назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [ 173 ] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


173

следует из доминирования в новом; следовательно, (30:5:а) выполняется. Остается доказать (30:5:Ь).

Рассмотрим теперь дележ а = {а1? . . ., ад, a„+i}, не принадлежащий V. Раз (30:5:Ь) верно в старом смысле, должно существовать такое

-> - -> ->

Р = . . ., рд, p+i} £ V, что р е- а в старом смысле. Пусть S - множество, по которому осуществляется это доминирование. Всегда

c+i v ((тг + 1))> а так как р принадлежит V по предположению,

- должно быть рд+1 = v ((тг -f- 1)). Следовательно, рд+1 ад+1 и тг -f- 1

-> ->

не может принадлежать 5. Значит, р е- а в новом смысле, т. е. (30:5:Ь) выполняется и в новом смысле, что завершает доказательство.

(56:Н) V является решением Г в новом смысле тогда и только тогда, когда оно принадлежит системе Q", определенной в (56:A:d) из 56.7.2.

Доказательство в одну сторону следует из (56:Е) и (56:F), а в обратную- из (56 :G).

56.11.3. Для того чтобы пояснить результат (56:Н), мы должны вспомнить первоначальные рассуждения о необходимости ограничить систему Q всех решений Г при использовании ее для Г. Мы видели в п. 56.7, что разумным результатом такого ограничения могут являться множества Q или Q" (или, возможно, некоторое промежуточное множество). После этого наши усилия были направлены на то, чтобы сделать выбор между этими двумя возможностями. Далее, в пп. 56.10-56.11.1 мы пришли к выводу, что изменение понятия доминирования в Г может помочь нам решить этот вопрос. А теперь в (56:Н) показано, что это изменение понятия доминирования приводит в точности к £2". Этим решение вполне определено. Мы принимаем теперь £2" в качестве системы всех решений Г.

56.12. Новое определение решения

56.12. Переформулируем сказанное, делая ссылки на те основные результаты, которые лежат в основе наших выводов. (56:1)

(56:1:а) Решением общей игры Г является любое из решений (в первоначальном смысле ц. 30.1.1) ее расширения до игры с нулевой суммой (игры п + 1 лиц с нулевой суммой Г), в котором для всех

а = {а4, ..., (Хд, <хп+1}

из V

(56:24) cWi = v((/i + l)).

Эти решения как раз образуют множество £2", определенное условием (56:A:d) в п. 56.7.2.

->

(56:1:Ь) Используя для этих дележей форму (56:7), а = {{с, . . .ап}} (т. е. подчеркивая, что речь идет об игре Г и ее игроках, а не о Г), преобразуем (56:24) в

(56:25) S aj = v((l, в)).



Это, очевидно, является усиленной формой (56:10) из п. 56.8.2.

(56:1:с) В том частном случае, когда сама игра Г является игрой с нулевой суммой, наше новое понятие решения (для Г) совпадает со старым, т. е. без изменений применяется понятие из п. 30.1.1 (см. первое замечание в п. 56.9.4). Следовательно, нет больше необходимости различать старую и новую теории (см. также сноску 1 к стр. 523).

(56:I:d) Для общей игры га лиц Г решение также может быть получено применением определений п. 30.1.1 (которые были задуманы только для игр с нулевой суммой) непосредственно к Г и без каких-либо изменений. Понятие дележей в Г в этом случае должно использоваться в форме (56:7). (См. первое замечание в п. 56.11.1.)

(56:1:е) Справедливость (56:I:d) означает, что к определению дележей в форме (56:7), данному в п. 56.8.2, ничего добавлять не нужно. Однако по (56:I:d), равенство (56:25) будет в этом случае автоматически выполняться в каждом решении V. Следовательно, мы можем, если пожелаем, добавить условие (56:25), т. е. усилить (56:10) из п. 56.8.2 до (56:25) х).

(56:I:f) Ограничение, наложенное в (56:1:а) на решения Г, может быть также выражено модификацией понятия доминирования для Г с последующим допущением всех решений в этом новом смысле. Эта модификация состоит в предъявлении к эффективному множеству (в смысле п. 30.1.1) нового требования, состоящего в том, что оно не должно содержать га + 1 (см. второе замечание из п. 56.11.1).

§ 57. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ

С НЕЙ ПОНЯТИЯ

57.1. Характеристическая функция. Расширенная и ограниченная формы

57.1. Теперь мы располагаем теорией, которая применима ко всем играм и, подобно теории из п. 30.1.1 для игр с нулевой суммой (обобщением которой она является), основана исключительно на характеристической функции. Это значит, что функции $£k (т1? . . ., тп), к = 1, . . ., га, из п. 11.2.3, которые фактически определяют игру, оказывают влияние в этой теории не непосредственно, а лишь через характеристическую функцию v(5) 2).

г) Эта возможность перехода от

(56:10) 2 а* = у№> Л»

(56:25) 2 a*=v((l. •••.*))

аналогична (но в более общей форме) эквивалентности Е (0) и F (0), о которой говорилось во втором замечании из п. 56.9.5.

2) Конечно, y(S) определяется с помощью $Ch (хи . . ., тп). См. пп. 25.1.3 и 58.1.



Существует, однако, различие между употреблениями характеристической функции v (S) для игры с нулевой суммой и для общей игры. Для игры п лиц с нулевой суммой Г характеристическая функция v (S) определена для всех множеств S (1, . . тг) и только для них (см. 25.1). Для общей игры п лиц мы должны были составить ее расширение, игру п + 1 лиц с нулевой суммой Г, и характеристическая функция v (S) была фактически построена как характеристическая функция (в старом смысле) для игры Г (это та y(S), которая фигурировала во всех наших последних рассуждениях, в частности в пп. 56.4.1, 56.5.1, 56.7.2, 56.8.2, 56.9.1, 56.9.3-56.10.3 и 56.11.2-56.12). Соответственно значения v(*S) определены теперь для всех множеств S (1, . . ., тг, п + 1) и только для них. Мы можем, однако, при желании рассматривать v (S) только для множеств S s= (1, . . п). Если это сделано, то мы будем говорить об ограниченной характеристической функции, тогда как v (S) в своей первоначальной области определения, охватывающей все S (1, . . ., тг, тг + 1), назовем расширенной характеристической функцией.

Отсюда мы заключаем, что в частном случае игры с нулевой суммой характеристическая функция из старой теории есть ограниченная характеристическая функция в новой теории *).

Возвращаясь к общим играм, мы видим, что характеристические функции являются основой всей рассматриваемой теории. Из эквивалентных формулировок этой теории (56:1:Ь) из п. 56.12 использует ограниченную характеристическую функцию, в то время как (56:1:а) использует расширенную.

Следовательно, нашей ближайшей целью неизбежно становится выяснение природы этих характеристических функций и их связей друг с другом.

57.2. Основные свойства

57.2.1.-Рассмотрим общую игру п лиц Г и две ее характеристические функции, как они были определены выше: ограниченную v (S), определенную для всех подмножеств S множества / = (1, . . ., тг), и расширенную \(S), определенную для всех подмножеств множества / = (1, . . ., тг, п+1) 2).

В дальнейшем мы должны различать две возможности в наших обозначениях для -S, как это делалось во втором замечании в п. 56.10.2. Для S / = (1, . . ., тг, тг + 1) мы можем понимать -S из / как / - S, тогда как для S / = (1, . . ., тг) мы можем также понимать -S из / как I - S 3). Снова обозначим первое множество через L S, а второе через -S.

Мы намерены перечислить существенные свойства обеих характеристических функций для общей игры п лиц так же, как это было сделано в пп. 25.3 и § 26 для характеристической функции игры тг лиц с нулевой суммой.

г) Все эти различия и определения не могут влиять и не влияют на тот строго установленный факт, что для игр с нулевой суммой эти две теории эквивалентны (см. (56:1:с) из п. 56.12).

2) Мы обозначаем их одной и той же буквой v, так как они имеют одни и те же значения на тех множествах, для которых они обе определены.

3) Ясно, что эти множества, образованные для одного и того же множества S (конечно, S с/), различны. Раньше мы требовали, чтобы они были одинаковыми, но там мы их образовывали для двух различных множеств S и Т.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [ 173 ] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]