Первая операция соответствует замене а1? а2, а3 на а[, а2, а3: (62:7) ak = ak + a°k,
как упоминалось в п. 57.5.1 и обсуждалось в пп. 31.3.2 и 42.4.2. Числа aj, а\, а°3 находятся, как это описано в выводе (59:А) из п. 59.2.1. Именно
(62:8) 0 = 0--о-> а2 = а2---, а3 = а3--ц-.
Соответствующие изменения v(S) даются формулами (59:1) в п. 59.2.1; они превращают (62:2) - (62:4) в
(62:9) v((l)) = v((2))=v((3))=
(62:10)
У((1,2))=-3у-2ш-м
w - и
V((1.3)) = . з , v((2,3))=-i
(62:11) v((l,2,3)) = 0.
Итак, у = --1 и вторая операция состоит в делении всех выражении
на это число. Вместо этого мы предпочтем применить пп. 60.3.1, 60.3.2 непосредственно, вставляя везде (где предполагается 7=1) множитель w - и 1)
3 •
Сравнение с (60:8) из п. 60.3.1 показывает, что
2 (w - и) w - и 3v - 2w - и
---о- , &2 - 3- 1 а3 --о- •
Шесть прямых (60:15) из п. 60.3.2, характеризующих треугольник,„ из которого мы вывели наши решения, превращаются в
W-U , W-U , W-U 2
L 3 » "2 3 3
(62:12) 2(w-и) , w - u 3v - 2w - u 3)#
3 а2~ з аз~ 3
62.3.2. Мы можем теперь исследовать эту конфигурацию в духе* п. 60.3.3. Ясно, что
ai-\-a2-\-a3 = v - w<=0.
Следовательно, мы имеем (60:17:Ь), т. е. случай (Ь) из этого пункта; нам остается решить, какой из его четырех подслучаев, представленных рис. 70-73, имеет место. Обратимся поэтому к графическому представлению.
л) Этот процесс аналогичен использованному при исследовании существенных, игр трех лиц с нулевой суммой с избытком в § 47, в частности, в пп. 47.2.2 и 47.3.2 (случай (III)), 47.4.2 (некоторая фаза случая (IV)).
2) -1 в (60:15) соответствует -у; поэтому мы должны все умножить, как уже*
w - и
было сказано, на -- .
3) - д1? - а2, -а3 в (60:15), которые появляются и здесь, уже включают множи-
w- и тель --- .
Для этого представления мы используем, как и прежде, плоскость рис. 32. Изображая шесть прямых (62:12) так же, как были изображены <(60:15) из п. 60.3.2 на рис. 70-73, мы получим рис. 74. Качественные черты этого рисунка вытекают из следующих рассуждений:
(62:А:а) Вторая о-прямая проходит через пересечение первых а2- и а3-прямых. Действительно,
2(w-и) w-и w - и
3 3 3~~
{62:А:Ь) Обе о-прямые совпадают.
*(62:А:с) Вторая о-прямая левее, чем первая. Действительно, ей соответствует большее значение а3, так как
Ъи-2w - и , w - и г. --3-+ -- = -0.
Сравнение этого рисунка с рис. 70-73 показывает, что он является повернутой и вырожденной формой рис. 72 *): область 5 вырождается в точку (верхняя вершина основного треугольника А), площади 1, 7 также вырождаются, но уже в два отрезка (верхняя и нижняя части основного треугольника А), в то время как области б, 2 сохраняются
Рис. 74. Рис. 75. Рис. 76.
(трапеция и меньший треугольник, на которые разделен фундаментальный треугольник А на нашем рисунке). Расположение пяти областей рис. 72 показано на рис. 75. Теперь мы получим общее решение V, как указано в конце п. 60.3.3, перенесением картины на рис. 65 в ситуацию, описанную рис. 75. На рис. 76 показан результат2) (V - отрезок и кривая).
62.4. Решения. Общая форма
62.4. Прежде чем переходить к дальнейшему, заметим, что рис. 75, вообще говоря, соответствует предположению
{62:13) u<vw,
х) По этому поводу и по поводу следующего дальше замечания см. замечание на стр. 556.
2) Кривая на рис. 76 подобна кривой на рис. 65; она удовлетворяет условиям <47:6) из п. 47.5.5.
однако на рисунке изображен случай (62:14) v<w.
Когда
{62:15) v = w,
область 1 на рис. 75, т. е. верхний интервал левой стороны фундаментального треугольника, вырождается в точку (см. (62:А:с) в п. 62.3,2). Следовательно, в этом случае рис. 76 превращается в рис. 77.
Эти рассуждения можно применять совершенно симметрично по отношению к игрокам 2 и 3 (двум покупателям), следующим образом.
Предполагая (62:14) или (62:15), мы можем заменить (62:13) на более слабое условие
(62:16) u<v, w.
Предположим теперь, что выполняется только (62:16), но не (62:13) с (62:14) и (62:15). Это означает, что каждый покупатель извлекает большую пользу из обладания А, чем продавец, однако не фиксирует взаимного расположения покупателей. (См. первую часть п. 62.1.2.)
Теперь (62:16) оставляет открытыми три возможности: (62:14), (62:15) и
{62:17) v>w.
Решения для (62:14) и (62:15) изображены на рис. 76, 77. (62:17) получается из (62:14) перестановкой игроков 2 и 3 (двух покупателей) и чисел
Рис. 77. Рис. 78.
v и w. Это означает, что рис. 76 надо отразить от его вертикальной оси симметрии (после перестановки v и w). Это показано на рис. 78. Суммируем сказанное.
{62:В) Если предполагать (62:16), то общее решение V приведено на рис. 76, 77, 78 соответственно для случаев v <, =, > w.
62.5. Алгебраическая форма результата
62.5.1. Результат, представленный рис. 76, алгебраически может быть выражен так г):
Решение V состоит из верхней части левой стороны фундаментального треугольника и кривой.
Первая часть V характеризуется соотношениями
а2=--з- ,--з-«з--- •
*) Заметим, что это справедливо, если только v w, и не противоречит (62:В).