Итак, (57:21) превращается в

v(S)-v(I)=-v(-S),

т. е.

(57:22) y(S) + v(-S) = v(I).

Но это и есть в точности условие (57:20).

§ 58. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 58.1. Анализ определения

58.1.1. Мы пришли к формулировке теории общих игр п лиц и установили, что понятие характеристической функции является столь же существенным в теории общих игр п лиц, как и в рассмотренной ранее теории игр с нулевой суммой. Следовательно, имеет смысл проанализировать это понятие еще раз, приведя его математическое определение в явном виде и сопроводив его некоторыми замечаниями интерпретационного характера.

Рассмотрим общую игру п лиц Г, задаваемую функциями S7Cъ, (ть . . ., хп) (к = 1, . . ., п) в смысле п. 11.2.3. Значение v (S) характеристической функции для множества S / = (1, . . ., п) получается в результате вычисления этой величины для игры п + 1 лица с нулевой суммой Г - т. е. для расширения Г до игры с нулевой суммой х). Следовательно, мы можем выразить ее по формуле п. 25.1.3.

(58:1) v (£) = max min К (, г]) = minmaxK (g, rj),

-> -> -> ->

I П ч I

где £ - вектор с компонентами £Ts,

?xs0, 2 = 1;

->

т) - вектор с компонентами т)

v-so, 2 v-s=i;

Is - набор переменных t&, k£S;x~s - набор переменных к£ - S 2) и окончательно

(58:2) К(, л) = xS s(Ts„T-S).gtS.nx s,

(58:3) (т8, т-s) = 2 SKh (xt, ..., т„).

*) Мы ограничились множествами S с / = (1, . . ., га), т. е. ограниченной характеристической функцией. Использование всех S с: / = (1, . . тг, п + 1), т. е. расширенной характеристической функции, противоречит нашей точке зрения в данный момент (см. начало п. 57.5.1).

2) Через - S обозначается / - S. Так как мы имеем дело с игрой Г, мы должны образовать J £, т. е.~? - S (см. начало п. 57.2.1). Однако это несущественно, так как переменной тп+1 на самом деле нет. (См. конец п. 56.2.2.)

Замечание. Мы используем только первоначальные с/£*&, к - 1, ..., п, т. е. е7£п+1 из (56:2) в п. 56.2.2, для которого

(58:4) Жп+i (ti, ..., хп) = - 2 &£к (ть ..., тЛ)

fc=i

здесь не участвует. Это следует, конечно, из того факта, что .9с/ = (1, п).

Следует помнить, что формула (58:3) есть первая формула (25:2) из п. 25.1.3. Вторая формула (25:2) оттуда же дает

(58:5) Ж (Xs, t"s)=- 2 &h (*i, ..., т„).

(Заметим, что теперь мы должны пользоваться обозначением J = / - S для -S, так как имеем дело с игрой Г. См. также сноску 2 на стр. 542.) Так как zi-f-l не содержится в S, этот игрок принадлежит ±S; следовательно, 2 из (58:5)

содержит функцию gVh, определенную равенством (58.5). Однако (58:4) гарантирует, как это и должно было быть, совпадение правых частей (58:3) и (58:5).

58.2. Желание выиграть или нанести ущерб

-> ->

58.2.1. Очевидно, К (£, ц) есть ожидаемое значение выигрыша в игре Г для коалиции S, если эта коалиция S применяет свою смешанную стратегию , а противостоящая ей коалиция -S г) - смешанную стратегию

т). Следовательно, (58:1) определяет v(S), т. е. значение выигрыша для коалиции S в предположении, что коалиция S стремится максимизировать

К (£, т)), в то время как противостоящая ей коалиция -S стремится ее минимизировать, и они выбирают соответственно свои смешанные

стратегии £ и т].

Этот принцип, конечно, верен в игре п + 1 лица с нулевой суммой Г 2), но в действительности мы имеем дело с общей игрой п лиц Г, а Г - только «рабочая гипотеза»! А в игре Г желание коалиции - S навредить своим оппонентам из S ни в коей мере не очевидно. В самом

деле, естественным желанием коалиции -S должно быть не столько

-> ->

стремление уменьшить значение К (£, т)) для коалиции S, сколько стрем-

-> ->

ление увеличить свое значение К (£, т]). Эти два принципа совпадают

в том случае, если уменьшение К (£, г\) равносильно увеличению

К/ (£, т]). Это, разумеется, будет иметь место для случая игры с нулевой суммой Г (но вовсе не обязательно должно выполняться для общей игры Г).

Замечание. Действительно, если игра Г имеет нулевую сумму, то (58:6) . К(, л) + К(! л) = 0.

Это ясно из общих соображений; формальное доказательство состоит в следующем. Ясно, что

(58:7) К (I ц) 2 (tS> t"S) Ks\-S>

x) См. сноску 2 на стр. 542.

2) To есть если мы будем рассматривать -S = I-S фактически как представление 1£ = I - S.

(58:8) Ж (ts, t~s) = <ть • • •» т")

(Заметим, что это не та сумма (f i> • • • > *ti)> которая фигурировала в (58.5).) Сравнение (58:2) с (58:7) показывает, что (58:6) эквивалентно (58:9) (xs, t-s) + 5T (xs, x"s) г О,

а из (58:3) и (58:5) следует, что (58:9) превращается в

2 сйЪСч, тп) = 0,

т. е. в условие нулевой суммы для игры Г.

Таким образом, в общей игре Г успех одной группы игроков не является синонимом поражения остальных. В такой игре могут существовать ходы (или, лучше сказать, изменения в стратегиях), выгодные для обеих групп. Другими словами, в такой игре может существовать возможность для истинного возрастания производительности одновременно во всех секторах общества.

58.2.2. В действительности это больше, чем просто возможность,- ситуации, о которых идет речь, являются одним из важных предметов, с которым должны иметь дело экономическая и социальная теории. Следовательно, возникает вопрос, не игнорирует ли вовсе наше рассмотрение этот аспект? Не упускаем ли мы вовсе из вида кооперативную сторону социальных отношений из-за того особого значения, которое мы придаем противоположной, антагонистической стороне?

Мы думаем, что это не так. На этот вопрос трудно ответить со всей полнотой, так как состоятельность теории в конечном счете подтверждается успехом ее применения, а мы до сих пор не рассматривали применений. Поэтому мы приведем только основные доводы в пользу нашей процедуры, а затем сошлемся на приложения, которые обеспечат ей определенное подтверждение.

58.3. Обсуждение

58.3.1. В этой связи особого внимания заслуживают следующие соображения.

Первое. Доставить потери противнику еще не значит получить непосредственную выгоду в общей игре (т. е. не обязательно с нулевой суммой), однако это является способом оказать на него давление. Его можно заставить такой угрозой платить компенсацию, можно регулировать его стратегии желательным образом и т. д. Следовательно, нельзя с самого начала отмахнуться от рассмотрения этого вида стратегических возможностей. Наш способ построения характеристической функции, как было проанализировано выше, может оказаться для этого наиболее подходящим. Следует отметить, однако, что это не есть оправдание нашего способа; это только подготовка почвы для действительного оправдания, которое состоит в успешных его приложениях.

Второе. Дальнейшие соображения в этом же направлении следующие. Мы видели, что в нашей теории все решения соответствуют получению максимальной общей выгоды совокупностью всех игроков х). Когда

*) См. конец п. 56.7.1 и, в частности, сноску 2 на стр. 519.