назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [ 181 ] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


181

60.3. Случай и = 3

60.3.1. Рассмотрим, наконец, п = 3. Среди этих игр содержится и существенная игра трех лиц с нулевой суммой, для которой Г [ * > 0 и Г 2 > 0 (см. п. 45.3.3). Итак, мы видим:

Для п = 3 игра с нулевой суммой, так же как общая игра, может быть существенной и оба неравенства Г[1>0иГ2>0 возможны.

Случай, когда игра Г несущественна, рассмотрен в (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2). Мы предположим поэтому, что игра Г существенна.

Используем редуцированную форму Г с нормированием у - 1. Тогда мы можем описать характеристическую функцию v (S) с помощью (59:16) и (59:17) из п. 59.2.3 следующим образом:

- / 0 г

(60:7) v (S) = < - 1 если S имеет я 1 элементов

I 0 I 3

(60:8) v ((2, 3)) = аи v ((1, 3)) = а2, v ((1, 2)) = а3, если S имеет 2 элемента.

Непосредственно проверяется, что v (S) из (60:7) и (60:8) должна удовлетворять условиям (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1, т. е. она является характеристической функцией некоторой игры Г (см. п. 57.3.4) тогда и только тогда, когда

(60:9) - 2<;аь а2, а31.

Заметим, что такая Г может иметь нулевую сумму (т. е. что (25:3:Ь) из п. 25.3.1 выполняется) тогда и только тогда, когда

(60:10) а1 = а2 = а3 = 1.

Другими словами, область (60:9) представляет собой множество всех общих игр, тогда как ее верхняя крайняя точка (60:10) представляет в нашем случае (единственную) игру с нулевой суммой.

60.3.2. Определим теперь решения этой (существенной) общей игры трех лиц.

->

Общий дележ в этом случае задается как вектор а = {{с, а2, сс3}}, удовлетворяющий условиям (57:15) и (57:16) из п. 57.5.1, которые превращаются в

(60:11) а-1, а2 -1, а3=%- 1,

(60:12) сц + аз+азО.

Эти условия в точности те же, что и для а1? а2, а3 в п. 32.1.1 (см. (32.2) и (32.3)), т. е. те же, что использовались в теории существенных игр трех лиц с нулевой суммой. Они согласуются также, если отбросить

множитель 1 + с условиями из п. 47.2.2 для а1, а2, а3 (см. (47:2*)

и (47:3*)), т. е. с условиями, использованными в теории существенных игр трех лиц с нулевой суммой с эксцессом. Следовательно, мы можем пользоваться графическим представлением, описанным в п. 32.1.2 и, в част-

ности, представленным на рис. 31. Мы получаем область векторов а как фундаментальный треугольник в п. 32.1.2 на рис. 32. Аналогично в 47.2.2 и на рис. 49.



Выразим отношение доминирования в этом графическом представлении. Относительно множества S из п. 30.1.1, по которому происходит

-> -»

доминирование а е- р, можно сказать следующее. По верной части (31 :Н) из 31.1.5 (см. соответствующие рассуждения в п. 59.3.2) все множества 5 g / с 0, 1 и тг элементами заведомо не необходимы, но, так как тг = 3, это ограничивает наше исследование двухэлементными множествами S. Положим поэтому S = (i, j) х). Тогда доминирование означает, что

<xf + о,- v (($, ;)) = ak и аг > Р*, а,- > Р7-.

Согласно (60:12) первое условие можно переписать как ak - ak.

-> ->

Итак, доминирование as-Р означает, что

Обстоятельствами, описываемыми (60:13), можно теперь дополнить картину фундаментального треугольника. Сходство теперь имеется больше с §47, чем с § 32. Эта процедура соответствует переходу от рис. 49 к рис. 50 и 51, или к рис. 63 и 64, или к рис. 66 и 67. Действительно, различие по сравнению с рис. 50, 63, 66 (которые изображают одно и то же в соответствующих случаях (IV), (V), (VI)) состоит толькс* в следующем.

Шесть прямых

которые составляют там конфигурацию, заменяются теперь соответственно шестью прямыми

Поэтому второй треугольник (образованный тремя последними прямыми), который появляется в фундаментальном треугольнике (образованном тремя первыми прямыми), не обязательно должен располагаться симметрично относительно последнего, как это было на трех упомянутых рисунках.

60.3.3. Удобно различать два случая в соответствии с тем, пересекаются полуплоскости

(60:16) а - а а2 - а2, а3 - а3,

ограниченные тремя последними прямыми из (60:15) (где допускаются все три отношения доминирования из (60:13)) или нет. Согласно (60:12),

2) £, /, к - некоторая перестановка 1, 2, 3.

2е-\

2) Это похоже на (47:5) из п. 47.2.3, за исключением того, что там мы имели 1--~

на месте всех трех аи а2, а3. Имеется также изменение масштаба на коэффициент 1 +

+ , о котором говорилось после (60:11) и (60:12). о

По отношению к (32:4) из п. 32.1.3 можно сказать то же, что и для (47:5) из п. 47.2.3, см. сноску 1 на стр. 419.

(60:13)

(60:14)

(60:15)



первое означает, что

(60:17:а)

% + «2 + 3>0,

а второе-что

(60:17:Ь)

«1 + «2 + «3 0.

Мы назовем эти случаи соответственно случаями (а) и (Ь).

Случай (а). Мы имеем здесь те же условия, что и на рис. 50 и 51, за исключением того, что внутренний треугольник расположен не обязательно симметрично относительно фундаментального треугольника, как это было там. Если иметь это в виду, то разбор случая (IV), как он приведен в пп. 47.1-47.5, можно здесь дословно повторить. Решения поэтому будут такого же типа, как и те, что изображены на рис. 61 и 62.

Заметим, что если некоторое at = 1, то соответствующие стороны внутреннего и фундаментального треугольников совпадают (см. (60:15)) и соответствующие кривые исчезают *).

Случай (Ь). Мы имеем, в сущности, условия, отраженные на рис. 63, 64 (условия на рис. 66, 67 - всего лишь варианты), с теми же оговорками по поводу асимметрии, какие были сделаны в случае (а).

Мы воспроизведем здесь снова рис. 63, отмечая стороны фундаментального треугольника сплошной чертой, а внутреннего - пунктиром: см. рис. 70. Их взаимное расположение допускает несколько вариантов, так как внутренний треугольник может выходить за пределы фундаментального различными способами 2). Рисунки 70-73 изображают эти варианты 3).

Замечание. Рисунки 70-73 отличаются друг от друга последовательным исчезновением областей 2, 3, 4. Кроме того, одна или более из областей 1 и 5, б, 7 может вырождаться в интервал на прямой или даже в точку. Иногда нелегко усмотреть различие между «исчезновением», о котором было сказано выше, и этим «вырождением». Правило, обходящее эти трудности, по которому можно различить четыре случая, соответствующие рис. 70-73, следующее: рис. 70-73 последовательно соответствуют тем случаям, когда внутренний треугольник пересекает стороны фундаментального треугольника в количестве от 0 до 3. (Пересечение в вершине считается пересечением обеих сторон, которым она принадлежит.)

Если иметь в виду эти обстоятельства, то приведенное в п. 47.6 обсуждение случая (v) можно повторить дословно4). Решения, следовательно, будут такими же, как и на рис. 65 (с необходимыми поправками на асимметрию и с учетом возможного исчезновения или вырождения областей 1-7 (см. рис. 70-73 и замечание выше)).

60.4.1. Мы нашли все решения общей игры п лиц при п = 3, но мы еще не пытались анализировать смысл этих результатов. Теперь мы приступим к такому анализу.

х) Так в случае нулевой суммы, где а± = а2 = as = 1, в соответствии с результатами из § 32 ни одной из этих кривых нет.

2) По (60:9) должно быть -2 at < 1. Это означает, как читатель может легко проверить сам, что каждая сторона «внутреннего» треугольника должна быть расположена между соответствующей стороной фундаментального треугольника и его противоположной вершиной. Рис. 70-73 исчерпывают все возможности при этом ограничении.

3) Симметричными могут быть только те, которые соответствуют игре с нулевой суммой, т. е. а4 = а2 = а3 = 0; см. рис. 70 и 73. Рис. 70 соответствует рис. 63, а рис. 73- рис. 66.

4) Обсуждение случая (VI) в п. 47.7 можно также рассматривать как такое повторение , только при более простых условиях.

60.4. Сравнение с играми с нулевой суммой

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [ 181 ] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]