назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [ 189 ] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


189

т. е. мы требуем, чтобы существовали такие t и г, чтобы было

Us-t + Vt + Us-r +Wr> Щ-to-ro + Vto + Wro + Us.

Это действительно выполняется для t = t0 и r = r0. Последнее неравенство может быть тогда переписано как

(63:20) Ws-ro - s-to-ro >us - us-to-

По смыслу должно быть ясно, что это следует из предположения убывающей полезности. Формально мы это получаем из (63:16) следующим образом: (63:20) означает, что

(63:21) 2 (s-ro-H-l - Щ-ro-i) > 2 (us-i+i - us-i);

из (63:16) следует

uS - us i > и6" - гг8"- 1 > как только s<s"; следовательно, в частности,

s-го-i-f-l Us-го-г > us-i+i s-i?

и из этого следует (63:21).

63.3. Предварительное обсуждение

63.3. Мы теперь применим к данной ситуации пп. 60.3 1 и 60.3.2. Это похоже на выводы из п. 62.3 для модели п. 62.1.2. Мы дадим более краткое изложение, и лучше всего читать его параллельно с соответствующими частями п. 62.3.

Как и при сравнении математических результатов с выводами, полученными с помощью здравого смысла, снова применяются замечания из п. 62.2. Мы уже указали там, какие усложнения появляются в данном случае. Мы рассмотрим эту модель кратко, хотя и считаем ее более важной. Общая точка зрения была уже достаточно проиллюстрирована раньше, на более простых примерах, а специальный детальный анализ интерпретации этой модели и других, даже более общих моделей, будет предпринят в последующих публикациях.

63.4. Решения

63.4.1. Дележи в данном случае суть

->

a = {ai, а2, а3},

(63:22) оцм, а20, а30,

(63:23) at + a24- a3 = z.

Снова необходимо ввести редуцированную форму. Это достигается преобразованием

(63:24) ak = ak + a°k,

которое описано в п. 62.3. Определим а\% а°2, а°3 как там указано, так что (63:24) теперь превращается в

, z-\-2u , z - и , z - u (63:25) ax = at--, a2 = a2--3-, a3 = a3--- .



Соответствующие изменения в w(S) снова даются формулами (59:1) из п. 59.2.1; они превращают (63:4), (63:13), (63:14) соответственно в

(63:26)

v(l)) = v((2))=v((3)) =

(63:27) v ((1 2)) = 3v f u , v ((1, 3)) 3

3tt-22-M ,v((2, 3))=-fc

(63:28)

v ((1,2,3)) = 0.

Отсюда следует, что y = -и мы опять не будем переходить к нормированию у = 1.

Следовательно, мы снова должны вводить коэффициент пропорциональности при применении результатов пп. 60.3.1 и 60.3.2, как это было

описано в п. 62.3. Этим коэффициентом теперь будет z~u .

Сравнение с (60:8) из п. 60.3.1 показывает, что теперь

2(z - и)

3w - 2z - и

3v-2z - и

Шесть прямых (60:15) из п. 60.3.2, характеризующих треугольник, из которого мы получаем наши решения, превращаются теперь в

(63:29)

2(z - и)

а9 =

а9 =

3w - 2z - и

z - и

3v- 2z - и

63.4.2. Применяя критерий из п. 60.3.3, мы находим, что

ai + а2 + аз = v + w - 2z 5 0.

Следовательно, мы имеем снова (60:17:Ь), т. е. случай (Ь), и остается решить, какой из его четырех подслучаев, описываемых на рис. 70 - 73. имеет место.

Делая такое же графическое представление, как и в п. 62.3, мы получим рис. 79. Качественные особенности этого рисунка становятся ясными из следующего рассуждения.

(63:С:а) Вторая с-прямая проходит через пересечение первых а2- и о-прямых. В самом деле,

2 (z - и) z-и z - и 3 3 3~~

= 0.

\с \ / V ,Ч о>\§Л / /

/A \\

W / \ \ «

(63:С:Ь) Вторая а2-(а3-) прямая правее (левее) первой.

(63:С:с) Действительно, ей соответствует большее значение а2 (а3), так как

3w - 2z - и

Рис. 79.

z - и 3 1 3~~

Зг;-2z - и . z - и

= Z - W>0, = z -у>0.



(63:C:d) Первая а-прямая лежит ниже, чем пересечение вторых аг-и Яд-прямых. Действительно,

z- и 3w-2z - и 3v-2z -

-Z-\- U - V - W<. 0,

no (63:19) из п. 63.2.2.

Сравнение этого рисунка с рис. 70-73 показывает, что это опять повернутая и вырожденная форма рис. 72 (см. сноску 1 на стр. 570), хотя и менее вырожденная, чем соответствующая рис. 74 из п. 62.3: область 5 снова вырождена в точку (верхнюю вершину основного треугольника), но области 1, 2, 6, 7 не вырождены (четыре области, на которые

Рис. 80. Рис. 81.

разделен фундаментальный треугольник на нашем рисунке). Это расположение основных пяти областей рис. 72 показано на рис. 80. Общее решение получается теперь, как это указано в конце п. 60.3.3, перенесением картины, изображенной на рис. 65, в ситуацию, описываемую рис. 81. На рис. 81 показан результат: V состоит из заштрихованной области и кривой (см. сноску 2 на стр. 570). Итак, резюмируем:

(63:D) При предположениях (63:В:а), (63:В:Ь) и (63:16) общее решение V дается рис. 81.

Сравнение этого рисунка с рисунками из п. 62.3, 62.4 показывает, что рис. 81 представляет собой промежуточную форму между рис. 76-78, а те в свою очередь являются вырожденной формой рис. 81.

63.5. Алгебраическая форма результата

63.5. Результат, выраженный рис 81, может быть установлен алгебраически так же, как это было сделано в случае рис 76 в п. 62.5.1. На рис. 81 решение V состоит из заштрихованной области и кривой. Первая из этих частей V описывается неравенствами

Ъю-2z - , z - и Sv-2z - и z - и

> а0 > -

- 3 =2= з 3 =-з =

Ввиду (63:25) из п. 63.4.1 это означает, что

z - w о&2 = 0, z - v>a3>0. Далее условие (63:23) из п. 63.4.1 дает ai = z - a2 - oc3,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [ 189 ] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]