попарно не пересекающиеся множества, объединение которых равно 5, повторное применение неравенства (57:2:с) дает

2 Vo(CS)v0(S).

Иными словами, что бы ни делали игроки из S, вместе они получают сумму y0(S). Следовательно,

(57:7) v(S)v0(S).

Теперь (57:6) и (57:7) вместе дают

(57:8) v(£) = v0(S),

что и требовалось доказать.

57.3.3. Рассмотрим теперь расширенную характеристическую функцию. Для этого случая мы знаем, что условия (57:1:а) - (57:1:с) необходимы. Докажем, что они также и достаточны, т. е. что для любой числовой функции множеств v (5), удовлетворяющей условиям (57:1:а) - (57:1 :с), существует общая игра п лиц Г, для которой v (S) есть расширенная характеристическая функция.

Для того чтобы избежать путаницы, удобно снова обозначить данную числовую функцию множеств, удовлетворяющую условиям (57:1:а) - (57:1:с), через v0 (S). Расширенную характеристическую функцию общей игры Г будем обозначать через v (S).

Итак, пусть дана функция v0 (5), удовлетворяющая условиям (57:1:а)-(57:1:с). Рассмотрим ее пока только для множеств S g= / = = (1, . . ., тг); тогда она удовлетворяет условиям (57:2:а) и (57:2:с). Значит, построение из пп. 57.3.1 и 57.3.2 может быть применено к v0 (S). Таким образом, мы получаем такую общую игру тг лиц Г, что ее ограниченная характеристическая функция v (S) = v0 (S) и для ее расширенной характеристической функции всегда г) будет v (S) = у0 (S) для S I. Иными словами, если мы возвратимся к первоначальной области множеств S 2), то получим

(57:9) v (S) = у о (S), если тг + 1 не содержится в S.

Пусть теперь игрок п + 1 содержится в S. Тогда он не содержится в 1.5. Следовательно, (57:9) дает нам у (±S) = у0 (±S). Условия (57:1:а) - (57:1:с) выполняются, как для v (£), потому что v (S) - расширенная характеристическая функция, так и для v0 (S), по условию. Из (57:1:Ь) мы получаем, что v (JlS) = - v (£), v0 (±S) = - v0 (S).

Из всех этих равенств следует, что

(57:10) v (S) = v0 (*S), если тг + 1 содержится в S.

Из (57:9) и (57:10) мы получаем

(57:11) v(5) = v0(5)

для всех 5, что и требовалось доказать.

57.3.4. Подведем итоги. Мы получили полное математическое описание как ограниченной, так и расширенной характеристических функций

) Слово «всегда» в этом случае относится, конечно, только к множествам S с /. ) Которая в этом случае состоит из всех S с /.

v (S) для всех возможных общих игр га лиц. Первая из них описывается условиями (57:2:а), (57:2:с), а вторая - условиями (57:1:а) - (57:1:с).

Подобно тому как это было сделано в п. 26.2, мы назовем функции, удовлетворяющие этим условиям, соответственно ограниченной характеристической функцией и расширенной характеристической функцией, даже если они рассматриваются сами по себе, вне связи с какой-либо конкретной игрой.

57.4. Устранимые множества игроков

57.4.1. Результат, который мы получили для расширенной характеристической функции, можно сформулировать еще и так: любая характеристическая функция (в старом смысле) некоторой игры п + 1 лица с нулевой суммой является также расширенной характеристической функцией соответствующей общей игры га лиц 1). Вспоминая сказанное в п. 57.2.2, мы видим, что любая характеристическая функция игры п + 1 лица с нулевой суммой есть также характеристическая функция некоторой игры га + 1 лица с нулевой суммой, в которой (га + 1)-й игрок не имеет влияния на ход игры.

Заменяя в этом утверждении га + 1 на га, мы получим эквивалентное утверждение для игры га лиц с нулевой суммой и для роли игрока га. Для того чтобы сформулировать этот результат, удобно ввести следующее определение.

(57:А) Пусть даны игра га лиц с нулевой суммой Г и множество S / = (1, . . ., га). Назовем множество S устранимым в Г, если существует игра га лиц с нулевой суммой Г, имеющая ту "же характеристическую функцию, что и Г, но в которой ни один из игроков, принадлежащих S, не имеет влияния на ход игры.

Используя это определение, мы можем сказать, что множество S = (га) устранимо. Любого игрока k = 1, . . ., га мы можем поменять ролями с га; следовательно, множество S = (к) также устранимо. Таким образом, мы видим:

(57:В) Любое одноэлементное множество S устранимо в любой игре Г.

Теперь нам следует отметить, что, в соответствии с нашей теорией, стратегия коалиций, а также компенсации в игре зависят только от характеристической функции. Следовательно, игры Г и Г из (57:А) с этой точки зрения идентичны.

Итак, (57:В) можно переформулировать следующим образом: роль любого игрока в любой игре га лиц с нулевой суммой, пока это касается стратегических возможностей коалиций и компенсаций, может быть в точности продублирована в такой ситуации, в которой он лишен всякого прямого влияния на ход игры. Слово «роль» здесь употребляется в самом широком смысле: в нее входят связь игрока со всеми остальными игроками и его влияние на связи остальных игроков друг с другом.

Другими словами, мы описали в пп. 56.3.2-56.3.4 механизм, с помощью которого игрок, не имеющий прямого влияния на ход игры, может тем не менее влиять на переговоры по поводу коалиций и компенсаций. В (57:В) мы показали, что этот механизм вполне пригоден для

г) Действительно, условия (57:1 :а) - (57:1 :с) совпадают с условиями (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, если заменить в них /= (1, . . ., п) на / = (1, . . ., п, п + 1).

описания влияния, которое любой игрок может меть в любой игре. Это утверждение следует воспринимать буквально: наш результат обеспечивает воспроизведение всех мыслимых деталей и нюансов.

57.4.2. Согласно (57:В), каждый игрок к = 1, . . ., п устраним, т. е. устранимо любое одноэлементное множество S = (к); это не означает, однако, что все эти игроки устранимы одновременно, т. е. что устранимо множество

В действительности мы имеем:

(57:С) Множество S = I устранимо тогда и только тогда, когда

Г несущественна.

Доказательство. То, что ни один игрок к = 1, . . ., п не имеет влияния на течение игры Г, означает, что все функции &Съ (ть . . ., хп) не зависят от своих переменных ть . . ., тп, т. е. что все они являются постоянными:

(57:12) £П(Ч, ...,тл)=аА.

Отсюда следует, что

(57:13) v (S) = S ak для всех S /.

Обратно, если принять равенство (57:13), то из него будет следовать (57:12).

Следовательно, в (57:13) стоит характеристическая функция игры Г, для которой такая игра Г существует, и (57:13) является в точности определением несущественности игры Г.

Для п = 1, 2 любая игра несущественна; значит, в этих случаях множества S = /, а вместе с ним и любое множество устранимы.

3 амечание. Основной результат для игр двух лиц, состоящий в том, что игры этого типа имеют определенное значение для каждого игрока (скажем v и -v; см. пп. 17.8 и 17.9), означает только то, что эта игра эквивалентна постоянным платежам v и -v игрокам, и это составляет построение, при котором ни один из них не влияет на игру.

С другой стороны, во всякой существенной игре имеет место взаимодействие (переговоры о коалициях и выплатах компенсаций); это исключает одновременную устранимость всех игроков.

Отсюда возникает вопрос:

(57:D) Каковы устранимые множества для существенной игры Г?

Утверждения (57:В) и (57:С) содержат частичный ответ на этот вопрос: одноэлементные множества устранимы, /г-элементное (S = I) - неустранимо. Где же проходит разделяющая граница?

57.4.3. Верхним крайним случаем будет тот, когда все (п - -элементные множества, а вместе с ними все множества, кроме /, устранимы. Мы назовем такие игры экстремальными. Полезно отдавать себе отчет в том, что скрывается за этим свойством. Стратегическая ситуация в такой игре эквивалентна следующей: только один игрок имеет влияние на течение игры, а роль остальных игроков сводится к попытке повлиять на принимаемые им решения. Способ влияния на него состоит, конечно, в предложении ему компенсаций с целью заставить его принять решение, благоприятное для того игрока или тех игроков, которые делают это предложение.