Таким образом, этот интервал здесь непуст уже при тг 3, а не только для тг 4 х), как это было раньше.
Рассмотрим теперь результаты п. 31.2. Для читателя, познакомившегося с этим пунктом, не составит труда проверить справедливость
утверждений (31:1), (31:J), (31:К). В (31:L) построение Р с помощью
а может быть проделано без какого-либо изменения; первое утверждение,
Р е- а, не может быть сохранено, так как оно опирается на ту часть (31 :Н)
из п. 31.1.5, которая больше не имеет места; второе утверждение, что -> ->
неверно а е- р, не затрагивается. Это ослабление (31:L) исключает (31:М). Утверждение (31 :N) остается верным, так как оно использует только незатронутую часть (31:L). Утверждения (31:0) и (31:Р) сохраняются.
59.3.3. В заключение рассмотрим некоторые понятия из главы IX.
Мы определили там два числа, Г 4 и Г 2, первое - в п. 45.1, а второе - в п. 45.2.3, и разобрали их свойства в п. 45.3.
Оба определения, т. е. содержание пп. 45.1 и 45.2, переносятся буквально. В п. 45.3 нужно внести, однако, существенные изменения: в (45:F) остается в силе только вторая часть доказательства, но не первая его часть, так как первая (и только она) использует (25:3:Ь) из п. 25.3.1 (см. п. 57.2.1). Конкретно говоря, мы имеем
неверно, и мы не можем оценивать Г 4 с помощью Г 2. В действительности мы увидим в п. 60.2.1, что для некоторых игр может оказаться
В соответствии с этим замечания из пп. 45.3.3-45.3.4 становятся беспредметными. То же самое можно сказать и о п. 45.3.1, т. е. его результат (45:Е) неверен, поскольку это касается Г 2. Он верен для Г 4, однако это просто пересказ определения. Отсюда и из (59:19), (59:21) мы видим, что (45:Е) должно быть ослаблено следующим образом:
Теория композиции и разложения, которой посвящена глава IX, может быть распространена в своей существенной части и на данный случай. Разница между поведением Г [ 4 и Г 2, рассмотренная выше, требует внесения небольших изменений, но и это легко осуществляется. Конечно, теория эксцессов и решений в множествах Е (е0) и F (е0) должна быть распространена и на настоящий случай, но это тоже не представляет реальных трудностей.
Подробный анализ этих вопросов вывел бы нас за пределы, которые мы себе поставили в п. 59.1.1. Кроме того, интерпретационное значение этих результатов не отличается существенно от того, что уже было получено в главе IX при рассмотрении игр с нулевой суммой.
(59:19) irUJLzlin,
(59:21)
Iгu>о. Г2=о.
(59: С)
Если игра Г несущественна, то Г 4 = 0, Г 2 = 0. Если игра Г существенна, то Г 4 > 0, Г 2 0.
х) Это соответствует той связи, которая существует между общей игрой п лиц и игрой п + 1 лица с нулевой суммой, которая рассматривалась в пп. 56.2-56.12. 2) (59:20) и (59:19) выражают соответственно две части (45:F).
§ 60. РЕШЕНИЯ ВСЕХ ОБЩИХ ИГР ДЛЯ П 3 60.1. Случай п = 1
60.1. Перейдем к систематическому описанию всех общих игр п лиц с п fg 3, как это было обещано в п. 59.1.1.
Рассмотрим сначала п = 1. Этот случай уже рассматривался (и для практических целей был решен) в п. 12.2. В частности, в п. 12.2.1 мы указывали, что в этом (и только в этом) случае мы имеем дело с чистой задачей максимизации. Тем не менее хотелось бы проверить, что наша общая теория дает и в этом (тривиальном) частном случае те же результаты, что и основанные на здравом смысле *). Поэтому мы применим общую теорию в полной ее математической строгости.
Общая игра Г с п = 1 необходимо несущественна: это следует из рассмотрения характеристической функции v (S) в редуцированной форме, так как тогда (59:16) и (59:17) из п. 59.2.3 дают (для р = 1 = п) •- 7 = 0, т. е. у = 0. Мы можем также воспользоваться (не прибегая к редукции) любым из критериев (27:В), (27:С) или (27:D) из п. 27.4 (см. п. 59.3.1). Например, (27:С), очевидно, удовлетворяется при а4 = v ((1)). Заметим, что это есть v (/), т. е. по (56:13) из п. 56.9.1 (в обозначениях из п. 12.2.1) max &С (т). Перепишем это:
(60:1) a1 = v((l))=v(l) = maxS5:(T).
Так как игра Г несущественна, мы можем применить (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2). Это дает нам:
(60:А) Игра Г имеет ровно одно решение, которым является одно-
-> -у
элементное множество (а), где а = {{cxi}}, причем а4 определяется согласно (60:1).
Это и есть, очевидно, тот «основанный на здравом смысле» результат из п. 12.2.1, как и должно было быть.
60.2. Случай п = 2
60.2.1. Рассмотрим теперь п = 2. Основным фактом является то, что общая игра для п = 2 не обязана быть несущественной; это отличает ее от игры с нулевой суммой при п = 2. (Последняя несущественна по первому замечанию из п. 27.5.2.)
Действительно, характеристическая функция v (S) в своей редуцированной форме полностью определяется соотношениями (59:16) и (59:17) из п. 59.23:
- I 0 г
(60:2) v(S)= < -7 если S содержит я 1 элементов.
I 0 12
Теперь немедленно проверяется, что v (S) из (60:2) удовлетворяет условиям (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1, т. е. что она является характеристической функцией некоторой игры Г тогда и только тогда, когда 70. Это есть в точности условие (59:14) из п. 59.2.3. Таким образом, мы видим, что в (60:2) возможно любое 7 0 из (59:14).
Итак, как и утверждалось, случай 7 > 0, т. е. существенность, является возможным. В этом случае мы можем продолжить нормирование, положив 7 = 1, чем полностью определяется (60:2). Таким образом, существует только один тип существенной общей игры двух лиц.
Заметим, что, в то время как Г 4 = 2у может быть > 0, Г 2 = 0 всегда (для п = 2). Достаточно доказать это для редуцированной формы, т. е. для (60:2).
В самом деле, вспоминая определения из пп. 45.2.1 и 45.2.3, мы видим,
->
что дележ а = {{а4, а2}} исключен, если а4, а2 - 7, сц -{- а2 = 0, и что соответствующее минимальное е = СЦ -j- а2 есть 0 *). Значит, Г 2 = 0, что и требовалось доказать.
Резюмируем: для п = 2 игра с нулевой суммой должна быть несущественной, а общая - не обязательно. Соответственно для первой должно быть Г ! = 0, а для второй может быть также и Г 4 > 0. Но для обеих всегда Г 2 = 0.
Мы предоставляем читателю интерпретировать этот результат в свете предыдущих рассуждений и, в частности, п. 45.3.4.
60.2.2. Легко найти решения общей игры Г для п = 2.
По остающейся в силе части (31 :Н) из п. 31.1.5 (см. соответствующие замечания из п. 59.3.2) все множества S / с 0, 1, п элементами являются заведомо не необходимыми, но так как п = 2, этим исчерпываются все подмножества. Следовательно, мы можем искать решения Г так же, как если бы доминирования вообще не было. Следовательно, решение определяется просто тем свойством, что вне его не имеется дележей. Это
значит, что существует ровно одно решение: множество всех дележей.
->
Дележ задается в этом случае как вектор а = {{«i, а2}}, удовлетворяющий условиям (57:15), (57:16) из п. 57.5.1, которые теперь превращаются в
дележей, т. е. а = {{а4, а2}}, где а4 и а2 удовлетворяют (60:3)
Заметим, что (60:3) и (60:4) определяют единственную пару чисел ->-
«i, а2 (т. е. вектор а) тогда и только тогда, когда
По критерию из п. 27.4 это в точности выражает несущественность Г. Этот результат, как и следовало ожидать, согласуется с (31:Р) лз п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2).
В противном случае
и существует бесконечно много пар а1? а2, т. е. а. Это - случай существенной игры Г.
Истолкование этих результатов будет приведено в пп. 61.2-61.4.
и (60:4).
(60:5)
v((l))+v((2))=v((l, 2)).
(60:6)
v((l))+v((2))<v((l, 2)),