назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [ 186 ] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


186

Первая операция соответствует замене а1? а2, а3 на а[, а2, а3: (62:7) ak = ak + a°k,

как упоминалось в п. 57.5.1 и обсуждалось в пп. 31.3.2 и 42.4.2. Числа aj, а\, а°3 находятся, как это описано в выводе (59:А) из п. 59.2.1. Именно

(62:8) 0 = 0--о-> а2 = а2---, а3 = а3--ц-.

Соответствующие изменения v(S) даются формулами (59:1) в п. 59.2.1; они превращают (62:2) - (62:4) в

(62:9) v((l)) = v((2))=v((3))=

(62:10)

У((1,2))=-3у-2ш-м

w - и

V((1.3)) = . з , v((2,3))=-i

(62:11) v((l,2,3)) = 0.

Итак, у = --1 и вторая операция состоит в делении всех выражении

на это число. Вместо этого мы предпочтем применить пп. 60.3.1, 60.3.2 непосредственно, вставляя везде (где предполагается 7=1) множитель w - и 1)

3 •

Сравнение с (60:8) из п. 60.3.1 показывает, что

2 (w - и) w - и 3v - 2w - и

---о- , &2 - 3- 1 а3 --о- •

Шесть прямых (60:15) из п. 60.3.2, характеризующих треугольник,„ из которого мы вывели наши решения, превращаются в

W-U , W-U , W-U 2

L 3 » "2 3 3

(62:12) 2(w-и) , w - u 3v - 2w - u 3)#

3 а2~ з аз~ 3

62.3.2. Мы можем теперь исследовать эту конфигурацию в духе* п. 60.3.3. Ясно, что

ai-\-a2-\-a3 = v - w<=0.

Следовательно, мы имеем (60:17:Ь), т. е. случай (Ь) из этого пункта; нам остается решить, какой из его четырех подслучаев, представленных рис. 70-73, имеет место. Обратимся поэтому к графическому представлению.

л) Этот процесс аналогичен использованному при исследовании существенных, игр трех лиц с нулевой суммой с избытком в § 47, в частности, в пп. 47.2.2 и 47.3.2 (случай (III)), 47.4.2 (некоторая фаза случая (IV)).

2) -1 в (60:15) соответствует -у; поэтому мы должны все умножить, как уже*

w - и

было сказано, на -- .

3) - д1? - а2, -а3 в (60:15), которые появляются и здесь, уже включают множи-

w- и тель --- .



Для этого представления мы используем, как и прежде, плоскость рис. 32. Изображая шесть прямых (62:12) так же, как были изображены <(60:15) из п. 60.3.2 на рис. 70-73, мы получим рис. 74. Качественные черты этого рисунка вытекают из следующих рассуждений:

(62:А:а) Вторая о-прямая проходит через пересечение первых а2- и а3-прямых. Действительно,

2(w-и) w-и w - и

3 3 3~~

{62:А:Ь) Обе о-прямые совпадают.

*(62:А:с) Вторая о-прямая левее, чем первая. Действительно, ей соответствует большее значение а3, так как

Ъи-2w - и , w - и г. --3-+ -- = -0.

Сравнение этого рисунка с рис. 70-73 показывает, что он является повернутой и вырожденной формой рис. 72 *): область 5 вырождается в точку (верхняя вершина основного треугольника А), площади 1, 7 также вырождаются, но уже в два отрезка (верхняя и нижняя части основного треугольника А), в то время как области б, 2 сохраняются

Рис. 74. Рис. 75. Рис. 76.

(трапеция и меньший треугольник, на которые разделен фундаментальный треугольник А на нашем рисунке). Расположение пяти областей рис. 72 показано на рис. 75. Теперь мы получим общее решение V, как указано в конце п. 60.3.3, перенесением картины на рис. 65 в ситуацию, описанную рис. 75. На рис. 76 показан результат2) (V - отрезок и кривая).

62.4. Решения. Общая форма

62.4. Прежде чем переходить к дальнейшему, заметим, что рис. 75, вообще говоря, соответствует предположению

{62:13) u<vw,

х) По этому поводу и по поводу следующего дальше замечания см. замечание на стр. 556.

2) Кривая на рис. 76 подобна кривой на рис. 65; она удовлетворяет условиям <47:6) из п. 47.5.5.



однако на рисунке изображен случай (62:14) v<w.

Когда

{62:15) v = w,

область 1 на рис. 75, т. е. верхний интервал левой стороны фундаментального треугольника, вырождается в точку (см. (62:А:с) в п. 62.3,2). Следовательно, в этом случае рис. 76 превращается в рис. 77.

Эти рассуждения можно применять совершенно симметрично по отношению к игрокам 2 и 3 (двум покупателям), следующим образом.

Предполагая (62:14) или (62:15), мы можем заменить (62:13) на более слабое условие

(62:16) u<v, w.

Предположим теперь, что выполняется только (62:16), но не (62:13) с (62:14) и (62:15). Это означает, что каждый покупатель извлекает большую пользу из обладания А, чем продавец, однако не фиксирует взаимного расположения покупателей. (См. первую часть п. 62.1.2.)

Теперь (62:16) оставляет открытыми три возможности: (62:14), (62:15) и

{62:17) v>w.

Решения для (62:14) и (62:15) изображены на рис. 76, 77. (62:17) получается из (62:14) перестановкой игроков 2 и 3 (двух покупателей) и чисел

Рис. 77. Рис. 78.

v и w. Это означает, что рис. 76 надо отразить от его вертикальной оси симметрии (после перестановки v и w). Это показано на рис. 78. Суммируем сказанное.

{62:В) Если предполагать (62:16), то общее решение V приведено на рис. 76, 77, 78 соответственно для случаев v <, =, > w.

62.5. Алгебраическая форма результата

62.5.1. Результат, представленный рис. 76, алгебраически может быть выражен так г):

Решение V состоит из верхней части левой стороны фундаментального треугольника и кривой.

Первая часть V характеризуется соотношениями

а2=--з- ,--з-«з--- •

*) Заметим, что это справедливо, если только v w, и не противоречит (62:В).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [ 186 ] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]