назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


165

ние имеет также привлекательное свойство полной симметрии игры, т. е. инвариантности при всех перестановках игроков 1, . . ., п - 1.

Таким образом, в некоторых отношениях это решение нашей игры является наиболее простым. Эвристические рассмотрения ее для частных случаев п = 3, 4 (соответственно в § 22 и п. 35.1) приводят к этому решению, и их легко распространить на произвольное п.

Замечание. Рассуждение (эвристическое) проходило бы следующим образом. Главный игрок, чтобы выиграть, нуждается в союзнике, и вместе с любым таким союзником он получает п - 2. Поэтому, если он желает получить выигрыш со (это соответствует со в нашем точном выводе), он может уступить каждому союзнику п - - 2 - со. Если его п - 1 потенциальных союзников могут получить вместе больше этого, т. е. если

(л-1) (п-2- со)<1,

то он не имеет шансов найти союзника,-и это единственный предел для его требований.

Итак, для со имеется только ограничение (п- 1) (п - 2 - со) 1, т. е.

со п - 2--т . Значит; со = тг - 2--7 .

п - 1 п- 1

Таким образом, главный игрок получает п - 2 - --- , если ему удается образовать коалицию, и, конечно, -1, если не удается. Для остальных игроков соответст-

вующие выигрыши равны --- и -1.

Читатель может теперь проверить, что это как раз будет решение, получающееся в (55:V), т. е. случай (1Г).

Однако требуется весь аппарат нашей формальной теории, чтобы найти другие решения.

Читателю теперь достаточно ясно, что эти остальные решения никоим образом нельзя игнорировать. Кроме того, существование и единственность конечного решения является счастливым обстоятельством в данной игре, но ни в какой мере не общим *).

55.12.3. Второе. Указанное выше решение соответствует наибольшему возможному S#: (1, . . ., п - 1). Другая крайняя возможность - это решение, которое мы ассоциируем с S% = 0 (см. предшествующее (55:0)). Оно является решением в случае (I), описанным в (55:G). Подобно тому решению, о котором говорилось в предыдущем замечании, оно сохраняет свойство полной симметрии игры. В действительности только эти два случая, именно случаи (I) и (1Г), имеют такую симметрию 2).

С другой стороны, это решение бесконечно. Как мы видели в п. 55.3, оно выражает тот организационный принцип, что главный игрок сегрегируется в игре в смысле п. 33.1. Рассмотрение (55:G) обнаруживает, что эта норма поведения, т. е. решение, не выдвигает абсолютно никакого правила разделения между остальными игроками. Это значит, что все дележи, где главный игрок получает предписанный выигрыш, принадлежат этому решению. С точки зрения здравого смысла это вполне разумно. Так как главный игрок исключается, остальное игроки могут только единодушно объединяться между собой. Какие-либо количественные рас-

г) Что касается неопределенности относительно существования, см. конец второго замечания в п. 53.2.2. Случай, где нет единственности, анализируется в п. 38.3.1.

2) Любое другое решение относится к случаю (IV), так что для него S% Ф 0, (1, . . ., п - 1). Следовательно, надлежащая перестановка игроков 1, . . ., п - 1 переведет элемент из в элемент вне , изменив тем самым множество S*, а вместе с ним и рассматриваемое решение.



четы в их отношениях (т. е. в смысле возможности примкнуть к главному игроку) запрещены. Поэтому нет никакой речи о том, каков будет исход их переговоров между собой.

55.12.4. Третье. Остающиеся решения - это решения в случае (IV), описанные в (55:1/) (см. (55:N)), т. е. решения с Ф 0, (1, . . n - i). Они образуют более сложную совокупность, чем два предшествующих решения. Фактически на них пошла значительная, и наиболее сложная, часть наших математических выводов. Их интерпретация также более трудна и сложна. Отметим только основные моменты.

Мы подробно описывали в (55:1/), по каким мотивам игроки из (1,. . . . . ., п - 1) - связаны с главным игроком во всех дележах какой-либо нормы поведения (т. е. решения) из этой категории; т. е. мы указывали, как соответствующие выигрыши, которые они получают, однозначно определяются выигрышем, предназначенным главному игроку. Данная связь выражалась определенными функциями х). Эти функции могли быть выбраны различными способами, описывая, таким образом, различные нормы поведения (т. е. решения), но определенная норма означала определенный выбор этих функций. В результате некоррелированность игроков 1, . . ., п - 1, имевшая столь важное значение во втором замечании, теперь исчезает. Имеются, очевидно, некоторого рода неопределенные торги, происходящие между главным игроком и игроками из (1, ... . . ., п - 1) - £*2), но отношение последних между собой полностью определяется нормой.

Стоит подчеркнуть еще раз эту разницу между ситуацией, описанной во втором замечании, и ситуацией, имеющейся здесь, т. е. между случаями (I) и (П"). В первом случае имелись переговоры между всеми игроками, кроме главного, абсолютно без каких-либо правил или корреляций, наложенных на эти переговоры 3), так что такая норма поведения не должна была ничего предусматривать в этом отношении. Теперь имеются переговоры между главным игроком и какими-то из остальных, но на этот раз такая норма должна обеспечивать определенные корреляции и правила для противников главного игрока. Соответственно имеется множество возможных норм.

Рассмотренные выше качественные типы неопределенностей, возникающие в случаях (I) и (II"), являются более общей формой той неопределенности, которую мы исследовали в пп. 47.8 и 47.9. Замечания, сделанные там о двумерной (область) и одномерной (кривая) частях тех решений, в действительности применимы соответственно и к настоящим случаям (I) и (Н").

Хотя и можно с некоторым правдоподобием мотивировать это различие словесной аргументацией, вся она далека от убедительности. Только проведенный математический вывод дает реальное обоснование, и его сравнительная сложность показывает, как трудно перевести его на обычный язык. Здесь мы имеем другой пример результата, который может быть выражен словесно, но едва ли может быть таким способом доказан.

55.12.5. Четвертое. Положение остальных игроков, т. е. игроков из также имеет интересные аспекты.

Рассмотрение (55:1/) показывает, что в каждом дележе нашего решения либо все эти игроки получают выигрыш а*, либо один из них

*) «г где i £ (1, . . ., п - 1) -

2) Это соответствует переменному у в (55:L:e). См. также (55:Р:Ь).

3) Кроме суммы, предназначенной главному игроку, который сегрегируется.



получает а*, а остальные получают выигрыши -1. Отсюда непосредственно выводится следующее:

(a) Если S# есть одноэлементное множество, то игрок из получает всегда один и тот же выигрыш а*.

(b) .Если а* = -1, то каждый игрок из всегда получает один и тот же выигрыш -1.

(c) Если не имеют места ни (а), ни (Ь), т. е. если условие из (55:U) (упоминаемое также в (55: D)) выполняется, то каждый игрок из всегда получает один из двух различных выигрышей а* и -1, и ни один из них не может быть опущен х).

Отсюда можно вывести следующие интерпретирующие заключения:

(d) В двух случаях, (а) и (Ь), но не в случае (с), игроки из S# сегрегируются в смысле п. 33.1.

(e) Случай (а), где является одноэлементным множеством, именно S% = (i) (i = 1, . . ., п - 1), выражает сегрегацию одного игрока i. Значение а*, которое тогда назначается ему, ограничено на основании (55:В):

(55:29) i

Это является удовлетворительным дополнением к сегрегации главного игрока (случай (I)), описанной во втором замечании 2). Величина со, которая тогда назначалась главному игроку, была ограничена на основании (55: G):

(55:30) -1ш<га-2- .

(f) Если множество не является одноэлементным, то из случаев (а) и (Ь) остается только (Ь): а* = -1.

Скажем то же другими словами: Если должно быть сегрегировано более одного игрока, то их совокупность не должна содержать главного игрока, а также всех остальных игроков; и сегрегированным игрокам всем должна назначаться величина

(55:31) аф=-1.

(g) Из (е) и (f) мы заключаем, что множества игроков, которые могут быть сегрегированы, являются как раз множествами из L 3),. т. е. проигрывающими множествами.

(h) Если сегрегируется только один игрок, то (е) показывает,, что он не обязательно будет дискриминироваться абсолютно невыгодным образом. Это значит, что ему может назначаться большая, чем -1, сумма. Неравенства (55:29) и (55:30) также указывают верхнюю границу для этой назначенной величины. Очевидно, именно такой выигрыш этот сегрегированный игрок получил бы в конечном решении в случае (I), рассматривавшемся в первом

*) То есть оба встречаются в соответствующих дележах решения.

2) Это разрешает трудность, указанную в замечании на стр. 483-484.

3) Это лучше всего проверить, вспомнив перечисление элементов из If и также из L, в случае Cn i из п. 52.3.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]