назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [ 188 ] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


188

(63:2) о = 0, vi9 v8,

(63:3) w0 = 0, Wi,...,w8

описывают полезности этих единиц для каждого участника.

Как и раньше, мы считаем начальную позицию каждого покупателя нулем его полезности.

Как и в пп. 61.5.2, 61.5.3 и 62.1.2, мы не считаем нужным повторять рассуждения пп. 61.2.2, 61.3.1, 61.3.2, касающиеся правил игры, которая моделирует эту ситуацию.

Легко видеть, какой должна быть характеристическая функция этой игры. Так как каждый покупатель может воспрепятствовать продаже товара ему, а продавец, равно как и оба покупателя вместе, могут не допустить вообще любой сделки (см. пп. 61.5.2 и 62.1.2), из этого следует, как и в п. 61.3.3, что

(63:4) v((l)) = ue, v((2))=v((3)) = 0,

(63:5) v((2, 3)) = 0.

Обозначая число единиц, переданное продавцом 1 покупателям 2 и 3 соответственно через t иг, легко найти, что получают остальные коалиции (1,2), (1,3), (1, 2, 3), т. е. продавец с одним или двумя покупателями.. Знакомые рассуждения дают нам:

v((l, 2))= max (us.t + vt),

f=0, 1.....8

v ((1, 3)) = max (us-r + wr),

r=0, 1.....s

v ((1,2,3))= max (us-t-r + vt + wr)г).

t, Г=0, 1,. . . , 8

Это v (S) является характеристической функцией. Мы предоставляем читателю проверить выполнение неравенств, вытекающих из этого факта.

Исследование того, когда игра является существенной, может быть проведено как и в пп. 61.5.2 и 61.5.3 и тоже предоставляется читателю 2). Можно определить также, когда один из двух покупателей 2 и 3 становится «болваном» в смысле теории разложения. Мы также не будем этого рассматривать; результаты нетрудно получить, и хотя они не являются неожиданными, но не лишены интереса.

63.1.2. Если положить г = 0 под знаком максимума в (63:7), то это выражение превращается в первый максимум из (63:6). Если же положить далее t = 0, то оно превращается в us. В результате каждой из этих операций значение становится rg, т. е. мы имеем

(63:8) v((l))=gv((l,2))sgv((l,2,3)). .

Если мы сделаем то же самое для г и t в обратном порядке,, то получим таким же образом

(63:9) v((l))=gv((l,3)):£v ((1,2,3)).

*) Условие t + г s под знаком max выражает тот факт, что число t + г проданных единиц не может превосходить числа единиц, первоначально имевшихся у продавца.

2) Исследование связи с (62:1) из п. 62.1.2 или с (62:16) из 62.4, когда s = 1, также может быть легко проделано. Следует вспомнить обсуждение (61:В) в конце п. 61.5.3 и сноску 3 на стр. 564.

(63:6) (63:7)



Рассмотрим первое неравенство из (63:8). Для того чтобы в нем было равенство, необходимо, чтобы первый максимум в (63:6) достигался при t = 0. В свете обычных представлений об этом предмете это означает, что продавец и покупатель 2 в отсутствие покупателя 3 не совершают никаких ►сделок. Иначе говоря, покупатель 2, в отсутствие покупателя 3, не может заставить рынок функционировать.

Рассмотрим второе неравенство в (63:8). Здесь равенство означает, что максимум в (63:7) достигается при г = 0. В соответствии с обычными представлениями это значит, что продавец и покупатель 3 в присутствии покупателя 2 не смогут осуществить сделку. Иначе говоря, покупатель 3 в присутствии покупателя 2 не в состоянии участвовать в рынке.

Объединяя сказанное вместе с соответствующими выводами из (63:9), получающимися перестановкой покупателей 2 и 3, мы получим следующее-,

(63:А) Равенство в любом из четырех неравенств (63:8), (63:9) озна-

чает некоторую слабость одного из покупателей.

В первом неравенстве (63:8) ((63:9)) это означает, что покупатель 2 (3) в отсутствие покупателя 3 (2) не может заставить рынок функционировать. Во втором неравенстве (63:8) ((63:9)) это означает, что покупатель 3 (2) в присутствии покупателя 2 (3) не в состоянии влиять на рынок.

Действительно интересный случай возникает, очевидно, когда все эти слабости исключены. Следовательно, имеет смысл предполагать, что

{63:В:а) Мы имеем < в первом неравенстве как в (63:8), так и в (63:9). >(63:В:Ь) Мы имеем < во втором неравенстве как в (63:8), так и в (63:9).

63.2. Анализ неравенств

63.2.1. Предположим на время, что (63:В:а) выполняется, а (63:В:Ь) нет. Это означает, что один из игроков абсолютно сильнее второго. Более точно, это значит, что он по крайней мере так же силен, как другой, даже когда он пытается полностью исключить второго покупателя из рынка.

Следовательно, мы можем ожидать в этом случае результатов, которые подобны полученным в пп. 62.1.2-62.5.2, когда имелась лишь одна (неделимая) единица А. Таким образом, делимость товара на единицы .At, . . ., А8, которую мы здесь имеем, должна теперь сыграть роль.

Это действительно так. Для того чтобы это доказать, введем величины и, v, w равенствами

(63:10) v((l)) = M, v((l,2)) = i>, v((l,3))=w.

Тогда вторые неравенства в (63.8) и в (63:9) и отрицание (63:В:Ь) дают

(63:11) v((l, 2, 3))=max(i;, w),

тогда как первые неравенства в (63:8) и в (63:9) и вместе с (63:В:а) дают (63:12) u<v, w.

Теперь мы получили в точности условия из пп. 62.1.2-62.5.2. Именно, (63:12) совпадает с (62:16) из п. 62.4, а (63:4) и (63:10) дают (62:2) и (62:3) из п. 62:1.2 и, наконец, (63:11) дает (62:4) из п. 62.1.2 (когда «v w) или (62:22) из п. 62.5.2 (когда v w).



Следовательно, результаты пп. 62.4 и 62.5.2 с и, и, w из (63:10) справедливы. Общее решение получается, как это описано, например, в (62:В) из п. 62.4, в соответствии с рис. 76-78.

63.2.2. С этого момента мы будем предполагать, что выполняется как (63:В:а), так и (63:В:Ь).

Введем величины и, и, w, z равенствами

(63:13) v((1)) = h, v((l,2)) = i;, v((l,3)) = m7f

(63:14) v ((1,2,3)) = *.

Тогда из (63:8) и (63:9), а также из (63:В:а) и (63:В:Ь) следует, что

(63:15)

Это представление отличается от представления игры в п. 62.1.2, но тем не менее имеет смысл сравнить их в деталях: (63:15) соответствует (62:1) и (63:4), а (63:13) и (63:14) соответствуют (62:2) - (62:4).

Удобно ввести снова предположение об убывающей полезности, уже использованное в пп. 61.5.2, 61.5.3. Нам сейчас это понадобится на более ранней стадии, чем это было там; это предположение теперь (по крайней мере частично) полезно и для математической части теории х), в то время как раньше оно было нужно только в целях интерпретации.

Мы считаем, что полезность убывает для всех трех участников 1, 2, 3:

(63:16) щ - щ>и2 - щ>... >и8 - и8-1, (63:17) Vi - v0>v2 - ut> . . . >vs - vs i,

(63:18) Wi - w0>wz - Wi > ... >w8 - w8-i.

Немедленного применения потребует только (63:16). Оно дает нам (63:19) v + w>z+u2).

Доказательство. Принимая во внимание (63:6) и (63:7), а также (63:13) и (63:14), предположение (63:19) можно записать следующим образом:

max (u8-t 4 vt) 4 max (us-r 4 mv) >

t=0,l, • . .,s r=0, 1,. . .,8

> max (ut-r + vt + wJ + Ug. t, r=0, 1, ... ,6

Рассмотрим те t и г, для которых достигается максимум в правой части. Так как мы имеем (63:В:Ь), т. е. знак > во вторых неравенствах (63:8) и (63:9), мы можем заключить, пользуясь аргументацией из п. 63.1.2, что эти t, гфО. Обозначим их через t0 и г0. Следовательно, наше предположение превращается в

max (u8-t 4 vt) 4 max (us-r -J- Щ) >

t=0, 1,. . .,8 Г=0, 1,. . .,8

> s-fo-ro 4 viQ 4 Wr0 4 usi

г) Но не необходимо; отсутствие этого свойства только слегка усложнило бы рассуждения.

2) В п. 62.1.2 это выполнялось тривиально. В самом деле, из (63:13) и (63:14 мы получаем, что в этом случае

откуда немедленно следует (63:19). 37 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [ 188 ] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]