назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [ 172 ] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


172

бы они могли самостоятельно обеспечить себе больше, чем они вместе получают в а,, т. е. если бы было

2 са<у(-Т).

i£-T

(Заметим, что мы исключили здесь равенство, так как иначе дележ а не блокировался бы.) Отрицанием этого будет

(56:21) 2 oav(-T).

i£-T

Это можно сравнить с выражением возможности первоначальной группы Т обеспечить свое предпочтение, т. е.

(56:17) S

Следует отметить, что ни одно из (56:17), (56:21) не влечет другого: вполне возможно,

что группа Т может обеспечить а, если это в интересах членов Г, и что в это же самое

время группа -Т может не допустить а, если это в ее интересах. С другой стороны, возможно также, что не выполнено ни то, ни другое.

Однако, если Г - игра с нулевой суммой и если мы требуем (как в старой теории)

равенства - О? то соотношения (56:17) и (56:21) эквивалентны. В самом деле.»

в этом случае

v(r) + v(-r) = v((l, я)) =0

2 а*=-2а*, у(-Г)=-у(Г),

г£-Т г£Т

откуда и следует эквивалентность.

Наконец, имеется специфическое условие, в соответствии с которым всем (реальным) игрокам, т. е. обществу в целом, должно быть не хуже

при предпочитаемом режиме а, чем при отвергнутом режиме Р (см. (56:23)).

56.10.4. Странная возможность (56:D:b) была, очевидно, получена из-за трактовки фиктивного игрока как некоей реальности. Если же мы воздержимся от каких-либо попыток выражаться в терминах реальности (т. е. реальных игроков), то будет очень трудно интерпретировать (56:D:b). Лучшее, что можно, по-видимому, об этом сказать, - это то, что допускается эффективная возможность влияния некоторого определенного множества, которое повредит обществу в целом (т. е. объединению всех реальных игроков). В частности, в этом случае доминирование будет иметь место, когда все игроки некоторой группы (реальных игроков)

-> -У

предпочитают свое индивидуальное положение в а положению в р, если при этом оставшиеся (реальные) игроки не в состоянии изменить существующее положение и если это вредит обществу в целом.

При сравнении доминирования (56:D:b) с обычным доминированием (56:D:a) становятся ясными следующие различия: во-первых, в (56: D:a) существенна возможность осуществления предпочтения некоторыми игроками, в то время, как в (56:D:b) существенна возможность остальных игроков блокировать это. Во-вторых, в (56:D:a) активная группа должна быть непустым множеством, в то время как в (56:D:b) она может быть и пустой (см. (56:19) и (56:20)). В-третьих, с (56:D:b) связаны антисоциальные соображения, чего нет в (56:D:a).



Читатель скоро сможет заметить, что (56:D:b) носит несколько неестественный характер, но тем не менее не является совсем уже необычным. Можно было бы легко сказать и больше о тех образах и аллегориях, точной формализацией которых являются (56:D:b). У нас нет необходимости дольше задерживаться здесь на этом вопросе. Важно то, что имеется ряд причин рассматривать возможность (56:D:b) как общее выражение тех трудностей, частный случай которых анализировался в пп. 56.5-56.6. Ясно, что (56:D:b) не является столь же правдоподобным подходом к понятию доминирования в том смысле, как (56:D:a).

Мы поэтому попытаемся разрешить наши трудности простым отбрасыванием (56:D:b).

56.11. Строгие рассуждения

56.11.1. Мы только что решили переопределить доминирование отбрасыванием (56:D:b) и сохранением (56:D:a) в (56:D) из п. 56.10.2. Эту новую концепцию доминирования можно обосновать двумя способами, каждый йз которых заслуживает рассмотрения.

Первый. Как было отмечено в начале п. 56.10.3, утверждение (56:D:a) сводится к повторению соответствующего определения из п. 30.1.1. Единственное различие состоит в том, что там Г была игрой п лиц с нулевой суммой, в то время как сейчас это - общая игра п лиц.

Таким образом, данный способ означает, что мы распространили понятие доминирования из п. 30.1.1 на наш случай без изменения, несмотря на то, что игра уже не является игрой с нулевой суммой *).

Второй. Рассмотрим теперь (56:D:a) с точки зрения Г, а не Г. В первоначальных рассмотрениях п. 56.10 мы получили два случая (56:D:a) и (56:D:b) в зависимости от двух исключающих друг друга возмояшостей. В смысле п. 30.1.1 понятие доминирования в Г опиралось на множество S. При этом (56:D:a) получилось, когда п + 1 не принадлежит S, a (56:D:b) - в противном случае. Следовательно, ограничиться (56:D:a) - значит потребовать, чтобы S не содержало п + 1.

Мы повторяем: наше новое понятие доминирования означает в терминах Г, что в определении доминирования из п. 30.1.1 мы добавляем к условиям (30:4:а) - (30:4:с), наложенным на множество S, еще и то условие, что S не должно содержать некоторого конкретного элемента, именно п + 1.

Это можно представить и как ограничение понятия эффективности, введенного в своем месте; мы будем считать множество S эффективным, только если оно не содержит п -f- 1 (конечно, первоначальные условия (30:3) также должны быть соблюдены).

56.11.2. Перейдем теперь к изучению нового понятия решения для Г, т. е. решения для Г, основанного на новом понятии доминирования* введенном в п. 56.11.1. При этом мы будем исходить из игры Г, определения дележей (56:5) (а не из игры Г и дележей в форме (56:7)) и определения доминирования, данного во втором замечании из п. 56.11.1.

*) Может показаться странным, что мы пришли к этому простому принципу с таким трудом, на деле же необходимо провести дальнейшее рассмотрение п. 56.11.2, прежде чем принять его окончательно. Однако принятие определения из п. 30.1.1 без каких-либо альтернатив, несмотря на исключительно широкое обобщение, проведенное здесь, требует самого пристального внимания. Подробный индуктивный подход, данный в этих пунктах, представляется наиболее приспособленным для этих целей.



Мы получим нужный результат, доказав последовательно четыре леммы.

(56: Е) Если V - решение i\ в новом смысле, то для каждого

а = {аи . .., ап, an+i} из V должно быть ап+1 = у ((га + 1)). Доказательство. Предцоложим противное. Так как всегда «7i+i=-v + 1)), должен существовать дележ а = {а4, . . ., ап, an+i) £ 6 V, для которого ап+1 > v ((га + 1)). Положим an+i == v ((га + 1)) +е> 8 > 0. Определим (3 = {р1? . . ., р„, р-м}, взяв Р* = а*4~ для 1 = 1,..., га; p7i+i = а„+1 - 8 = v ((га + 1)).

Так как 2 pz- = - рд+1 = - v ((га + 1)) = v ((1, . . ., га)) и р* > <xf для

i = l, . . ., га, должно быть р е- а по множеству S = (1, . . ., га) Так как а принадлежит V, дележ Р не может принадлежать V. Следовательно, существует такое у £ V, что у е- р. Рассмотрим теперь множество S, относительно которого происходит это доминирование. Так как S не содержит га + 1, мы имеем S s (1, . . п). Из Р* > для i =

= 1, . . # и у е- р следует, что 7 е- а. Но и у и а взяты из V; следовательно, получено противоречие.

(56:F) Если V является решением Г в новом Смысле, то оно являет-

ся решением и в старом смысле.

Доказательство. Мы должны показать, что (30:5:а), (30:5:Ь) из п. 30.1.1, с доминированием в новом смысле, влекут аналогичные соотношения с доминированием в старом смысле. В самом деле, из доминирования в новом смысле следует доминирование в старом, а значит, (30:5:Ь). Так что проверки требует лишь (30:5:а).

Предположим поэтому, что (30:5:а) неверно в старом смысле, т. е. что

-V -> -у -у

для некрторых а, Р £ V имеет место а е- Р в старом смысле. Пусть S - множество, по которому осуществляется доминирование. По (56:Е) an+i = pn+i (= v ((га + 1))); значит, га +• 1 не может принадлежать S.

Следовательно, а е- Р в новом смысле, т. е. (30:5:а) неверно и в новом смысле. Это завершает доказательство.

(56 :G) Если V -решение Г в бтаром смысле и если для любого

а = {аи ..., аП9 an+i} из V имеет место а71+1 = v((ra-f 1))» то V является решением и в новом смысле.

Дрказате льство. Мы должны доказать, что из (30:5:а) и (30:5:Ь) с доминированием в старом смысле следуют те же соотношения с доминированием в новом смысле. Доминирование в старом смысле

*) Это доминирование, как и все остальные в этом доказательстве, понимается в новом смысле.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [ 172 ] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]