единственная система aj, а°п:
(59:6) „&= -v((fc))+-i {2 v((A))-v(/)} *) .
Таким образом, мы можем сказать:
(59:А) Характеристическая функция v (S) называется редуциро-
ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (59:2) и (59:3) 2). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной редуцированной v (S). Эта v (S) задается формулами (59:1) и (59:6), и мы назовем ее редуцированной формой v (S).
59.2.2. Другое возможное требование, предъявляемое к п параметрам aj, . . ., ctn, возникает, если требовать, чтобы v (5), которую мы обозначим через v (S), удовлетворяла п условиям
(59:7) v ((1)) = v ((2)) = . .. = v ((/»)) = 0.
Это означает, что
(59:8) v ((1)) + = v ((2)) + а° = ... = v ((в)) + а°п = 0,
т. е.
(59:9) a£=-v((fc)).
Итак, мы можем сказать:
(59:В) Назовем характеристическую функцию v (S) нуль-редуциро-
ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет (59:7). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной нуль-редуцированной v (S). Эта характеристическая функция v (S) определяется формулами (59:1) и (59:9), и мы назовем ее нуль-редуцированной формой v (S).
59.2.3. Рассмотрим редуцированную характеристическую функцию v (S). Обозначим общее значение п членов в (59:2) через -у, т. е. положим (59:10) -у = v((l)) =v((2)) = ... = v((b)).
Следовательно, -у = у ((к)) + аЪ, и из (59:6) мы получаем
(59:11) Y = ir{v(/)-2 V((k))}
х) Доказательство. Обозначим общее значение п членов равенств (59:5) через р. Тогда (59:5) дает а\ = - v ((к)) + Р, а (59:4) превращается в
v(/)- 2 v((*)) + nP=l,
т. е.
p=v {2 v))-v(7)}-
Если мы рассмотрим нуль-редуцированную форму y(S) той же характеристической функции v(5), то получим
v(/) = v(/)+ 2 <4;
следовательно, из (59:9). мы получаем v (/) = v (/) - 2 v ((&))» т- е->
используя (59:11), имеем:
(59:12) ny = v(I).
Возвращаясь к редуцированной форме v (S), мы видим, что некоторые равенства и все неравенства из п. 27.2 остаются в силе.
Начнем с того, что (59:10) можно переписать следующим образом:
(59:13) v (S) = -у для любого одноэлементного S.
Это совпадает с (27:5*), в то время как (27:5**) неверно, так как мы видели в п. 57.2.1, что у нас теперь нет эквивалента для (25:3:Ь) из п. 25.3.1, и это не позволяет здесь получить (27:5**) из (27:5*).
Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (1), . . ., (п) дает с помощью (59:13) -пу 0, т. е.
(59:14) 70.
Это совпадает с (27:6) из п. 27.2.
Рассмотрим, далее, произвольное подмножество S множества /. Пусть р - число его элементов: S = (к . . ., кр). Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (к, . . ., (кр) и использование (59:13) дают нам
Применим это к множеству -S, которое состоит из п--р элементов. Ввиду (57:2:Ь) из п. 57.2.1 и (59:3) мы получаем
7( s)-f(S)i).
Поэтому предыдущее неравенство превращается в
7(5) (л-р) у. Объединение этих неравенств дает нам
(59:15) -ру v (S) (п - р) у для каждого р-элементного множества *S.
Это совпадает с (27:7) из п. 27.2.
(59:13) вместе с v(0) = 0 (т. е. с (57:2:а) из п. 57.2.1) можно сформулировать также следующим образом:
(59:16) Для р = 0, 1 мы получаем равенство в первом соотношении из (59:15).
*) Заметим, что мы применяем здесь это неравенство вместо недостающего равенства (25:3:6) из п. 25.3.1, которое использовалось в п. 27.2.
Это совпадает с (27:7*) из п. 27.2.
v (/) = 0 (т. е. (59:3)) можно также сформулировать в следующем виде:
(59:17) Для р = п мы имеем во втором соотношении из (59.15) знак =.
Это совпадает с (27.7**) из п. 27.2, за исключением случая р = п - 1, отсутствующего по той же причине, по которой здесь недостает эквивалента для (27.5**) (см. замечание, следующее за (59.13)).
59.3. Различные вопросы
59.3.1. Полученные неравенства теперь можно трактовать в том же духе, как это делалось в п. 27.3.1.
Рассмотрим две возможности, основанные на (59:14).
Первый случай: у = 0. Здесь (59:15) дает нам v (S) = 0 для всех S. Это есть как раз несущественный случай, рассмотренный в п. 27.3.1, со всеми присущими ему свойствами, перечисленными там. Рассмотрение (59:А) дает, что несущественная игра эквивалентна игре, для которой v (S) = 0, т. е. игре, которая является совершенно бессодержательной.
Второй случай: у > 0. Изменяя масштаб, мы можем положить 7 = 1 со всеми последствиями, выявленными в п. 27.3.2. Так же как и там, мы сделаем это несколько ниже. По той же причине, что и там, стратегии коалиций имеют решающее значение в такой игре. Мы назовем игру в этом случае существенной.
Критерии несущественности и существенности (27:В), (27:С), (27:D)
из п. 27.4 остаются в силе: в (27:В) сумму 2 v ((&)) следует заменить на
2 v ((£))-v(/),
в то время как (27:С) и (27:D) остаются без изменения. Действительно? легко проверить, что доказательства, данные там, переносятся на этот случай, если использовать для обоснования сказанное в п. 59.2.1.
Мы предоставляем читателю применить выводы из п. 27.5 для существенного случая при нормировании у = 1 к настоящей ситуации.
59.3.2. Мы можем теперь перейти к исследованиям, которые аналогичны проведенным в § 31.
Замечания из пп. 31.1.1-31.1.3, касающиеся структуры понятия доминирования, а также заведомо необходимых и заведомо не необходимых множеств, могут быть повторены без изменений. Понятия выпуклости и линейности можно ввести как и в п. 31.1.4. Выводы из пп. 31.1.4- 31.1.5 также получаются непосредственно; исключение составляют (31:Е:Ь) из 31.1.4 и (31 :G) из п. 31.1.5, так же как и (31 :Н) для случая р = п - 1. Это происходит лишь там, где используется (25:3:Ь) из п. (25:3:1) (см. п. 57.2.1).
Наконец, замечание в конце п. 31.1.5 должно быть изменено. Ввиду сказанного выше, значение р = п - 1 так же вызывает сомнение, как и в (31:8), т. е. те р, для которых необходимость S сомнительна, ограничены случаями р Ф 0, 1, п, т. е. интервалом
(59:18)
2рп-1.