Теперь мы можем доказать следующее:
(57:Е) Для п = 3: существенная игра трех лиц с нулевой суммой
экстремальна.
(57:F) Для п = 4: существуют как экстремальные, так и неэкстре-
мальные игры четырех лиц с нулевой суммой. Более подробно это выглядит так:
(57:Е*) В существенной игре трех лиц с нулевой суммой все двухэлементные множества устранимы.
(56:F*) В существенной игре четырех лиц с нулевой суммой устранимы либо все трехэлементные множества, либо все, кроме одного 1»2).
Доказательства этих утверждений не представляют серьезных трудностей, и мы не имеем в виду здесь их приводить.
Результаты (57:В), (57:С), (57:Е) и (57:F) показывают, что общая теория устранимых множеств и экстремальных игр, по-видимому, не так уж проста. Систематически она будет рассмотрена в последующих публикациях.
57.5. Стратегическая эквивалентность. Игры с нулевой и постоянной суммой
57.5.1. Мы уже исчерпали все полезные сведения из расширения Г общей игры п лиц до игры с нулевой суммой, и поэтому будем впредь изучать теорию общих игр п лиц, не прибегая к этому понятию. Следовательно, далее мы будем рассматривать только саму игру Г и ее ограниченную характеристическую функцию, кроме тех случаев, которые будут специально оговорены. По этой причине мы будем в термине опускать слово «ограниченная» и будем говорить просто о характеристической функции Г. Это соответствует прежней терминологии игр п лиц с нулевой суммой, так как здесь старое и новое употребления понятия характеристической функции согласованы. (См. первое замечание в конце п. 57.1.)
В соответствии со сказанным, решение должно быть определено, как указано в (56:I:d) из п. 56.12. Дележи определены в (56:Р.Ь) и в последней части (56:1:е). Представляется полезным повторить приведенное там определение в явном виде.
Дележом называется вектор
(57:14) а = {{аи ...,а4},
компоненты которого удовлетворяют условиям (57:15) av((t)) для г = 1, ...,тг;
(57:16) 2 a* = v(/)3).
г=1
*) Любое двухэлементное множество есть подмножество двух трехэлементных множеств (мы помним, что п = 4) и, по сказанному выше, хотя бы одно из них устранимо. Значит, каждое двухэлементное множество устранимо в любом случае.
2) Части куба Q из п. 34.22, которые соответствуют этим двум возможностям, могут быть определены в явном виде.
3) Как было показано там же, мы могли бы рассматривать эквивалентное условие
2 <**21 vtf).
что является его первоначальной формой. Однако мы предпочитаем (57:16).
Мы можем теперь распространить понятие стратегической эквивалентности на случай общих игр. Это будет сделано точно так же, как в пп. 42.2 и 42.3.1, т. е. аналогично п. 27.1.1.
Пусть даны общая игра п лиц Г с функциями Жк (хх, . . хп) и набор постоянных aj, .... а%,\ определим новую игру Г с функциями $£к (т1э . . ., тп), положив
(57:17) Жк fa, ..., т„) = SFft (т4, ..., хп) + а°к.
Отсюда, как и раньше, мы получаем, что характеристические функции v (S) и v (S) в этих двух играх связаны соотношением
(57:18) v(S) = v(S) + 2 at
Мы назовем две такие игры, как и их характеристические функции, стратегически эквивалентными.
Так как мы свободны от ограничений, связанных с нулевой суммой, то на постоянные aj, . . ., а%, не накладывается никаких условий, как это было в (42:В) из п. 42.2.2.
Заметим, что стратегическая эквивалентность порождает изоморфизм дележей для игр Ги Г так же, как это было в двух примерах, разобранных раньше. Рассуждения и выводы из пп. 31.3.3 и 42.4.2 переносятся на этот случай без изменения; поэтому нет необходимости в их переформулировке.
57.5.2. Область всех характеристических функций (всех общих игр п лиц) определяется условиями (57:2:а) и (57:2:с), которые мы перепишем:
(57:2:а) v(0) = O;
(57:2:с) v(S(JТ)>>v (S) + v(T) m*S{\T=0.
Среди них характеристические функции игр с нулевой суммой и игр с постоянной суммой представляют собой частные случаи. Первые определяются условиями (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 (см. п. 26.2), т. е. мы должны добавить к (57:2:а) и (57:2:с) (которые совпадают с упомянутыми (25:3:а) и (25:3:с)) еще условие
(57:19) v(-S) = -v(£).
Последние определяются условиями (42:6:а) - (42:6:с) из п. 42.3.2 (см. там же), т. е. мы должны добавить к (57:2:а) и (57:2:с) (которые совпадают с (42:6:а) и (42:6:с)) условие
(57:20) v (S) + v (- S) = v (/).
Так как игры с нулевой суммой представляют собой частный случай игр с постоянной суммой, (57:20) должно вытекать из (57:19); предполагается при этом всегда (57:2:а) и (57:2:с). Это действительно так; фактически мы можем даже доказать нечто большее, а именно:
(57:G) (57:19) эквивалентно условию (57:20) вместе с v (/) = 0.
Доказательство1). Если v (/) = 0, то (57:19) и (57:20) означают одно и то же. Следовательно, достаточно показать, что из (57:19)
следует v (/) = 0. В самом деле, (57:2:а) и (57:19) дают v (/) = v (-0) = = - v (0) = 0.
Заметим, что (57:20) эквивалентно выполнению равенства в (57:2:с), если S U Т = 1*). Таким образом, v (S) для игр с постоянной суммой характеризуется тем свойством, что слияние двух различных коалиций не дает дополнительной выгоды в том случае, если их объединение содержит всех игроков.
Для того чтобы v (S) определяла игру с нулевой суммой, надо добавить дальнейшее условие v (/) = 0.
В заключение мы подчеркнем, что дополнительные условия (57:19) или (57:20) не означают, что любая игра с такой характеристической функцией должна иметь нулевую или постоянную сумму. Из них следует только, что такой характеристической функцией, среди прочих, должна обладать хотя бы одна игра с нулевой или с постоянной суммой. Может случиться, что и игра с ненулевой (или непостоянной) суммой имеет такую характеристическую функцию, т. е.. характеристическую функцию игры с нулевой суммой (или игры с постоянной суммой). В этом случае с точки зрения стратегий коалиций и компенсаций она будет вести себя так же, как игра с нулевой суммой (или игра с постоянной суммой), хотя таковой и не является.
57.5.3. Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, который был поставлен раньше. В пп. 56.3.2-56.4.3 мы уже касались того факта, что фиктивный игрок, несмотря на его нереальность, не является тем самым «болваном», т. е. он не является таковым в смысле расширенной характеристической функции и теории разложения расширения игры Г до игры с нулевой суммой 2). Этот вопрос возник снова в начале п. 56.9.3, где мы отметили, что такой игрок является «болваном» для игры Г с нулевой суммой.
Сейчас мы ответим на вопрос: для какой же общей игры фиктивный игрок является «болваном» 3). Мы докажем следующее.
(57:Н) Фиктивный игрок является «болваном» тогда и только тогда, когда Г имеет такую же характеристическую функцию, как и некоторая игра с нулевой суммой, т. е. если выполнено (57:20).
Доказательство. Как показано в конце, п. 43.4.2, игрок является болваном тогда и только тогда, когда он составляет (как одноэлементное множество) компоненту первоначальной игры. Мы должны применить это к фиктивному игроку га + 1 в игре Г с нулевой суммой. То, что га + 1 является компонентой, очевидно, означает, что
(57:21) v (S) + v ((га + 1)) = v (S[)(n + 1)) для всех S s (1, . . п). Далее, мы имеем:
v((ra + l))=-v(/),
v(SU(/* + l))= -v( LSl)(* + l))= - v(-S).
x) Действительно, если S{jT = / и по предположению из (57:2:с) SP\T = 0, то Г - -S.
2) Мы вынуждены были исключить его из игры явным ограничением решения ей до Q\
3) Рассуждения из первого замечания в п. 56.9.4 показывают, что для таких игр Q и Q" совпадают, т. е. ограничение решений игры Г не является необходимым.