г) Нет необходимости указывать, какой продавец и какому покупателю передает каждую отдельную единицу: окончательные полезности, которые только и входят в v (£), не зависят от этого.
Все переговоры между индивидуумами, коалиции, компенсации и т. п. должны быть автоматически учтены в приложениях нашей теории.
Вместо этого мы сделаем несколько непосредственных выводов из двух наиболее простых из наших равенств (64:4), (64:5). Они состоят в следующем:
(64:А) Все множества S L и S <=: М являются линейными. Доказательство. Это означает, что
v (S) = S v ((к))
для S L и для S М, что немедленно следует из (64:4) и (64:5).
(64:В) Игра имеет постоянную сумму тогда и только тогда, когда
она несущественна.
Доказательство. Достаточность. Из несущественности, очевидно, вытекает постоянство суммы.
Необходимость. Предположим, что игра имеет постоянную сумму. Так как L и М - дополнительные множества, должно быть
(64:7) v(I) = v(L)+v(M).
Теперь по (64:А) (полагая последовательно S = L, М) мы имеем:
(64:8) v (L) = 2 v ((к)), v (М) = 2 v ((ft)).
Объединяя (64:7) и (64:8), мы получим
(64:9) v(/) = Sv((ft)).
Теперь модификация (27:В) из п. 27.4, которая применима, согласно п. 59.3.1, в нашем случае, дает в качестве критерия несущественности как раз (64:9).
Легко убедиться, что критерий несущественности (64:9) превращается, если это точно формулировать, используя (64:4) - (64:6), в следующий: максимум в (64:6) равен 2 ui • Но это есть значение максимизируемого
ieL Si
в (64:6) выражения при tt = Sf, = 0. Таким образом, наше утверждение эквивалентно тому, что максимум в (64:6) достигается при tt = st, r7-* = 0, т. е. когда никаких сделок не происходит.
Следовательно, (64:В) можно сформулировать также следующим образом*
(64:В*) Тот факт, что индивидуальные полезности продавцов и покупателей таковы, что никаких сделок не происходит вовсе, т. е. что максимум в (64:6) достигается при tt == st, Tj* = 0, равносилен следующему: игра имеет постоянную сумму или, что (в данном случае!) то же самое, игра является несущественной.
Суть этого результата состоит в том, что наша игра, представляющая рынок, может иметь постоянную сумму только тогда, когда цены на -рынке абсолютно неэффективны. Следовательно, эта задача совершенно естественным образом должна принадлежать к играм с непостоянной суммой.
64.2.2. Продолжим теперь рассуждения в несколько ином направлении.
<64:С)
Рассмотрим два дележа: а = {{«1. •••
, аг, ai*,
• • , ocm*}},
, Рь Pi*,
. . , Pm*}}.
Предположим, что
as-P,
где S есть множество из п. 30.1.1, по которому происходит доминирование. Тогда ни S f L, ни S П М не могут быть пустыми Доказательство. В противном случае было бы S =\ М или S iV. Но тогда S было бы линейным по (64:А) и, следовательно, заведомо не необходимым (ср. п. 59.3.2).
Мы заключаем из (64:С), что в этом случае
(64:10) at > Рг хотя бы для одного i £ L,
(64:11) aj* > Pj-* хотя бы для одного у* g М.
Формулы (64:10) и (64:11) представляют интерес, когда либо L, либо М есть одноэлементное множество, т. е. если 1 = 1 или т = 1. Это означает, что имеется только один продавец или только один покупатель, т. е. что мы имеем монополию или монопсонию.
В этом случае либо i в (64:10), либо в (64:11) определяются единственным образом: i = 1 или у* =1. Таким образом, мы имеем: -> -*
(64:D) из aE-P следует
(64:12) сб4>рл, если 1 = 1,
(64:13) ai*>Pi*, еслит=1.
Примечательно то, что как (64:12), так и (64:13) являются транзитивными отношениями, тогда как доминирование a е- р нетранзитивно.
В этом, конечно, нет никакого противоречия, так как (64:12) или (64:13) -
-> ->
всего лишь необходимые условия для а е- р. Но тем не менее это - первый случай, когда понятие доминирования в реальной игре оказывается столь тесно связанным с некоторым транзитивным отношением.
Эта связь представляется весьма существенной чертой монополистиче-, ской (или монопсонистической) ситуации 2). Она будет играть существенную роль в п. 65.9.1.
х) То есть S должно содержать как продавцов, так и покупателей.
2) Словесная интерпретация утверждений (64:12) и (64:13) проста и естественна: никакое эффективное доминирование невозможно без участия монополиста (или моно-псониста).