фиксированную сумму с во всех дележах решения. Из п. 33.1.2 следует, что эта сумма не обязательно равна тому минимуму, который игрок себе может обеспечить, играя один, т. е. не обязательно, чтобы было с = - 1. В действительности с может быть выбрано из промежутка - 1 <g с < 1/2.

56.6.2. В этом месте стоит ненадолго прервать рассуждения для того, чтобы коротко остановиться на том дискриминирующем решении, которое создает фиктивному игроку наихудшую из возможных ситуацию, т. е. с с = - 1. В соответствии с п. 33.1.1, это решение состоит из всех тех дележей, в которых фиктивный игрок 3 получает -1, а каждый из остальных (реальных) игроков получает - 1.

Как уже отмечалось, это значит, что решение (т. е. норма поведения) никак не влияет на разделение выигрыша между двумя реальными игроками. Высказанные там соображения теперь можно углубить: переговоры между игроками 1 и 2 становятся полностью неограниченными не только потому, что принятая норма поведения исключает влияние игрока 3 (который имеет лишь нормативное влияние по отношению к игрокам 1,2), но и по той еще более существенной причине, что игрок 3 не существует. Легко видеть, что таким образом, исключается угроза того, что один из игроков, 1 или 2, откажется вступать в кооперацию с другим, если его «справедливую долю» не признает его партнер, и что вместо этого он вступит в соглашение с игроком 3 и получит компенсацию из этого источника.

56.7. Альтернативные возможности

56.7.1. Продолжим теперь рассуждения, которые мы прервали в конце п. 56.6.1.

Может показаться непонятным, должны ли мы ограничиться с = - 1, или можем допустить всю область изменения - 1£ с <С 1/2. Первая возможность является на первый взгляд более подходящей. В самом деле, с > -1 означает, что реальные игроки не эксплуатируют фиктивного игрока в полную силу своих возможностей, т. е. они не пытаются выиграть максимальную возможную сумму. Можно рассматривать такое самопожертвование как компенсацию фиктивному игроку за принятую им устойчивую норму поведения. Но так как мы решили исключить любое участие фиктивного игрока в образовании коалиций и уплате компенсаций, то тем самым должно быть оправдано запрещение этой второй возможности.

Следует, однако, признать, что эти аргументы не являются вполне убедительными. Компенсация (положительная), которую платит фиктивный игрок, качественно отличается от той, которую платят ему. Первая есть очевидная бессмыслица, так как фиктивный игрок не существует и, следовательно, не может платить компенсаций. Вторая, с другой стороны, вовсе не является абсурдом. Она просто выражает некоторое самоограничение в использовании коллективных возможностей, и мы имеем несколько примеров, показывающих, что этого может требовать устойчивая норма поведения1). Априори не ясно, что о таком самоограничении

х) Это, конечно, только другой способ выражения возможности из п. 33.1.2. Другой пример в игре четырех лиц с нулевой суммой дан в (38:F) из п. 38.3.2. Еще один получен для всех неразложимых игр в п. 46.11. (В этом последнем примере самоограничение осуществляется игроками из А, когда ф < 0 и игроками из Н, когда ф >> 0; см. там же).

Мы подчеркиваем, что такое самоограничение происходит под давлением принятой нормы поведения, хотя предполагается (как и всегда в нашей теории), что игрокам полностью известны возможности игры.

не может идти речь и в данной ситуации х). Исключение этой возможности означало бы, что устойчивая норма поведения (при наличии полной информации) с необходимостью приводила бы к получению максимальной коллективной выгоды. Читатель, знакомый с существующей социологической литературой, должен знать, что дискуссии по этому вопросу далеки от завершения.

Мы, однако, при решении этого вопроса в рамках нашей теории покажем, что с должно принимать минимально возможное значение 2).

56.7.2. Однако некоторое время мы можем рассматривать обе возможности параллельно.

С этой целью вернемся к общей игре п лиц Г и соответствующей игре с нулевой суммой Г. Теперь мы можем дать точные определения.

{56:А:а) Обозначим множество всех решений V игры Г через Q.

(56:А:Ь) Пусть дано число с. Обозначим через Qc систему тех решений V игры Г, в которых для каждого дележа а = {аи . . ., ocn, an+i} £ V должно быть an+i=c3). (56:А:с) Обозначим объединение всех Qc через Q.

(56:A:d) Обозначим то Qc, для которого с = v ((/г + 1)) = = - v((l, . . ., *)), через Q" 4).

В связи с (56:А:с) заметим следующее.

Для некоторых с множество Qc пусто. Эти с, очевидно, могут быть при построении Q опущены. Итак, из того, что an+1 v ((п + 1)) = = - v ((1, . . ., 7г)), следует, что - v ((1, . . ., п))\ в остальных

случаях множество Qc пусто. Далее, из

«/1+1=- 2 «А - 2 *((*))

fe=l k=l

следует cfg- 2 v(())» в остальных случаях Йс пусто. Следовательно, с подчинено ограничению

(56:4) -v((l, ...,*)) g с g - S v ((*)).

На самом деле, оно, как правило, заключено в еще более узких границах 5).

Множество Q" из (56:A:d) соответствует минимальному с из (56:4).

2) Однако, если это случится, то это можно рассматривать как неэффективную, хотя и устойчивую, форму социальной организации.

2) То есть упомянутого самоограничения не происходит и всегда получается максимальная социальная выгода. Этот результат не является таким общим, как это может показаться, так как мы предполагаем численную неограниченно трансферабельную полезность, равно как и полную информацию.

3) То есть фиктивный игрок получает одну и ту же сумму с во всех дележах решения.

4) То есть фиктивный игрок получает во всех дележах решения ту сумму, которую он себе может обеспечить, даже в оппозиции ко всем остальным. Это означает, как мы уже знаем, что реальные игроки получают вместе максимальный общий выигрыш.

5) Так, для существенной игры трех лиц с нулевой суммой (56:4) дает -1 < с 2, тогда как мы знаем из п. 32.2.2, что точная область изменения (с непустыми Qc) есть -1 с < !/2.

56.8. Новое построение

56.8.1. Наши рассуждения в пп. 56.3.2-56.4.3 показали, что не все решения из Q одинаково важны для Г. В п. 56.6.1 область этих решений была сужена, однако осталось невыясненным, будет системой всех имеющих значение решений Q или Q".

Итак, системы Q и Q" соответствуют двум возможностям, о которых уже говорилось. Займемся теперь выяснением различий между Q и й".

Рассмотрим дележи

(56:5) а = {аи . .., an, an+i}

игры Г. Среди компонент аь . . ., ап, an+i первые а4, . . ., ап - это реальные суммы, которые реальные игроки, 1, . . ., га соответственно

должны получить при дележе а. С другой стороны, последняя его компонента ап+1 выражает некоторую фиктивную величину - сумму, приписываемую фиктивному игроку га + 1. Далее, компонента an+i не только фиктивна в интерпретации Г, но не является также математически необходимой; т. е. если аь . . ., ап известны, то она определяется. Действительно, так как сумма всех компонент дележа а должна быть равна нулю, то

(56:6) an+i= - 2 ock.

Следовательно, удобнее задавать а только его компонентами аь ... . . ., ап, помня при этом, что компонента an+i может быть получена (если это нужно) из равенства (56:6). Таким образом, мы будем писать

(56:7) а = {{а1? .. ., ап}}*

Заметим, что этим обозначением мы не хотим заменить первоначальное, т. е. мы хотим быть свободными в выборе любого из (56:5) и (56:7). Для того чтобы предотвратить путаницу, которая может возникнуть из-за этого двойного определения, мы используем двойные скобки {{ }} в (56:7) вместо простых { } в (56:5).

Замечание. Конечно, мы могли бы все это продолжить, т. е. сделать то же самое и для первоначальной игры п лиц с нулевой суммой. Там дележ

а ={а4, ..., ап}

также определен своими компонентами a*, i Ф io (для любого фиксированного z"o), так как

гф1о

В соответствии с этим мы уже заметили в (31.1) (из п. 31.2.1), что множество дележей существенной) игры п лиц с нулевой суммой имеет размерность (п - 1), а не п.

Однако мы не приобрели никаких преимуществ, избавившись от аго, и у нас не было способа решить, которое аг-0 следует исключить, если вообще его исключать. В графическом представлении существенной игры трех лиц с нулевой суммой мы сделали попытку сохранить все at (см. п. 32.1.2).

Здесь ситуация совсем другая, если учитывать особую роль a-fi. Исключение ад+1 будет существенным для нашего дальнейшего исследования.

56.8.2. Дележ а в его форме (56:5) подчиняется ограничению обращения суммы в нуль, а также условиям

(56:8) afv((0) Для i = 1, ..., га, п +1.

Мы должны переписать (56:8) для (56:7), учитывая (56:6).