Очевидно, v(0)=O, и согласно общим свойствам характеристических функций (игры с нулевой суммой)

Итак, (56:3)

v ((3)) = - v ((1, 2)) = -1, v ((2, 3)) = - v ((1)) = 1, v ((1, 3)) = - v ((2)) = 1, v ((1, 2, 3)) = - v (0) = 0.

, если S имеет <

г о 1

2 13

элементов.

Формула (56:3) есть в точности формула (29:1) из п. 29.12, т. е. Г является существенной игрой трех лиц с нулевой суммой в редуцированной форме с у = 1. Таким образом, она совпадает с простой мажоритарной игрой трех лиц, которая рассматривалась в § 21 х).

Из эвристических рассуждений §§ 21-23 мы вывели, что эта игра есть не что иное, как соперничество игроков при объединении в коалиции. Действительно, это становится очевидным, если рассматривать природу простой мажоритарной игры трех лиц (см. п. 21.2.1). Следовательно, фиктивный игрок будет заведомо проявлять тенденцию к вступлению в коалиции. В действительности игра Г, если она задана характеристической функцией, вполне симметрична относительно ее трех игроков. Значит, два реальных игрока 1, 2 играют в точности ту же самую роль, что и фиктивный игрок 3, и поэтому не существует причин, по которым их возможности вступать в коалиции отличались бы от его возможностей2).

56.4.2. Мы можем также обратиться к доводам из последней части п. 56.3 и применить их к этой игре: если фиктивный игрок 3 в Г ведет себя как реальный, то у него имеется достаточно причин, чтобы пытаться помешать образованию коалиции игроков 1, 2, так как в этом случае он теряет 1, если же эта коалиция не образуется3), он выигрывает 2. Следовательно, он будет предлагать игроку 1 или 2 компенсацию за разрушение их коалиции, т. е. за выбор значения т4 или соответственно т2, равного 2, а не 1. Эта компенсация может быть определена, как это делается в §§ 22, 23, и оказывается равной 3/2 4). Читатель может сам убедиться в этом, а также и в том факте, что эта процедура приводит к уже известным результатам, касающимся простых мажоритарных игр трех лиц.

*) Конечно, все эти игры совпадают, если рассматривать их характеристические функции, но ведь и вся теория из п. 30.1.1 основана только на характеристических функциях.

2) Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что правила Г, полностью выраженные в не симметричны относительно игроков 1, 2, 3. g%*£ зависят от т4, т2 и не зависят от т3. Только характеристическая функция v (£), S с (1, 2, 3) симметрична относительно 1, 2, 3. Но мы знаем, что только v (S) и имеет значение (см. сноску 1).

3) По сноске 3 на стр. 514 и по (56:2):

з(т1, т2)=~вйГ1(т1, T2)-Qff2(Tif т2)=( Г1 ДЛЯ Tl = t2==1

7 xi*/ [2 в остальных случаях.

4) Это - такая компенсация, которая увеличивает выигрыш игрока 1 или 2 (объединяющегося с фиктивным игроком 3) от проигрыша, равного -1, до выигрыша, равного1* который он получает в коалиции 1, 2. Это также снижает выигрыш фиктивного игрока с 2 до 1/2. Это число 1/2 он в действительности и должен получить.

56.4.3. Пример из п. 56.4.1 придает смысл возражениям, высказанным в пп. 56.3.3 и 56.3.4. Итак, фиктивный (п + 1)-й игрок может влиять на игру Г не прямо, через личные ходы, а косвенно, предлагая компенсации и тем самым изменяя условия и исходы конкуренции для коалиций. Как указано в конце п. 56.3.3, это не означает, что подобное может случится и в Г, т. е. когда фиктивный игрок есть просто фикция. Это происходит в Г в случае, если теория п. 30.1.1 применяется буквально, т. е. если фиктивному игроку позволено вести себя так (в предложении компенсаций), как если бы он был реальным игроком. Другими словами, рассуждения последних абзацев не означают, что мы хотим приписать фиктивному игроку возможности, противоречащие тому духу, в котором он был введен. Они служат только для того, чтобы показать, что безоговорочное применение нашей первоначальной теорий приводит нас к такому противоречию. Следовательно, мы должны заключить, что игру с нулевой суммой Г нельзя рассматривать как безоговорочный эквивалент общей игры Г.

Что же мы теперь должны делать? Для того чтобы ответить на этот вопрос, лучше вернуться к анализу примера из п. 56.4.1, в котором эти трудности выражены полностью.

56.5. Две возможные процедуры

56.5.1 ДМожно пытаться выйти из этих затруднений, наблюдая, что произойдет в п. 56.4.1, если мы перестанем использовать лишь характеристические функции. Действительно, игра Г совпадает там с простой мажоритарной игрой трех лиц, в которой механизм образования коалиций является очевидным. Это совпадение следует понимать только в том смысле, что эти игры имеют одни и те же характеристические функции, но не одни и те же e/Tfc (см., в частности, сноски 1 и 2 на стр. 515). Итак, возможным выходом может быть следующий: отказаться от требования опираться лишь на характеристические функции, а строить теорию на самих &Pk.

Однако при ближайшем рассмотрении это предложение оказывается совершенно бесполезным, по крайней мере для рассматриваемой задачи.

Во-первых, отказ от v (S) в пользу &Ck лишил бы нас всех способов исследования проблемы. Для игр с нулевой суммой мы не располагаем никакой общей теорией, кроме рассмотренной в п. 30.1.1, основанной исключительно на v (S). Поэтому принятие нашей программы сделало бы переход от общей игры Г к игре с нулевой суммой Г совершенно бесполезным, так как при*этом становится невозможным рассматривать игры с нулевой суммой как общие игры. Следовательно, принесение в жертву целой существующей теории имело бы смысл только в том случае, если бы мы были вполне уверены в том, что, несмотря на ее пригодность во всех остальных отношениях, иного выхода нет. Однако ни то, ни другое не имеет места.

Во-вторых, это возвращение от характеристических функций к &Ch не устраняет возражений, высказанных в предыдущих пунктах. В самом деле, в конце п. 56.3.2, так же как и в п. 56.4.2, мы действовали тем же способом, каким вводили в рассмотрение Мы обосновали необходимость фиктивному игроку в Г предлагать компенсации способом, который никак не зависел от замены Г на другую игру с той же самой характеристической функцией ь).

г) Мы снова используем замену в п. 56.4.1, но не в последующей аргументации п. 56.4.2!

В-третьих,- из дальнейшего будет ясно, что нет необходимости отказываться от теории, основанной на характеристических функциях, а все недостатки можно устранить с помощью простого ограничения в ее применении.

56.5.2. Обращение к пп. 56.3.2 и 56.4.2 показывает, что мы не можем целиком отнести наши трудности, связанные с поведением фиктивного игрока, на счет теории из п. 30.1.1.

Рассуждения в пп. 56.3.2-56.3.4 и п. 56.2 полностью эвристичны. Это, в частности, важно отметить в случае п. 56.4.2, где нежелательные результаты были получены определенным способом на конкретном примере. В самом деле, исследования в п. 56.4.2 опираются на «предварительные» эвристические рассуждения о существенных играх трех лиц с нулевой суммой из §§ 21-23, а не на строгую теорию из § 32.

Все, что было сделано как в 56.4.2, так и в 56.4.1, в терминологии строгой теории можно описать так: общая игра двух лиц Г из п. 56.4.1 приводит к игре трех лиц с нулевой суммой Г, которая совпадает с простой мажоритарной игрой. Теория из п. 30.1.1 дает различные решения для этой игры, которые изучены и классифицированы в п. 33.1. Далее в пп. 56.4.1 и 56.4.2 выбирается одно из этих решений, а именно недискриминирую щее решение из п. 33.1.3.

Следовательно, мы должны спросить себя: почему разумно выбирать именно это недискриминирующее решение? Разве не может случиться, что другое решение, с дискриминацией в смысле п. 33.1.3, свободно от указанных недостатков?

56.6. Дискриминирующие решения

56.6.1. Если бы мы рассматривали существенную игру трех лиц с нулевой суммой, т. е. простую мажоритарную игру трех лиц, с любой иной точки зрения и если бы нам необходимо было выбрать некоторое, вполне определенное из ее решений, то нам следовало бы иметь строгие доводы в пользу недискриминирующего решения. Это решение, т. е. норма поведения, которую оно представляет, дает всем трем игрокам одинаковые возможности объединяться в коалиции, и, при отсутствии каких-либо определенных мотивов для дискриминации, его можно считать самым «естественным» решением этой игры *).

Однако в данной ситуации имеется много причин для дискриминации: в игре Г игроки 1 и 2, участники Г, являются реальными игроками, в то время как игрок 3, - подчеркиваем это снова, - только формалистическая фикция. В ходе обсуждения в предыдущих пунктах мы подчеркивали, что этот игрок не должен бороться за вступление в коалицию и вести себя так, как остальные. Другими словами, если мы, в конце концов, считаем возможным применение к данной ситуации теории из п. 30.1.1, то дискриминация фиктивного игрока 3 является совершенно необходимой, т. е. необходимо выбрать одно из тех решений, которые названы в п. 33.1 дискриминирующими решениямиу причем дискриминированным игроком будет фиктивный игрок 3.

Мы уже видели, что эти решения с дискриминацией характеризуются тем, что дискриминированный игрок, который данным решением (т. е. нормой поведения), лишен возможности вступать в коалиции, получает

х) Конечно, другие решения также хороши в строгом смысле п. 30.1.1, но тем не менее приведенное выше утверждение на первый взгляд также разумно.