со старой теорией; фактически здесь вовсе не было необходимости отказываться от старой теории х).
56.9.5. Второе. Дележи для игры п лиц с нулевой суммой в старой теории были определены следующим образом:
(56:С:а) а = {аь . . ., ап};
(56:C:b) a*v((i)) для i=l, ...,тг;
(56:С:с) Цаг = 0.
Наше новое определение (56:7) из п. 56.8.1 отличается от этого. Здесь мы имеем
(56:С:а*) а = {{аи . . ., ал}};
а на основании (56:9), (56:10) и (56:16), (56:C:b*) afv((i)) Для i = l,
(56:С:с*) S 0.
Мы уже знаем из предыдущего замечания, что не может быть никакого существенного различия между старой и новой теориями 2). Тем не менее полезно увидеть непосредственно (с точки зрения старой теории), что между (56:С:а), (56:С:Ь) и (56:С:а*), (56:С:Ь*) нет никакой разницы.
Единственное различие между этими определениями содержится в (56:С:с) и (56:С:с*). Вспоминая определение из п. 44.7.2, мы видим, что это различие можно выразить так: первое условие равносильно рассмотрению решения для Е (0), второе - для F (0). Далее, мы уже заметили в п. 46.8.1, что 0 лежит в «нормальной» зоне игры Г и, по (45:0:Ь) в п. 45.6.1, Е (0) и F (0) имеют одни и те же решения. Таким образом, мы получили полное соответствие.
Мы сделали эти. два замечания, используя теорию композиции и разложения игр из главы IX для анализа влияния введенной новой процедуры для игры Г с нулевой суммой. Эта процедура состоит в основном из перехода от Г к Г, который, как мы видели, соответствует включению в игру Г «болвана». Это - существенно более частный случай композиции, рассмотренный в главе IX. Эти частные результаты могли быть получены с меньшими усилиями, чем в результате применения указанных гораздо более общих теорем. Мы не будем больше углубляться в этот предмет, так как общие результаты главы IX справедливы в любом случае, а проведенное выше рассуждение проясняет наши построения в их первоначальных условиях.
56.10. Анализ понятия доминирования
56.10.1. Вернемся теперь к общей игре п лиц, ее расширению до игры с нулевой суммой Гик новому определению дележей, которое было введено в п. 56.8.
х) Необходимость ограничения Q была получена в пп. 56.5, 56.6 из рассмотрения игры Г с ненулевой суммой.
2) Или, более того, между старой и любой новой теорией, построенной в рассмотренном выше духе (мы пока еще не сделали выбора между Q и Q").
Конечно, все решения Г, вообще говоря, не могут быть использованы для определения удовлетворительного понятия решения Г. Это выяснилось из рассмотрения частного примера в пп. 56.5-56.6. Изучим теперь вопрос систематически, т. е. применим к игре формальное определение решения, сформулированное в п. 30.1.1, и попытаемся выяснить в общем случае, какие из его свойств нас не удовлетворяют и требуют видоизменения.
При этом мы будем пользоваться понятием дележа (в Г) в новом определении (56:7) из п. 56.8.1. Важным свойством этого определения является то, что оно с самого начала подчеркивает значение реальных игроков в Г, т. е. обращает наше внимание скорее на Г, чем на Г. Но это, конечно, не изменяет того факта, что мы применяем формальную теорию п. 30.1.1 к игре 72 + 1 лица с нулевой суммой Г, а не к общей игре Г (что было бы невозможно).
Понятия в п. 30.1.1 опираются на понятия доминирования. Следовательно, мы начнем с объяснения смысла понятия доминирования, как оно было там определено, для дележей игры Г в форме (56:7) из п. 56.8.1.
-> -у
Рассмотрим два дележа: а = {{а1? . . ., ап}}, (3 = {{(З . . ., 3Д}}. Доминирование
-у -у
as- 3
означает, что существует непустое множество п + 1),
эффективное для а, т. е.
(56:17) 2 av(S),
и такое, что
(56:18) aj>3j для всех i£S.
Мы хотим выразить это в терминах аг, (3 только для i = 1, . . ., п. Необходимо различать две возможности.
56.10.2. Первая. S не содержит п + 1. Тогда
(56:19) S gr (1, . . ., тг), S непусто.
Условия (56:17) и (56:18) сохраняются в прежней форме, так как они содержат лишь с, §г с i = l, . . ., п. Кроме того, £ (1, . . ., п) для v(5) из (56:17).
Вторая. S содержит п + 1. Положим Т = S - (тг + 1). Тогда
(56:20) Т (1,3. . ., 72), Т может быть пустым.
Условия (56:17) и (56:18) должны быть изменены, так как в них теперь входит ctn+i,
Естественно составить множество -S из (1, . . ., тг, п + 1), равное (1, . . ., тг, тг + 1) - S, и множество - Т из (1, . . ., тг), равное (1, . . ., тг) - Г. Ясно, что эти множества совпадают, но тем не менее полезно иметь для них два обозначения. Обозначим первое через L S, а второе через -Г.
Так как 2 а* = 0» то
Следовательно, (56:17) превращается в (56:21) 2 atv(-T).
Сюда входят лишь af с г = 1, . ..,га. Кроме того, - Г (1, . ..,/г).
Далее, неравенства (56:18) переписываем как
(56:22) a*>fc для г из Т
и a+1 > p+j. Последнее неравенство означает, что
(56:23) 2 а,<2
г=1 г=1
В (56:22) и (56:23) также входят лишь at, pf с i = 1, . . ., га. Суммируя сказанное, мы получим следующее:
-> ->
(56:D) а е- р означает, что существуют либо
(56:D:a) S, удовлетворяющее (56:19) и (56:17), (56:18), либо
(56:D:b) Г, удовлетворяющее (56:20) и (56:21), (56:22), (56:23).
Заметим, что во все эти условия входят только множества S, Т, -Т !== (1, . . ., га) и компоненты с, Р* при i = 1, . . ., га, т. е. эти условия относятся только к первоначальной игре Гик реальным игрокам 1, . . ., га.
56.10.3. Критерий доминирования (56:D) был получен буквальным применением первоначального определения из п. 30.1.1 к игре Г и последующей его переформулировки в терминах игры Г. После того как эта строгая операция выполнена, попытаемся рассмотреть полученный результат с точки зрения его интерпретации, т. е. посмотрим, приводят ли в данном случае условия (56:D) к разумному определению доминирования.
В соответствии с (56:D) доминирование имеет место в двух случаях: (56:D:a) и (56:D:b).
(56:D:a) есть всего лишь переформулировка первоначального определения из п. 30.1.1 х). Оно выражает, что существует группа (реальных) игроков (множество S из (56:19)), каждый из которых предпочитает свое
положение в а положению в р (т. е. (56:18)) и которым известно, что они могут данной группой (в объединении) обеспечить себе это предпочитаемое положение (т. е. (56:17)).
(56:D:b), с другой стороны, в терминах Г, и рассматриваемое только для реальных игроков, означает нечто совсем новое. Оно тоже требует, чтобы существовала группа (реальных) игроков (множество Т из (56:20)),
каждый из которых предпочитает дележ а дележу р (т. е. (56:22)). Способности этой группы обеспечить себе предпочитаемый дележ (т. е. (56:17)) не требуется. Вместо этого имеется условие, что реальные игроки, не вошедшие в эту группу, не должны быть в состоянии блокировать дележ а в той мере, в какой он их затрагивает (это - (56:21)).
г) Примененного, однако, к общей игре Г, для которой эта теория не предназначалась!