Сначала рассмотрим расширенную характеристическую функцию. Так как она является характеристической функцией в старом смысле для игры га + 1 лица Г с нулевой суммой, она должна обладать свойствами (25:3:а) - (25:3:с), сформулированными в п. 25.3.1, с единственной заменой там /= (1, . . ., га) на / = (1, . . ., га, га -f 1).
Таким образом, мы получаем следующее:
(57:1:а) v(0)=O;
(57:l:b) v(lS)-~v(S);
(57:1:с) v (S U Т) v (S) + v (Т), если 5ПГ = 0 (5, Tc=f).
Рассмотрим, далее, ограниченную характеристическую функцию. Условия, которым она должна удовлетворять, мы получим из (57:1:а) - (51:1:с), если ограничимся подмножествами из /. Условия (57:1:а), (57:1:с) сохраняются, чего нельзя сказать об условии (57:1:Ь) 1). Итак, мы получаем:
(57:2:а) v(0) = O;
(57:2:с) v (S [} Т) v (S) + v (Г), если S()T=0(S, Т<=1).
Заметим, что мы не можем заменить (57:1:Ь) чем-нибудь эквивалентным для -S. В самом деле, все, что мы можем сделать с -- это положить в (57:1:с) Т= - S. Это даст нам
(57:2:b) v (-S) v (/) - v (S).
Даже если v(/) = 0, чего в нашем случае и не может быть, (57:2:Ь) превращаются только в
(57:2:b*) v (-S) v (£),
что не эквивалентно (25:3:Ь) из п. 25.3.1, где v ( - S) = - \? (S).
Условия (57:1:а) - (57:1:с), так же как и (57:2:а) и (57:2:с), являются, как это следует из их вывода, лишь необходимыми свойствами (ограниченной или расширенной) характеристических функций. Мы должны выяснить, являются ли они также и достаточными.
57.2.2. Если Г - произвольная игра га + 1 лица с нулевой суммой, то из результатов п. 26.2 следует, что функция v (S), удовлетворяющая условиям (57:1:а) - (57:1:с), является характеристической функцией (в старом смысле) некоторой игры Г, т. е. расширенной характеристической функцией некоторой общей игры га лиц Г. Другими словами, этим доказано, что условия (57:1:а) - (57:1:с) являются необходимыми и достаточными, т. е. что они содержат полное математическое описание характеристических функций всех возможных общих игр Г.
Однако игра Г не является совершенно произвольной. Как мы видели в п. 56.2.2, (га + 1)-й (фиктивный) игрок не имеет влияния на течение игры, т. е. не имеет личных ходов; значения &Ck (т1? . . ., тд, т+i) в действительности не зависят от переменной тд+1. Кроме того, из п. 56.2.2 ясно, что это единственное ограничение, которому должна удовлетворять Г: если в игре га + 1 лиц с нулевой суммой Г игрок га + 1 не влияет на ход игры, то можно рассматривать Г как расширение некоторой общей
г) S и L S не могут одновременно С / = (1, . . п), так как одно из этих множеств должно обязательно содержать п + 1.
игры Г до игры с нулевой суммой, в которой участвуют остальные игроки 1, . . п г).
Следовательно, возникает следующий вопрос. Условия (57:1:а) - (57:1 :с) являются необходимыми и достаточными для характеристических функций в старом смысле для всех игр п + 1 лица с нулевой суммой. Как их следует усилить для того, чтобы сделать их необходимыми и достаточными условиями для характеристических функций (в старом смысле) всех тех игр п + 1 лица с нулевой суммой, в которых (п + 1)-й игрок не имеет влияния на течение игры?
Мы могли бы ответить на этот вопрос, дав полное математическое описание расширенных характеристических функций всех общих игр п + 1 лица. Но тогда остался бы тот же вопрос для ограниченных характеристических функций.
Мы увидим, что, решая сначала вторую задачу, мы оказываемся в несколько более благоприятных условиях: первую задачу можно будет легко решить с помощью второй. Однако, наш подход будет доминиро-ваться предыдущими рассмотрениями.
57.3. Нахождение всех характеристических функций
57.3.1. Продолжим доказательство того, что необходимые условия (57:2:а) и (57:2:с) являются также достаточными, т. е. что для любой числовой функции v(5), удовлетворяющей условиям (57:2:а) и (57:2;с), существует общая игра п лиц Г, для которой \(S) есть ограниченная характеристическая функция 2).
Для того чтобы избежать путаницы, удобнее обозначить данную числовую функцию множеств, удовлетворяющую условиям (57:2:а) и (57:2:с), через v0 (S). Определим с ее помощью некоторую общую игру п лиц Г и обозначим ограниченную характеристическую функцию этой игры через v (S). Теперь мы должны доказать, что v (S) = Vo(£).
Пусть поэтому числовая функция v0 (S), удовлетворяющая условиям (57:2:а) и (57:2:с), задана. Построим общую игру п лиц Г следующим образом 3).
Каждый игрок к = 1, . . ., п своим личным ходом выбирает некоторое подмножество Sk множества /, содержащее к; при этом он совершает свой выбор независимо от выбора других игроков.
После этого расплата происходит следующим образом
Множество игроков S, для которого
(57:3) Sk = S для любого k£S,
называется кольцом. Любые два кольца с общими элементами совпадают. Другими словами, сумма всех колец (которые фактически образовались в игре) представляет собой систему попарно не пересекающихся подмножеств /.
Каждый игрок, который не содержится ни в каком из колец, следовательно, сам образует (одноэлементное) множество, которое
г) То есть что касается правил игры, то мы можем относиться к игроку п + 1 как.к фиктивному игроку. Конечно, мы знаем, что существует решение V игры Г, которое приписывает ему роль реального игрока. (Это в Q, но не в Q, ср. (56:А:а)- (56:A:d) из п. 56.7.2 и (56:1:а) из п. 56.12; вспомним также пп. 56.3.2 и 56.3.4.)
2) Конструкция, которая будет приведена ниже, имеет много общего с конструкцией из п. 26.1.
3) Читателю рекомендуется сравнить детали этого построения с п. 26.1.2.
называется сольным множеством. Таким образом, совокупность всех колец и сольных множеств (которые фактически образовались в игре) представляет собой разбиение /, т. е. систему попарно не пересекающихся подмножеств /, объединение которых равно /. Обозначим эти множества через С7!, . . ., Ср и соответственно числа элементов в этих множествах через пи . . ., Пр.
Рассмотрим теперь игрока к. Он принадлежит в точности одному из этих множеств Си . . ., Ср, скажем Cq. Тогда игрок к получает сумму
(57:4) -vo(Q.
Это завершает описание игры Г. Ясно, что Г - общая игра п лиц, и ясно также, что Г является ее расширением до игры с нулевой суммой. Мы особенно подчеркиваем, что в Г фиктивный (п + 1)-й игрок получает
(57:5) - S VoO)1).
Покажем теперь, что Г имеет данную ограниченную характеристическую функцию v0 (S).
57.3.2. Обозначим ограниченную характеристическую функцию Г через v(S). Напомним, что условия (57:2:а) и (57:2:с) остаются в силе для v (5), так как это - ограниченная характеристическая функция, а также для v0 (£), по предположению.
Если S пусто, то v (S) = v0 (S), по (57:2:а). Поэтому мы можем предположить, что S непусто. В этом случае коалиция всех игроков из S может управлять выбором соответствующих Sk так, чтобы сделать S кольцом. Для этого достаточно, чтобы каждый игрок к 6 S выбрал Sh = S. Теперь, что бы ни делали остальные игроки (из --£),
5 будет одним из множеств (колец или сольных) Си . . ., Ср; пусть, например, Cq. Кцкдый игрок к £ Cq = S получает выигрыш в соответствии с (57:4); следовательно, вся коалиция получает v0 (S). Поэтому
(57:6) v(S)]v0(S).
Рассмотрим теперь дополнение -S. Коалиция всех игроков к, принадлежащих коалиции -S, может так управлять выбором соответствующих Sh, чтобы сделать S суммой колец или сольных множеств. Если -S пусто, то это тривиально, так как тогда S = I. Если - S непусто, то достаточно каждому к 6 - S выбрать Sk = - S. Следовательно, -S - кольцо, и, значит, S есть сумма колец и сольных множеств.
Итак, S есть сумма некоторых из множеств Си . . ., Ср, скажем
..., С
(здесь 1, . . ., г - некоторые из чисел 1, . . ., р). Каждый игрок
6 6 (g = s = 1, . . г) получает сумму (57:4); следовательно, nq игроков в Cq получают вместе сумму v0 (Cq). Так как Су, . . ., Сг> суть
г) nq игроков в Cq в соответствии с (57:4) получают вместе v0 (Cq)\ следовательно, все игроки 1, /г, т. е. все игроки из С±, . . ., Ср получают вместе сумму
2V° (д)* Отсюда мы имеем (57:5). <z=i