назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [ 167 ] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


167

от общих игр к играм с нулевой суммой, будет компенсироваться, - и это действительно возможно за счет увеличения числа участников

56.2.2. Прием, с помощью которого данная общая игра п лиц превращается в игру с нулевой суммой п + 1 лиц, является простым и естественным.

Он состоит из введения фиктивного (п + 1)-го игрока, относительно которого предполагается, что он теряет ту сумму, которую выигрывают остальные п реальных игроков, и наоборот. Этот игрок не должен, конечно, иметь никакого прямого влияния на ход игры.

Выразим это математически: рассмотрим общую игру п лиц Г с игроками 1, . . ., пи функциями $£k (ть . . ., хп) (к = 1, . . ., п) в смысле п. 11.2.3. Мы введем (п + 1)-го фиктивного игрока, полагая

(56:2) Жш (т4, ..., хп) S Wk (т„ ..., тп).

Переменные ть . . ., хп контролируются реальными игроками 1, . . ., п. В этом выражается их влияние на ход игры. Так как имеется в виду, что фиктивный игрок не влияет на ход игры, переменная хп+и которую он контролирует, не введена.

Замечание. Формализм п. 11.2.3 предполагает существование xk для любого к (для того чтобы применить это к данному случаю, мы должны заменить п на (п + 1)). Следовательно, можно было бы настаивать на введении переменной тп+1и для фиктивного (п + 1)-го игрока.

Это требование легко удовлетворить. Достаточно ввести переменную xn+i с единственным возможным значением (т. е. положить §п+\ = 1, как уже отмечалось). Фактически можно даже использовать любую область для xn+i (т. е. любые Рп+1), так как Ж\ (т4, . . ., тя, тл+1) не зависят от xn+i, т. е. на самом деле они являются функциями <Жь (ti, . . ., хп), как это и отмечено в тексте.

Таким образом, мы получаем игру п + 1 лиц с нулевой суммой, расширение Г до игры с нулевой суммой, которое будет обозначаться через Г.

56.3. Вопросы, касающиеся свойств Г

56.3.1. В утверждении, что мы интерпретировали любую общую игру п лиц в виде игры п + 1 лица с нулевой суммой, с самого начала содержится предположение, что вся теория Г остается справедливой и для Г. Это утверждение, конечно, требует внимательного рассмотрения.

Сейчас мы проделаем это исследование. Надо иметь в виду, что оно не может быть чисто математическим анализом, подобным проведенному в предшествующих главах, которые опирались на определенную теорию. Нам следует еще раз проанализировать самые основы рассматриваемой теории. Следовательно, сам анализ должен в основном иметь вид правдоподобных рассуждений, даже если они будут появляться в сочетании с дополнительными математическими соображениями. Эта ситуация в точности та же самая, что и в тех прежних примерах, где мы принимали решения относительно теорий игр с нулевой суммой двух, трех и п лиц (см. пп. 14.1-14.5, 17.1-17.9 для игр двух лиц с нулевой суммой; глава V - игры трех лиц с нулевой суммой; § 29, пп. 30.1, 30.2 - игры

г) Этот факт может служить дальнейшей иллюстрацией вновь установленного положения, что любое увеличение числа участников необходимо вызывает обобщение и усложнение структурных возможностей игры.



п лиц с нулевой суммой. Для общих игр п лиц. т. е. для связи между теориями Г и Г, эквивалентными им пунктами будут 56.2-56.12).

Результат нашего анализа будет состоять в том, что не вся теория игры Г, как игры с нулевой суммой п + 1 лица, в смысле п. 30.1.1, может быть применена к Г. Это верно только для ее части, которую мы выделим. Другими словами, мы покажем, что не вся система решений Г, а лишь некоторая ее подсистема даст то, что мы будем интерпретировать как решение Г.

56.3.2. Фиктивный игрок вводится как математический прием для того, чтобы получаемую игроками сумму сделать равной нулю. Поэтому существенно, что он не может иметь никакого влияния на ход игры. Этот принцип должным образом соблюден в определении Г, данном в п. 56.2.2. Мы должны, однако, задать себе вопрос, полностью ли исключен фиктивный игрок из всех действий, связанных с игрой.

Этот вопрос вовсе не излишен. Коль скоро в игре Г участвует не менее трех игроков 1), игра управляется коалициями, как мы это видели на ранней стадии нашего анализа. Участие фиктивного игрока в какой-либо коалиции, которое, возможно, приведет к выплате компенсаций игроками друг другу, полностью противоречило бы тому духу, в котором он был введен. А именно: фиктивный игрок вовсе не игрок, а лишь формальный прием для формальной цели. Пока он в прямой или косвенной форме не принимает никакого участия в игре, это допустимо. Но как только он начинает вмешиваться, его введение в игру, т. е. переход от Г к Г перестает быть законным. Это значит, что игру Г в этом случае нельзя рассматривать как игру, эквивалентную Г, или как ее истолкование, так как реальные участники Г, т. е. 1, . . ., тг, могут остерегаться опасностей или могут получить выгоду от возможностей, которых, очевидно, в Г не существует.

56.3.3. Можно подумать, что эти возражения опровергаются самим способом, каким мы вводим фиктивного игрока. В самом деле, величины

которые реальные игроки получают в конце игры, не зависят ни от какой переменной, которую бы фиктивный игрок контролировал2), т. е. он не имеет ходов в игре. Как же он может оказаться желаемым партнером в коалиции?

Сначала может показаться, что это соображение имеет некоторую ценность. Описанные условия, казалось бы, делают любую коалицию одинаково обоснованной как без фиктивного игрока, так и с ним. Является ли он чем-нибудь иным, кроме «болвана»? Если бы это было так, то теория Г могла бы быть без каких бы то ни было дальнейших оговорок применена к Г. Однако это не так.

Верно, что фиктивный игрок, не имея ходов для того, чтобы влиять на течение игры, не является желаемым партнером ни для какой коалиции. Это значит, что никакой игрок и никакая группа игроков не станут

*) То есть когда п + 1 3, что означает п 2. Итак, только общая игра одного лица свободна от приведенных ниже возражений. Это находится в соответствии с фактом, который мы неоднократно подчеркивали, что общая игра п лиц является чистой задачей максимизации, лишь когда п = 1.



платить (положительную) компенсацию за его сотрудничество. Однако сам этот игрок может быть заинтересован во вступлении в коалицию. Сумма eTi+i (ti, . . ., тп), которую он получает в конце игры, зависит от ходов других игроков - от ть . . ., хп - и ему может быть имеет смысл заплатить некоторым игрокам (положительную) компенсацию за то, чтобы они не вступали в коалицию с другими. Важно понять это правильно: пока играется игра Г, т. е. пока фиктивный игрок является действительно фикцией, ничего подобного случиться не может; но если в действительности играется Г, т. е. если фиктивный игрок ведет себя так, как вел бы себя на его месте игрок реальный, то следует ожидать, что он предложит компенсации другим игрокам.

56.3.4. Как только фиктивный игрок начинает предлагать за сотрудничество с ним компенсации, которые, как мы видели выше, есть плата за отказ от вступления в кооперацию с другими игроками, он получает влияние, которое надо учитывать. Он предлагает объединиться в коалицию и заплатить некоторую цену за право вступить в нее, и его желание платить столь же существенно, как и прямое влияние на игру благодаря способности делать значимые ходы.

Итак, фиктивный игрок вступает в игру, несмотря на неспособность влиять на ее течение непосредственно с помощью своих ходов. Фактически это происходит именно благодаря его бессилию, которое определяет его политику предложения другим компенсаций и таким образом пускает в действие описанный выше механизм.

Для лучшего понимания ситуации, может быть, было бы полезно привести конкретный пример.

56.4. Ограничения в использовании Г

56.4.1. Рассмотрим общую игру двух лиц, в которой каждый игрок, оставшийся один, может обеспечить себе лишь сумму -1, в то время как оба вместе обеспечивают себе сумму 1. Легко ввести реализующие эту ситуацию правила игры х). В частности, этого можно добиться с помощью следующего простого комбинаторного устройства 2).

Каждый игрок выбирает одно из чисел 1, 2. При этом, делая свой выбор, игрок не знает о выборе другого.

После этого расплата производится так: если оба игрока выбрали 1, то оба получают по 1/2, в остальных случаях каждый получает -1 3).

Легко проверить, что эта игра обладает нужными свойствами.

Рассмотрим теперь фиктивного игрока 3 и построим игру, с характеристической функцией v (S), S (1, 2, 3), как это описано в п. 56.2.2. В соответствии со сказанным выше,

v((l))-=v((2)) = -l, v((l,2)) = l.

г) Как будет видно из пп. 60.2, 61.2, 61.3, двусторонняя монополия соответствует именно этому случаю.

2) Эта конструкция напоминает конструкцию, использованную в определении простых мажоритарных игр трех лиц в п. 21.1.

3) В обозначениях п. 11.2.3: р4 = р2 = 2 и

Ж, (т„ та) = Жг (т., т2) =.Т 6СЛИ т> = т2 = 1,

\ - 1 в остальных случаях.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [ 167 ] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]