назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [ 166 ] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


166

замечании 1). Весьма отрадно, что это является распространением результата из п. 33.1.2 с п = 3 на произвольное п.

(i) Если, наоборот, сегрегируется более одного игрока 2), то (55:31) показывает, что не может быть никаких уступок. Им всем должен быть выдан абсолютный минимум - 1.

(j) Это утверждение нужно видоизменить следующим образом. Если содержит более одного элемента, то все а* из (55:29) все еще возможны; действительно, (55:L) вместе с (55:В) их допускает явно. Но тогда положение игроков из описывается в (с) и более не может называться сегрегацией. Эти игроки могут создавать коалиции и при этом улучшать свое положение.

Ясно, что эти замечания, и в частности (g), (h) и (i), требуют дальнейших комментариев. Однако мы. ограничимся здесь приведенными указаниями и вернемся к этому в другом месте.

55.12.6. Пяое. Мы нашли большое число решений, характеризуемых множеством параметров, причем некоторые из них были даже функциями, которые могли выбираться со значительной свободой. Основная классификация, однако, была довольно простой: она определялась множеством (1, . . п - 1) 3). Пары - исчерпывают, очевидно, все

разбиения множества / = (1, . . ., п) на два подмножества. Возможно, это является первым указанием на общий принцип. В простой игре разбиение на два дополнительных множества, по-видимому, решает все, так как одно из них обязательно выигрывающее, а другое обязательно проигрывающее. В общих играх соответственно могут иметь значение разбиения на большее число множеств. Как бы то ни было, роль в настоящем особом случае дает первое представление о том, каким может быть общий принцип классификации во всех играх.

Мы пока еще не можем придать этому предположению более точную форму.

*) Именно, тг - 2 - --- для главного игрока и --- для других. Назначенная

игроку величина должна быть меньше, чем соответствующий из этих выигрышей. ,

2) То есть число р элементов в будет 2. Так как р < п - 2 (см. (55:1/:а)), это может быть только при п - 2 2, т. е.. при п 4. В этом причина того, что свойства (i) и (j) при п - 3 не наблюдались.

3) Как и во втором замечании, мы используем = 0 для обозначения случая <(1), несмотря на рассуждения, предшествующие (55:0).



Глава XI

ОБЩИЕ ИГРЫ С НЕНУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 56. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ 56.1. Постановка задачи

56.1.1. Наше исследование достигло той стадии, на которой можно> отказаться от наложенного на игры ограничения «нулевой суммы». Мы уже* однажды ослабили эти условия, рассматривая игры с отличной от нуля, постоянной суммой. Но в действительности это не было существенным расширением игр с нулевой суммой, так как эти два класса игр связаны изоморфизмом стратегической эквивалентное™ (см. пп. 42.1 и 42.2). Теперь мы предполагаем пойти до конца и отказаться от каких бы то ни было ограничений, наложенных на сумму.

Отметим сначала, что рассмотрение игр только с нулевой суммой значительно ослабляет связь между играми и экономическими проблемами.

Замечание. Следовало бы отметить, что игры с нулевой суммой охватывают не только тип игр, разыгрываемых для развлечения (см. п. 5.2.1), но и многие из игр,,, имеющих определенную социальную природу. Читатель, который поднялся до понимания этого вопроса и помнит наши многочисленные интерпретации, полностью отдает себе отчет в справедливости этого утверждения.

Таким образом, различие между играми с нулевой суммой и с ненулевой суммой отражает, в некотором смысле, различие между чисто социальными и социально-экономическими вопросами. (Следующее предложение в тексте выражает эту же мысль.)

В частности, это ограничение придает особое значение задаче справедливого распределения в ущерб задаче о «производительности» (см. п. 4.2.1, особенно сноску 5 на стр. 59, а также п. 5.2.1). Это становится совсем очевидным в случае игры одного лица: поведение в этой ситуации - это только способ производства без каких-либо дележей (или распределений) между игроками. И действительно, игра одного лица не содержит/ никаких проблем в варианте с нулевой суммой, а в варианте с ненулевой суммой она является обыкновенной задачей максимизации.

Таким образом, следует ожидать, что осуществляемая нами программа распространения теории на случай всех игр с ненулевой суммой приведет нас в более тесный контакт со сходными вопросами экономического характера. В последующем обсуждении читатель скоро заметит изменение в общем направлении иллюстративных примеров и интерпретаций: мы будем иметь дело с вопросами двусторонней монополии, олигополии, рынков и т. д.

56.1.2. То, что мы будем рассматривать не только игры с нулевой суммой, означает, как это было указано в п. 42.1, что на функции fflh (Ti, . . ., тп), которые характеризуют игры в смысле п. 11.2.3, теперь не наложено никаких ограничений. Это значит, что требование

(56:1) 2 &кЫ, ...,т„) = 0

fe-1

из пп. 11.4 и 25.1.3 опускается и ничем не заменяется. Мы будем предполагать это и далее.



Это изменение требует полного пересмотра нашей теории со всеми соответствующими понятиями, на которые она опиралась. Характеристические функции, доминирование, решение - все эти понятия уже перестали быть определенными, поскольку (56:1) отменено. Подчеркиваем тот факт, что возникающая здесь проблема является концептуальной, а не просто технической, какими были все проблемы, с которыми мы имели дело в главах VI-X и которые лежали в основе теории игр с нулевой суммой

56.1.3. Перспектива начать все сначала была бы слишком обескураживающей: мы уже затратили значительные усилия на эти понятия и на теорию, основанную на них. Кроме того, мы встречаемся с некоторой концептуальной проблемой, и нам кажется, что качественные принципы, на которые опиралась наша теория, годны лишь для случая игр с нулевой суммой. Поэтому окончательное обобщение - переход от случая нулевой суммы к случаю ненулевой суммы, - казалось бы, должно свести на нет все наши прежние усилия. Поэтому мы должны найти способ обойти эти затруднения.

Здесь можно вспомнить подобную ситуацию, возникшую в п. 42.2. Там наш переход от случая нулевой суммы к случаю постоянной суммы, хотя и в несколько более узком смысле, имел подобные же последствия. Они были устранены использованием изоморфизма стратегической эквивалентности, как это было сделано в пп. 42.3 и 42.4.

Однако плодотворность этого приема исчерпывалась лишь упомянутым случаем: стратегическая эквивалентность расширяет семейство всех игр с нулевой суммой в точности до семейства всех игр с постоянной суммой, но не более. (Это становится ясным из рассмотрения пп. 42.2.2, 42.2.3 или 42.3.1.)

Таким образом, мы должны найти другой способ связать теорию игр с ненулевой суммой с уже созданной теорией игр с нулевой суммой.

56.2. Фиктивный игрок. Расширение до игры с нулевой суммой Г

56.2.1. Прежде чем идти дальше, мы уточним терминологию. Будем рассматривать игры, для которых, как это установлено в п. 56.1.2, условие (56:1) опущено и ничем не заменено. Мы говорим о них, как об играх с ненулевой суммой, но важно ясно представлять, что это выражение понимается в нейтральном смысле, т. е. что мы не хотим исключить те игры, для которых окажется, что (56:1) выполнено. Следовательно, предпочтительнее использовать менее негативное название для таких игр. Итак, мы будем называть игры без ограничений на е/Г& (ть . . ., тя} общими- играми 2).

Мы только что высказали пожелание как-то связать теорию общих игр с теорией игр с нулевой суммой. В действительности можно будет добиться и большего: любую данную общую игру можно будет интерпретировать как некоторую игру с нулевой суммой.

Это может показаться парадоксальным, так как общие игры образуют более широкое семейство, чем игры с нулевой суммой. Однако мы будем интерпретировать общую игру п лиц как некоторую игру п + 1 лиц с нулевой суммой. Таким образом, ограничение, возникшее при переходе

г) Среди этих технических проблем была одна, которую мы предпочли исследовать с помощью метода, содержащего некоторое концептуальное обобщение. Это - случай игр с постоянной суммой, на который мы будем ссылаться далее в тексте. 2 ) Это согласуется с п. 12.1.2.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [ 166 ] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]