назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [ 191 ] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


191

через v\*. Таким образом, числа

(64:2) и10 = 0 и\, ..., и\ (i = l, Z),

(64:3) i# = 0, v{*, ..., if (У = 1*,..., m*)

описывают различные полезности этих количеств для участников

Как и прежде, мы используем начальную позицию каждого покупателя в качестве нуля его полезности.

Как и в пп. 61.5.2, 61.5.3, 62.1.2 и 63.2.1, нам нет необходимости повторять рассуждения из пп. 61.2.2, 61.3.1, 61.3.2 по поводу правил игры, моделирующей эту ситуацию.

64.1.2. Легко определить для этой игры характеристическую функцию v (S).

Очевидно, S I - L\]M. Рассмотрим теперь последовательно три альтернативные возможности.

Первая: S L. В этом случае S состоит только из продавцов, которые не могут совершать между собой никаких сделок. Отсюда непосредственно следует, что v (S) попросту отражает их первоначальное положение:

(64:4) v(5) = SuJ.

Вторая: S М. В этом случае S состоит только из покупателей, и они также не способны заключать между собой сделки. Снова очевидно, что v (S) отражает их первоначальное положение:

(64:5) v(S) = 0.

Третья: S S <М, т. е. S имеет общие элементы как с L, так и с М. В этом случае S содержит и продавцов, и покупателей; следовательно, сделки между ними возможны. Отсюда получается следующая формула:

(64:6) v(5)= max ( 2 Ц + 2 4 )•

*-=о, i, ...,s. (iesf]L) iesr\L * j*esr\M j* riHc=o, l,..., s u*esr)M)]

2 *i+ 2 *>= 2 s*

В этом выражении S П L есть множество всех продавцов в S, S [}М - множество всех покупателей ъ S, tt - число единиц, переданных продавцом i (из S\]L), -число единиц, переданных покупателю у* (из S0M)1). Для читателя не будет представлять трудностей проверить формулу (64:6).

64.2.1. Некоторые частные свойства. Монополия и монопсония

64.2.1. Мы далеки от возможности исчерпывающего исследования описанной игры, рынка с I продавцами и т покупателями. Мы располагаем лишь отрывочной информацией о частных случаях, а кроме того, лишь несколькими предположениями относительно более общих случаев. Задачи, возникающие в этой связи, по-видимому, представляют собой определенный математический интерес помимо их экономической важности. Однако нам представляется преждевременным обсуждать эти вопросы до более глубокого исследования.

г) Нет необходимости указывать, какой продавец и какому покупателю передает каждую отдельную единицу: окончательные полезности, которые только и входят в v (£), не зависят от этого.

Все переговоры между индивидуумами, коалиции, компенсации и т. п. должны быть автоматически учтены в приложениях нашей теории.



Вместо этого мы сделаем несколько непосредственных выводов из двух наиболее простых из наших равенств (64:4), (64:5). Они состоят в следующем:

(64:А) Все множества S L и S <=: М являются линейными. Доказательство. Это означает, что

v (S) = S v ((к))

для S L и для S М, что немедленно следует из (64:4) и (64:5).

(64:В) Игра имеет постоянную сумму тогда и только тогда, когда

она несущественна.

Доказательство. Достаточность. Из несущественности, очевидно, вытекает постоянство суммы.

Необходимость. Предположим, что игра имеет постоянную сумму. Так как L и М - дополнительные множества, должно быть

(64:7) v(I) = v(L)+v(M).

Теперь по (64:А) (полагая последовательно S = L, М) мы имеем:

(64:8) v (L) = 2 v ((к)), v (М) = 2 v ((ft)).

Объединяя (64:7) и (64:8), мы получим

(64:9) v(/) = Sv((ft)).

Теперь модификация (27:В) из п. 27.4, которая применима, согласно п. 59.3.1, в нашем случае, дает в качестве критерия несущественности как раз (64:9).

Легко убедиться, что критерий несущественности (64:9) превращается, если это точно формулировать, используя (64:4) - (64:6), в следующий: максимум в (64:6) равен 2 ui • Но это есть значение максимизируемого

ieL Si

в (64:6) выражения при tt = Sf, = 0. Таким образом, наше утверждение эквивалентно тому, что максимум в (64:6) достигается при tt = st, r7-* = 0, т. е. когда никаких сделок не происходит.

Следовательно, (64:В) можно сформулировать также следующим образом*

(64:В*) Тот факт, что индивидуальные полезности продавцов и покупателей таковы, что никаких сделок не происходит вовсе, т. е. что максимум в (64:6) достигается при tt == st, Tj* = 0, равносилен следующему: игра имеет постоянную сумму или, что (в данном случае!) то же самое, игра является несущественной.

Суть этого результата состоит в том, что наша игра, представляющая рынок, может иметь постоянную сумму только тогда, когда цены на -рынке абсолютно неэффективны. Следовательно, эта задача совершенно естественным образом должна принадлежать к играм с непостоянной суммой.

64.2.2. Продолжим теперь рассуждения в несколько ином направлении.



<64:С)

Рассмотрим два дележа: а = {{«1. •••

, аг, ai*,

• • , ocm*}},

, Рь Pi*,

. . , Pm*}}.

Предположим, что

as-P,

где S есть множество из п. 30.1.1, по которому происходит доминирование. Тогда ни S f L, ни S П М не могут быть пустыми Доказательство. В противном случае было бы S =\ М или S iV. Но тогда S было бы линейным по (64:А) и, следовательно, заведомо не необходимым (ср. п. 59.3.2).

Мы заключаем из (64:С), что в этом случае

(64:10) at > Рг хотя бы для одного i £ L,

(64:11) aj* > Pj-* хотя бы для одного у* g М.

Формулы (64:10) и (64:11) представляют интерес, когда либо L, либо М есть одноэлементное множество, т. е. если 1 = 1 или т = 1. Это означает, что имеется только один продавец или только один покупатель, т. е. что мы имеем монополию или монопсонию.

В этом случае либо i в (64:10), либо в (64:11) определяются единственным образом: i = 1 или у* =1. Таким образом, мы имеем: -> -*

(64:D) из aE-P следует

(64:12) сб4>рл, если 1 = 1,

(64:13) ai*>Pi*, еслит=1.

Примечательно то, что как (64:12), так и (64:13) являются транзитивными отношениями, тогда как доминирование a е- р нетранзитивно.

В этом, конечно, нет никакого противоречия, так как (64:12) или (64:13) -

-> ->

всего лишь необходимые условия для а е- р. Но тем не менее это - первый случай, когда понятие доминирования в реальной игре оказывается столь тесно связанным с некоторым транзитивным отношением.

Эта связь представляется весьма существенной чертой монополистиче-, ской (или монопсонистической) ситуации 2). Она будет играть существенную роль в п. 65.9.1.

х) То есть S должно содержать как продавцов, так и покупателей.

2) Словесная интерпретация утверждений (64:12) и (64:13) проста и естественна: никакое эффективное доминирование невозможно без участия монополиста (или моно-псониста).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [ 191 ] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]