заключаются в самой природе нашего понятия доминирования и особенно в его нетранзитивности.

Этот тип отношения вовсе не является присущим исключительно нашей проблеме. Другие его примеры хорошо известны во многих обла- . стях, и достойно сожаления, что они никогда не подвергались общему математическому рассмотрению. Мы имеем в виду все те понятия, которые носят общий характер сравнения предпочтений, «превосходства» или порядка, но не обладают транзитивностью; таковы, например, сила игроков в шахматном турнире или гандикапы в спортивных состязаниях и скачках и т. п. х).

4.5.2. Обсуждение игры трех лиц в пп. 4.3.2, 4.3.3 показало, что решение будет, вообще говоря, уже не единственным дележом, а некоторым множеством дележей. Иначе говоря, нам придется заменить понятие первого элемента понятием множества элементов (дележей) с надлежащими свойствами. При подробном рассмотрении этой игры в § 32 (см. также ее интерпретацию в п. 33.1.1, в которой обращается внимание на некоторые отклонения) мы дадим точный вывод с помощью системы постулатов из п. 30.1.1 той системы трех дележей, которая была введена в качестве решения игры трех лиц в пп. 4.3.2, 4.3.3. Эти постулаты будут весьма сходны с постулатами, характеризующими первый элемент. Разумеется, они представляют собой условия, налагаемые на некоторое множество элементов (дележей); однако если это множество окажется состоящим только из одного элемента, то наши постулаты перейдут в характеризацию первого элемента в общей системе всех дележей.

Пока что мы не будет вдаваться в детальное обоснование этих постулатов; однако мы сформулируем их сейчас же в надежде, что читатель найдет их достаточно правдоподобными. В следующих абзацах мы приведем некоторые мотивы качественного характера или, точнее говоря, одну возможную интерпретацию предлагаемых постулатов.

4.5.3. Наши постулаты заключаются в следующем. Множество S элементов (дележей) является решением, если оно обладает следующими двумя свойствами.

(4:Afa) Ни одно у, содержащееся в S, не доминируется каким бы то ни было содержащимся в S.

(4:А:Ь) Любое у, не содержащееся в S, доминируется некоторым х, содержащимся в S.

(4:А:а) и (4:А:Ь) можно сформулировать в виде одного условия:

(4:А:с) Элементами S являются в точности те элементы, которые не доминируются элементами самого S 2).

Читатель, который заинтересуется упражнением подобного рода, может теперь проверить наше предыдущее утверждение о том, что для множества S, состоящего изящного элемента, написанные выше условия

*) Некоторые из этих задач рассматривались математически путем введения понятий случая и вероятности. Не отрицая оправданности такого подхода, мы сомневаемся, что он может привести к полному пониманию сути дела даже в этих случаях. Он оказался бы совершенно непригодным в нашем рассмотрении социальных организаций.

2) Таким образом, (4:А:с) эквивалентно совокупности (4:А:а) и (4:А:Ь). Недостаточно искушенному в математике читателю это может показаться несколько запутанным, хотя в действительности это утверждение представляет собой непосредственное выражение довольно простых идей.

представляют собой точное выражение того факта, что х является первым элементом.

4.5.4. Часть беспокойства, которое приведенные выше постулаты могут внушить с первого взгляда, вызвана, вероятно, их «круговым»; характером. Это особенно очевидно в условии (4:А:с), в котором элементы множества S характеризуются некоторым отношением, в свою очередь , зависящим от S. Весьма существенно не допускать недоразумений относительно значения этого обстоятельства.

Так как наши определения для S (4:А:а) и (4:А:Ь) или (4:А:с) являются «круговыми», т. е. неявными, то вовсе не очевидно ни существование удовлетворяющего им множества «У, ни, в случае его существования, его единственность. В действительности эти вопросы, остающиеся на этом этапе без ответа, являются основным предметом последующей теории. Ясно, однако, что эти определения недвусмысленным образом говорят, является ли любое конкретное множество S решением или нет. Если настаивать на придании к определяемому понятию еще и свойств существования и единственности, то мы должны сказать следующее. Мы дали не определение S, а определение некоторого свойства S - мы не определили решение, но охарактеризовали все возможные решения. Содержит ли совокупность всех очерченных таким образом решений в точности одно множество S, несколько таких множеств или же ни одного -этот вопрос является предметом дальнейших исследований

4.6. Интерпретация нашего определения в терминах «норм поведения»

4.6.1. Единственный дележ представляет собой часто используемое и хорошо понимаемое понятие экономической теории, тогда как множества дележей, к рассмотрению которых мы пришли, являются довольно непривычными объектами. Поэтому желательно увязать их с какими-либо понятиями, занимающими вполне определенное место в наших рассуждениях, касающихся общественных явлений.

Действительно, представляется, что рассматриваемые нами множества дележей S соответствуют «нормам поведения», связанным с общественной организацией. Рассмотрим это утверждение более подробно.

Пусть нам дан физический базис общественной экономики или, говоря более широко, .общества 2). В соответствии с традициями и опытом человеческие существа придерживаются некоторого характерного способа приспособления самих себя к подобным обстоятельствам. Он заключается не только в установлении некоторой жесткой системы распределения, т. е. дележа, но и в некотором многообразии альтернатив, которые будут выражать некоторые общие принципы, но тем не менее отличаться друг от друга многими конкретными чертами 3). Система дележей описывает «установленный порядок общества», или «принятую норму поведения».

*) По-видимому, излишне говорить, что «круговой» характер или, точнее говоря, неявность (4:А:а) и (4:А:Ь) или (4:А:с) вовсе не означает, что они являются простыми тавтологиями. Разумеется, они выражают весьма серьезное ограничение на S.

2) В случае игры это попросту означает, как мы уже говорили, что заданы правила игры. Однако для проведения нашей параллели более полезным оказывается сравнение с общественной экономикой. Поэтому мы предлагаем читателю на время забыть аналогию с играми и рассуждать целиком в терминах общественной организации.

3) Могут представиться крайние, или, говоря математическим языком, «вырожденные» частные случаи, когда вся система отличается столь исключительной простотой, что может быть реализовано одно жесткое распределение. Однако представляется законным исключить их из рассмотрения, как нетипичные.

Очевидно, никакая случайная группировка дележей не сможет служить такой «нормой поведения»: она должна будет удовлетворять определенным условиям, характеризующим ее как некоторый возможный порядок вещей. Ясно, что это понятие возможности должно предусматривать условия устойчивости. Читатель, несомненно, заметит, что наш подход, развитый в предыдущих пунктах, выдержан целиком в этом духе. Множества S дележей х, у, z, ... соответствуют тому, что мы теперь называем «нормами поведения», а условия (4:А:а) и (4:А:Ь) или (4:А:с), характеризующие решение S, как раз и выражают устойчивость в указанном выше смысле.

4.6.2. Разделение нашего условия на (4:А:а) и (4:А:Ь) оказывается в этом случае особенно подходящим. Напомним, что доминирование у со стороны х означает, что включение в рассмотрение дележа х исключает принятие дележа у; при этом*вовсе не предсказывается, какой дележ будет в конечном счете принят - ср. пп. 4.4.1 и 4.4.2. Таким образом, (4:А:а) выражает тот факт, что норма поведения свободна от внутренних противоречий: никакой дележ у, принадлежащий S (т. е. согласующийся с «принятойнормой поведения»), не может отменяться (т. е. доминировать-ся) другим дележом х того же типа. С другой стороны, условие (4:А:Ь) выражает, что «норма поведения» может быть использована для дискредитации любой не согласующейся с нормами процедуры: любой дележ у, не принадлежащий S, может отменяться (т. е. доминироваться) некоторым дележом х, принадлежащим S.

Отметим, что в п. 4.5.3 мы не постулировали, что дележ г/, принадлежащий S, не должен доминироваться каким-либо дележом хг). Разумеется, если это произойдет, то в силу (4:А:а) х должен будет лежать вне S. В терминологии общественных организаций это означает, что дележ у, согласующийся с «принятой нормой поведения», может отменяться другим дележом х\ однако в этом случае можно с уверенностью сказать, что сам дележ х с этими нормами не согласуется 2). Из других наших требований следует, что х в свою очередь отменяется некоторым третьим дележом z, который снова будет согласовываться. Так как дележи у и z согласуются с нормами поведения, z не может отменить у - дальнейшая иллюстрация нетранзитивности отношения доминирования. Таким образом, наши решения S соответствуют тем «нормам поведения», которые обладают внутренней устойчивостью: если только они приняты, они аннулируют все остальное, причем никакая их часть не может быть аннулирована в рамках принятых норм. Это, очевидно, совпадает с положением вещей в реальных общественных организациях, чем еще раз подтверждается приемлемость кругового характера наших условий из п. 4.5.3.

4.6.3. Мы уже упоминали одно важное возражение, сознательно отложив его анализ. Именно ни существование, ни единственность решения S в смысле условий (4:А:а) и (4:А:Ь) или (4:А:с) из п. 4.5.3 не являются очевидными или хотя бы установленными.

Разумеется, в том, что касается существования, нельзя идти ни на какие уступки. Если бы оказалось, что требования, предъявляемые нами к решению S, в каком-то частном случае невыполнимы, то это, разумеется,

г) Можно показать (см. (31 :М) в п. 31.2.3), что подобный постулат, вообще говоря, не может выполняться. Иначе говоря, ни в одном из представляющих реальный интерес случаев невозможно найти S, удовлетворяющее этому постулату вместе с другими нашими требованиями.

2) Мы временно пользуемся словом «согласующийся» (применительно к нормам поведения) в качестве синонима слов «содержащийся в S» и словом «отменять» в качестве синонима слова «доминировать».