назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [ 179 ] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


179

единственная система aj, а°п:

(59:6) „&= -v((fc))+-i {2 v((A))-v(/)} *) .

Таким образом, мы можем сказать:

(59:А) Характеристическая функция v (S) называется редуциро-

ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (59:2) и (59:3) 2). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной редуцированной v (S). Эта v (S) задается формулами (59:1) и (59:6), и мы назовем ее редуцированной формой v (S).

59.2.2. Другое возможное требование, предъявляемое к п параметрам aj, . . ., ctn, возникает, если требовать, чтобы v (5), которую мы обозначим через v (S), удовлетворяла п условиям

(59:7) v ((1)) = v ((2)) = . .. = v ((/»)) = 0.

Это означает, что

(59:8) v ((1)) + = v ((2)) + а° = ... = v ((в)) + а°п = 0,

т. е.

(59:9) a£=-v((fc)).

Итак, мы можем сказать:

(59:В) Назовем характеристическую функцию v (S) нуль-редуциро-

ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет (59:7). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной нуль-редуцированной v (S). Эта характеристическая функция v (S) определяется формулами (59:1) и (59:9), и мы назовем ее нуль-редуцированной формой v (S).

59.2.3. Рассмотрим редуцированную характеристическую функцию v (S). Обозначим общее значение п членов в (59:2) через -у, т. е. положим (59:10) -у = v((l)) =v((2)) = ... = v((b)).

Следовательно, -у = у ((к)) + аЪ, и из (59:6) мы получаем

(59:11) Y = ir{v(/)-2 V((k))}

х) Доказательство. Обозначим общее значение п членов равенств (59:5) через р. Тогда (59:5) дает а\ = - v ((к)) + Р, а (59:4) превращается в

v(/)- 2 v((*)) + nP=l,

т. е.

p=v {2 v))-v(7)}-



Если мы рассмотрим нуль-редуцированную форму y(S) той же характеристической функции v(5), то получим

v(/) = v(/)+ 2 <4;

следовательно, из (59:9). мы получаем v (/) = v (/) - 2 v ((&))» т- е->

используя (59:11), имеем:

(59:12) ny = v(I).

Возвращаясь к редуцированной форме v (S), мы видим, что некоторые равенства и все неравенства из п. 27.2 остаются в силе.

Начнем с того, что (59:10) можно переписать следующим образом:

(59:13) v (S) = -у для любого одноэлементного S.

Это совпадает с (27:5*), в то время как (27:5**) неверно, так как мы видели в п. 57.2.1, что у нас теперь нет эквивалента для (25:3:Ь) из п. 25.3.1, и это не позволяет здесь получить (27:5**) из (27:5*).

Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (1), . . ., (п) дает с помощью (59:13) -пу 0, т. е.

(59:14) 70.

Это совпадает с (27:6) из п. 27.2.

Рассмотрим, далее, произвольное подмножество S множества /. Пусть р - число его элементов: S = (к . . ., кр). Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (к, . . ., (кр) и использование (59:13) дают нам

Применим это к множеству -S, которое состоит из п--р элементов. Ввиду (57:2:Ь) из п. 57.2.1 и (59:3) мы получаем

7( s)-f(S)i).

Поэтому предыдущее неравенство превращается в

7(5) (л-р) у. Объединение этих неравенств дает нам

(59:15) -ру v (S) (п - р) у для каждого р-элементного множества *S.

Это совпадает с (27:7) из п. 27.2.

(59:13) вместе с v(0) = 0 (т. е. с (57:2:а) из п. 57.2.1) можно сформулировать также следующим образом:

(59:16) Для р = 0, 1 мы получаем равенство в первом соотношении из (59:15).

*) Заметим, что мы применяем здесь это неравенство вместо недостающего равенства (25:3:6) из п. 25.3.1, которое использовалось в п. 27.2.



Это совпадает с (27:7*) из п. 27.2.

v (/) = 0 (т. е. (59:3)) можно также сформулировать в следующем виде:

(59:17) Для р = п мы имеем во втором соотношении из (59.15) знак =.

Это совпадает с (27.7**) из п. 27.2, за исключением случая р = п - 1, отсутствующего по той же причине, по которой здесь недостает эквивалента для (27.5**) (см. замечание, следующее за (59.13)).

59.3. Различные вопросы

59.3.1. Полученные неравенства теперь можно трактовать в том же духе, как это делалось в п. 27.3.1.

Рассмотрим две возможности, основанные на (59:14).

Первый случай: у = 0. Здесь (59:15) дает нам v (S) = 0 для всех S. Это есть как раз несущественный случай, рассмотренный в п. 27.3.1, со всеми присущими ему свойствами, перечисленными там. Рассмотрение (59:А) дает, что несущественная игра эквивалентна игре, для которой v (S) = 0, т. е. игре, которая является совершенно бессодержательной.

Второй случай: у > 0. Изменяя масштаб, мы можем положить 7 = 1 со всеми последствиями, выявленными в п. 27.3.2. Так же как и там, мы сделаем это несколько ниже. По той же причине, что и там, стратегии коалиций имеют решающее значение в такой игре. Мы назовем игру в этом случае существенной.

Критерии несущественности и существенности (27:В), (27:С), (27:D)

из п. 27.4 остаются в силе: в (27:В) сумму 2 v ((&)) следует заменить на

2 v ((£))-v(/),

в то время как (27:С) и (27:D) остаются без изменения. Действительно? легко проверить, что доказательства, данные там, переносятся на этот случай, если использовать для обоснования сказанное в п. 59.2.1.

Мы предоставляем читателю применить выводы из п. 27.5 для существенного случая при нормировании у = 1 к настоящей ситуации.

59.3.2. Мы можем теперь перейти к исследованиям, которые аналогичны проведенным в § 31.

Замечания из пп. 31.1.1-31.1.3, касающиеся структуры понятия доминирования, а также заведомо необходимых и заведомо не необходимых множеств, могут быть повторены без изменений. Понятия выпуклости и линейности можно ввести как и в п. 31.1.4. Выводы из пп. 31.1.4- 31.1.5 также получаются непосредственно; исключение составляют (31:Е:Ь) из 31.1.4 и (31 :G) из п. 31.1.5, так же как и (31 :Н) для случая р = п - 1. Это происходит лишь там, где используется (25:3:Ь) из п. (25:3:1) (см. п. 57.2.1).

Наконец, замечание в конце п. 31.1.5 должно быть изменено. Ввиду сказанного выше, значение р = п - 1 так же вызывает сомнение, как и в (31:8), т. е. те р, для которых необходимость S сомнительна, ограничены случаями р Ф 0, 1, п, т. е. интервалом

(59:18)

2рп-1.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [ 179 ] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]