назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [ 180 ] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


180

Таким образом, этот интервал здесь непуст уже при тг 3, а не только для тг 4 х), как это было раньше.

Рассмотрим теперь результаты п. 31.2. Для читателя, познакомившегося с этим пунктом, не составит труда проверить справедливость

утверждений (31:1), (31:J), (31:К). В (31:L) построение Р с помощью

а может быть проделано без какого-либо изменения; первое утверждение,

Р е- а, не может быть сохранено, так как оно опирается на ту часть (31 :Н)

из п. 31.1.5, которая больше не имеет места; второе утверждение, что -> ->

неверно а е- р, не затрагивается. Это ослабление (31:L) исключает (31:М). Утверждение (31 :N) остается верным, так как оно использует только незатронутую часть (31:L). Утверждения (31:0) и (31:Р) сохраняются.

59.3.3. В заключение рассмотрим некоторые понятия из главы IX.

Мы определили там два числа, Г 4 и Г 2, первое - в п. 45.1, а второе - в п. 45.2.3, и разобрали их свойства в п. 45.3.

Оба определения, т. е. содержание пп. 45.1 и 45.2, переносятся буквально. В п. 45.3 нужно внести, однако, существенные изменения: в (45:F) остается в силе только вторая часть доказательства, но не первая его часть, так как первая (и только она) использует (25:3:Ь) из п. 25.3.1 (см. п. 57.2.1). Конкретно говоря, мы имеем

неверно, и мы не можем оценивать Г 4 с помощью Г 2. В действительности мы увидим в п. 60.2.1, что для некоторых игр может оказаться

В соответствии с этим замечания из пп. 45.3.3-45.3.4 становятся беспредметными. То же самое можно сказать и о п. 45.3.1, т. е. его результат (45:Е) неверен, поскольку это касается Г 2. Он верен для Г 4, однако это просто пересказ определения. Отсюда и из (59:19), (59:21) мы видим, что (45:Е) должно быть ослаблено следующим образом:

Теория композиции и разложения, которой посвящена глава IX, может быть распространена в своей существенной части и на данный случай. Разница между поведением Г [ 4 и Г 2, рассмотренная выше, требует внесения небольших изменений, но и это легко осуществляется. Конечно, теория эксцессов и решений в множествах Е (е0) и F (е0) должна быть распространена и на настоящий случай, но это тоже не представляет реальных трудностей.

Подробный анализ этих вопросов вывел бы нас за пределы, которые мы себе поставили в п. 59.1.1. Кроме того, интерпретационное значение этих результатов не отличается существенно от того, что уже было получено в главе IX при рассмотрении игр с нулевой суммой.

(59:19) irUJLzlin,

(59:21)

Iгu>о. Г2=о.

(59: С)

Если игра Г несущественна, то Г 4 = 0, Г 2 = 0. Если игра Г существенна, то Г 4 > 0, Г 2 0.

х) Это соответствует той связи, которая существует между общей игрой п лиц и игрой п + 1 лица с нулевой суммой, которая рассматривалась в пп. 56.2-56.12. 2) (59:20) и (59:19) выражают соответственно две части (45:F).



§ 60. РЕШЕНИЯ ВСЕХ ОБЩИХ ИГР ДЛЯ П 3 60.1. Случай п = 1

60.1. Перейдем к систематическому описанию всех общих игр п лиц с п fg 3, как это было обещано в п. 59.1.1.

Рассмотрим сначала п = 1. Этот случай уже рассматривался (и для практических целей был решен) в п. 12.2. В частности, в п. 12.2.1 мы указывали, что в этом (и только в этом) случае мы имеем дело с чистой задачей максимизации. Тем не менее хотелось бы проверить, что наша общая теория дает и в этом (тривиальном) частном случае те же результаты, что и основанные на здравом смысле *). Поэтому мы применим общую теорию в полной ее математической строгости.

Общая игра Г с п = 1 необходимо несущественна: это следует из рассмотрения характеристической функции v (S) в редуцированной форме, так как тогда (59:16) и (59:17) из п. 59.2.3 дают (для р = 1 = п) •- 7 = 0, т. е. у = 0. Мы можем также воспользоваться (не прибегая к редукции) любым из критериев (27:В), (27:С) или (27:D) из п. 27.4 (см. п. 59.3.1). Например, (27:С), очевидно, удовлетворяется при а4 = v ((1)). Заметим, что это есть v (/), т. е. по (56:13) из п. 56.9.1 (в обозначениях из п. 12.2.1) max &С (т). Перепишем это:

(60:1) a1 = v((l))=v(l) = maxS5:(T).

Так как игра Г несущественна, мы можем применить (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2). Это дает нам:

(60:А) Игра Г имеет ровно одно решение, которым является одно-

-> -у

элементное множество (а), где а = {{cxi}}, причем а4 определяется согласно (60:1).

Это и есть, очевидно, тот «основанный на здравом смысле» результат из п. 12.2.1, как и должно было быть.

60.2. Случай п = 2

60.2.1. Рассмотрим теперь п = 2. Основным фактом является то, что общая игра для п = 2 не обязана быть несущественной; это отличает ее от игры с нулевой суммой при п = 2. (Последняя несущественна по первому замечанию из п. 27.5.2.)

Действительно, характеристическая функция v (S) в своей редуцированной форме полностью определяется соотношениями (59:16) и (59:17) из п. 59.23:

- I 0 г

(60:2) v(S)= < -7 если S содержит я 1 элементов.

I 0 12

Теперь немедленно проверяется, что v (S) из (60:2) удовлетворяет условиям (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1, т. е. что она является характеристической функцией некоторой игры Г тогда и только тогда, когда 70. Это есть в точности условие (59:14) из п. 59.2.3. Таким образом, мы видим, что в (60:2) возможно любое 7 0 из (59:14).



Итак, как и утверждалось, случай 7 > 0, т. е. существенность, является возможным. В этом случае мы можем продолжить нормирование, положив 7 = 1, чем полностью определяется (60:2). Таким образом, существует только один тип существенной общей игры двух лиц.

Заметим, что, в то время как Г 4 = 2у может быть > 0, Г 2 = 0 всегда (для п = 2). Достаточно доказать это для редуцированной формы, т. е. для (60:2).

В самом деле, вспоминая определения из пп. 45.2.1 и 45.2.3, мы видим,

->

что дележ а = {{а4, а2}} исключен, если а4, а2 - 7, сц -{- а2 = 0, и что соответствующее минимальное е = СЦ -j- а2 есть 0 *). Значит, Г 2 = 0, что и требовалось доказать.

Резюмируем: для п = 2 игра с нулевой суммой должна быть несущественной, а общая - не обязательно. Соответственно для первой должно быть Г ! = 0, а для второй может быть также и Г 4 > 0. Но для обеих всегда Г 2 = 0.

Мы предоставляем читателю интерпретировать этот результат в свете предыдущих рассуждений и, в частности, п. 45.3.4.

60.2.2. Легко найти решения общей игры Г для п = 2.

По остающейся в силе части (31 :Н) из п. 31.1.5 (см. соответствующие замечания из п. 59.3.2) все множества S / с 0, 1, п элементами являются заведомо не необходимыми, но так как п = 2, этим исчерпываются все подмножества. Следовательно, мы можем искать решения Г так же, как если бы доминирования вообще не было. Следовательно, решение определяется просто тем свойством, что вне его не имеется дележей. Это

значит, что существует ровно одно решение: множество всех дележей.

->

Дележ задается в этом случае как вектор а = {{«i, а2}}, удовлетворяющий условиям (57:15), (57:16) из п. 57.5.1, которые теперь превращаются в

дележей, т. е. а = {{а4, а2}}, где а4 и а2 удовлетворяют (60:3)

Заметим, что (60:3) и (60:4) определяют единственную пару чисел ->-

«i, а2 (т. е. вектор а) тогда и только тогда, когда

По критерию из п. 27.4 это в точности выражает несущественность Г. Этот результат, как и следовало ожидать, согласуется с (31:Р) лз п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2).

В противном случае

и существует бесконечно много пар а1? а2, т. е. а. Это - случай существенной игры Г.

Истолкование этих результатов будет приведено в пп. 61.2-61.4.

и (60:4).

(60:5)

v((l))+v((2))=v((l, 2)).

(60:6)

v((l))+v((2))<v((l, 2)),

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [ 180 ] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]