бы они могли самостоятельно обеспечить себе больше, чем они вместе получают в а,, т. е. если бы было
2 са<у(-Т).
i£-T
(Заметим, что мы исключили здесь равенство, так как иначе дележ а не блокировался бы.) Отрицанием этого будет
(56:21) 2 oav(-T).
i£-T
Это можно сравнить с выражением возможности первоначальной группы Т обеспечить свое предпочтение, т. е.
(56:17) S
Следует отметить, что ни одно из (56:17), (56:21) не влечет другого: вполне возможно,
что группа Т может обеспечить а, если это в интересах членов Г, и что в это же самое
время группа -Т может не допустить а, если это в ее интересах. С другой стороны, возможно также, что не выполнено ни то, ни другое.
Однако, если Г - игра с нулевой суммой и если мы требуем (как в старой теории)
равенства - О? то соотношения (56:17) и (56:21) эквивалентны. В самом деле.»
в этом случае
v(r) + v(-r) = v((l, я)) =0
2 а*=-2а*, у(-Г)=-у(Г),
г£-Т г£Т
откуда и следует эквивалентность.
Наконец, имеется специфическое условие, в соответствии с которым всем (реальным) игрокам, т. е. обществу в целом, должно быть не хуже
при предпочитаемом режиме а, чем при отвергнутом режиме Р (см. (56:23)).
56.10.4. Странная возможность (56:D:b) была, очевидно, получена из-за трактовки фиктивного игрока как некоей реальности. Если же мы воздержимся от каких-либо попыток выражаться в терминах реальности (т. е. реальных игроков), то будет очень трудно интерпретировать (56:D:b). Лучшее, что можно, по-видимому, об этом сказать, - это то, что допускается эффективная возможность влияния некоторого определенного множества, которое повредит обществу в целом (т. е. объединению всех реальных игроков). В частности, в этом случае доминирование будет иметь место, когда все игроки некоторой группы (реальных игроков)
-> -У
предпочитают свое индивидуальное положение в а положению в р, если при этом оставшиеся (реальные) игроки не в состоянии изменить существующее положение и если это вредит обществу в целом.
При сравнении доминирования (56:D:b) с обычным доминированием (56:D:a) становятся ясными следующие различия: во-первых, в (56: D:a) существенна возможность осуществления предпочтения некоторыми игроками, в то время, как в (56:D:b) существенна возможность остальных игроков блокировать это. Во-вторых, в (56:D:a) активная группа должна быть непустым множеством, в то время как в (56:D:b) она может быть и пустой (см. (56:19) и (56:20)). В-третьих, с (56:D:b) связаны антисоциальные соображения, чего нет в (56:D:a).
Читатель скоро сможет заметить, что (56:D:b) носит несколько неестественный характер, но тем не менее не является совсем уже необычным. Можно было бы легко сказать и больше о тех образах и аллегориях, точной формализацией которых являются (56:D:b). У нас нет необходимости дольше задерживаться здесь на этом вопросе. Важно то, что имеется ряд причин рассматривать возможность (56:D:b) как общее выражение тех трудностей, частный случай которых анализировался в пп. 56.5-56.6. Ясно, что (56:D:b) не является столь же правдоподобным подходом к понятию доминирования в том смысле, как (56:D:a).
Мы поэтому попытаемся разрешить наши трудности простым отбрасыванием (56:D:b).
56.11. Строгие рассуждения
56.11.1. Мы только что решили переопределить доминирование отбрасыванием (56:D:b) и сохранением (56:D:a) в (56:D) из п. 56.10.2. Эту новую концепцию доминирования можно обосновать двумя способами, каждый йз которых заслуживает рассмотрения.
Первый. Как было отмечено в начале п. 56.10.3, утверждение (56:D:a) сводится к повторению соответствующего определения из п. 30.1.1. Единственное различие состоит в том, что там Г была игрой п лиц с нулевой суммой, в то время как сейчас это - общая игра п лиц.
Таким образом, данный способ означает, что мы распространили понятие доминирования из п. 30.1.1 на наш случай без изменения, несмотря на то, что игра уже не является игрой с нулевой суммой *).
Второй. Рассмотрим теперь (56:D:a) с точки зрения Г, а не Г. В первоначальных рассмотрениях п. 56.10 мы получили два случая (56:D:a) и (56:D:b) в зависимости от двух исключающих друг друга возмояшостей. В смысле п. 30.1.1 понятие доминирования в Г опиралось на множество S. При этом (56:D:a) получилось, когда п + 1 не принадлежит S, a (56:D:b) - в противном случае. Следовательно, ограничиться (56:D:a) - значит потребовать, чтобы S не содержало п + 1.
Мы повторяем: наше новое понятие доминирования означает в терминах Г, что в определении доминирования из п. 30.1.1 мы добавляем к условиям (30:4:а) - (30:4:с), наложенным на множество S, еще и то условие, что S не должно содержать некоторого конкретного элемента, именно п + 1.
Это можно представить и как ограничение понятия эффективности, введенного в своем месте; мы будем считать множество S эффективным, только если оно не содержит п -f- 1 (конечно, первоначальные условия (30:3) также должны быть соблюдены).
56.11.2. Перейдем теперь к изучению нового понятия решения для Г, т. е. решения для Г, основанного на новом понятии доминирования* введенном в п. 56.11.1. При этом мы будем исходить из игры Г, определения дележей (56:5) (а не из игры Г и дележей в форме (56:7)) и определения доминирования, данного во втором замечании из п. 56.11.1.
*) Может показаться странным, что мы пришли к этому простому принципу с таким трудом, на деле же необходимо провести дальнейшее рассмотрение п. 56.11.2, прежде чем принять его окончательно. Однако принятие определения из п. 30.1.1 без каких-либо альтернатив, несмотря на исключительно широкое обобщение, проведенное здесь, требует самого пристального внимания. Подробный индуктивный подход, данный в этих пунктах, представляется наиболее приспособленным для этих целей.
Мы получим нужный результат, доказав последовательно четыре леммы.
(56: Е) Если V - решение i\ в новом смысле, то для каждого
а = {аи . .., ап, an+i} из V должно быть ап+1 = у ((га + 1)). Доказательство. Предцоложим противное. Так как всегда «7i+i=-v + 1)), должен существовать дележ а = {а4, . . ., ап, an+i) £ 6 V, для которого ап+1 > v ((га + 1)). Положим an+i == v ((га + 1)) +е> 8 > 0. Определим (3 = {р1? . . ., р„, р-м}, взяв Р* = а*4~ для 1 = 1,..., га; p7i+i = а„+1 - 8 = v ((га + 1)).
Так как 2 pz- = - рд+1 = - v ((га + 1)) = v ((1, . . ., га)) и р* > <xf для
i = l, . . ., га, должно быть р е- а по множеству S = (1, . . ., га) Так как а принадлежит V, дележ Р не может принадлежать V. Следовательно, существует такое у £ V, что у е- р. Рассмотрим теперь множество S, относительно которого происходит это доминирование. Так как S не содержит га + 1, мы имеем S s (1, . . п). Из Р* > для i =
= 1, . . # и у е- р следует, что 7 е- а. Но и у и а взяты из V; следовательно, получено противоречие.
(56:F) Если V является решением Г в новом Смысле, то оно являет-
ся решением и в старом смысле.
Доказательство. Мы должны показать, что (30:5:а), (30:5:Ь) из п. 30.1.1, с доминированием в новом смысле, влекут аналогичные соотношения с доминированием в старом смысле. В самом деле, из доминирования в новом смысле следует доминирование в старом, а значит, (30:5:Ь). Так что проверки требует лишь (30:5:а).
Предположим поэтому, что (30:5:а) неверно в старом смысле, т. е. что
-V -> -у -у
для некрторых а, Р £ V имеет место а е- Р в старом смысле. Пусть S - множество, по которому осуществляется доминирование. По (56:Е) an+i = pn+i (= v ((га + 1))); значит, га +• 1 не может принадлежать S.
Следовательно, а е- Р в новом смысле, т. е. (30:5:а) неверно и в новом смысле. Это завершает доказательство.
(56 :G) Если V -решение Г в бтаром смысле и если для любого
а = {аи ..., аП9 an+i} из V имеет место а71+1 = v((ra-f 1))» то V является решением и в новом смысле.
Дрказате льство. Мы должны доказать, что из (30:5:а) и (30:5:Ь) с доминированием в старом смысле следуют те же соотношения с доминированием в новом смысле. Доминирование в старом смысле
*) Это доминирование, как и все остальные в этом доказательстве, понимается в новом смысле.