всех / = 1, . . п - 1. Это исключает как (55:1), так и (55:2), и получается противоречие.
-> -> -> -у. -> ->ь
аир относятся к (Ь). Здесь а = аг и р = а (причем i, к £ £*),
так что аг е- afe. Тогда ап = а = со, что противоречит (55:В).
Рассматриваем (30:5:Ь). Предположим, что р не доминируется эле-
ментами из V. Мы хотим показать, что тогда Р принадлежит V, что и докажет (30:5:Ь).
Предположим сначала, что рл 2=: со. Если рг < аг- = а* для всех
-> ->
г = 1, п - 1, то а (-1) е- р, а это противоречит нашему пред-
положению. Следовательно, для некоторого i = 1, . . ., п ~ 1 должно быть Pj а. Тогда, так же как и при доказательстве (55:R), обязательно i 6 и имеет место равенство Р = a\ Поэтому р принадлежит V в этом случае.
Предположим теперь, что р„ < со. Если pf < а = а* для некото-
рого г g то, очевидно, аг е- р, что противоречит нашему предположению. Поэтому для всех i g имеет место р at = a*.
n n-1
Тогда 2 Pj = 0 дает нам $п =- 2 Pf л - Р~ 1- £а* = со*,
г=1 г=1
т. е. --1 Рд со*. Положим у = §п.
Допустим, что Pj at (у) для всех i £ (1, . . ., п - 1) - 5*. Тогда, очевидно, Pj aj (г/) и для всех i == 1, . . ., тг.в (Для г 6 и i = п
мы имеем даже знак =, о чем говорилось выше.) Следовательно, из 2 Рг -
= 2 ai Ы - 0 мы получаем, что во всех этих отношениях будет иметь
место знак =. Таким образом, р == а (у). Значит, Р принадлежит V также и в этом подслучае.
Остается возможность pf < а* (у) для соответствующего г 6 (1» • • • . . ., п - 1) - S. Достаточно малое увеличение у (от у = $п до некоторого у > рд) не нарушит этого отношения Р* < аг (г/) х). Для этого
нового у мы имеем г/ > рд, а (г/) > рг-, и поэтому а (г/) е- р, что противоречит нашему предположению.
Итак, все возможности рассмотрены.
55.11. Другая формулировка полного результата
55.11.1. Те три случая (I), (П)> (IF), на которые мы подразделили нашу задачу, были полностью описаны соответственно в утверждениях (55: G), (55:W), (55:М). Посмотрим теперь, в какой степени эти три класса решений связаны между собой.
Среди неопределенных параметров, содержащихся в утверждении (55:1/), т. е. в (55:М), описывающем случай (П"), имеется множество Согласно (55:1/:а), оно может быть произвольным множеством s(l, • . • . . ., п - 1), за исключением (1, . . ., п - 1) и0. Встает вопрос, нельзя ли найти какую-то интерпретацию также для этих исключенных случаев S* = (1, . . ., п -1) и = 0.
*) Функция at (у) непрерывна! См. замечание 1 на стр. 500.
Для 5* = (1, . . ., п - 1) ответ прост. Если использовать это 5*
(не обращая здесь внимания на (55:1/:а)), то мы получаем (используя
все остальные пункты из (55:1/)): р = п - 1 по (55:L:a), ai=.. .= ап =
1 - ~~ 1 "~"
= а* = -j по (55:L:b) и (55:L:c), а со = п - 2 - - , со* = -1
по (55:L:d). Нет надобности вводить функции аг (у) из (55:L:e), так как множество (1, . . ., п - 1) - пусто. Относительно интервала - 1 fg g у g со* (в (а) из (55:1/:е)) следует заметить, что он стягивается в точку у = - 1 (так как со* = - 1). Тогда сравнение с (55:V) показывает, что при этих условиях (55:1/) совпадает с (55:V). Таким образом, мы имеем:
(55:N) Если допустить в (55:1/:а) также 5# = (1, . . ., п - 1} (следовательно, р = п - 1), то (55:1/) будет перечислять все решения в случаях (1Г) и (II"); случай (1Г) будет соответствовать = (1, . . ., п - 1), а случай (II") будет соответствовать ( 1, . . ., п - 1).
55.11.2. После получения этого результата может появиться желание сопоставить оставшееся исключение = 0 с оставшимся случаем (I). Однако рассмотрение (55:1/) с = 0 и сравнение с (55:G) показывают, что это невозможно, по крайней мере столь непосредственным образом.
Действительно, используя (55:1/) с = 0 (следовательно, с р = 0), мы получаем пустое (Ь), так что V совпадает с (а), и V оказывается множеством всех
аЫ={«1(у), • • •> У),
- 1 :fg у :g со*, с соответствующими функциями а4 (у), . . ., ап (у). Игнорируя остальные возможные несоответствия мы замечаем, что
в этом распределении компонента ап вектора а из V определяет его компоненты с&1, . . ., сСгс-ь в то же время в (55: G) компонента ап постоянна, а
OCi, . . . , ОСп 1
произвольны 2)!
Подведем итоги.
(55:0) Все решения V перечисляются в (55:G) - случай (I) - и в (55:N) - случаи (II) и (II"). (55:N) совпадает с (55:1/) при расширении (55:1/:а) с включением всех (1, . . ., п - 1} и ф 0. Исключение случая = 0 необходимо; эта возможность привела бы к V, не являющемуся решением из (55:G), а на самом деле не являющемуся решением вообще.
*) Вследствие того, что р = 0, (55:23) дает теперь со - со* = - (а# + 1); следовательно, должно быть со* >• со, так что max = max у = со*, хотя он должен
a£V -ISygco* .
быть равен со !
Для S* Ф0 (55:L:b), (55:L:c) давали min aa*; для* они дают
i= 1, . . ., п-1
min OLi>a%, хотя это выражение было определением а*!
2=1, . . . , 71- 1 ~
2) V из (55:1/) при = 0 не является, таким образом, множеством из нашего списка решений; следовательно, оно вообще не является решением. Это было бы легко проверить и непосредственно.
55.11.3. Закончим следующими замечаниями. (55:Р)
(55:Р:а) В случае (1Г), т. е. при = (1, . . ., п - 1), р = п - 1г
мы имеем со* = - 1, т. е. интервал - 1 5g у 5g со* из (55:L:e)
стягивается в точку. Кроме того, а* = п лк •
(55:Р:Ь) В случае (IIя), т. е. при с= (1, . . тг - 1), р < тг - 1,
мы имеем со* > - 1, т. е. интервал - 1 г/ rg со* из (55:L:e)
не стягивается в точку. Кроме того, < д -1 •
Доказательство. (55:Р:а). Мы уже доказали эти утверждения непосредственно перед (55:N).
(55:P:b). Мы видели при доказательстве (55:В), что <С п р ;
следовательно, со* -f- 1 = тг - р - ра% > 0, со* > - 1. Наконец,
а*<--j- было установлено в (55:В).
55.12. Интерпретация полученного результата
55.12.1. Теперь мы можем приступить к интерпретации этого результата. По двум причинам едва ли возможно сделать это исчерпывающим образом. Во-первых, окончательный результат, содержащийся в (55:0), т. е. в (55:G), (55:К), (55:1/), довольно сложен; поэтому точное утверждение должно обязательно быть математическим, а не словесным. В любой словесной формулировке пропала бы адекватность некоторых из многочисленных оттенков, выраженных в математическом результате. Во-вторых, нам еще не хватает опыта и перспективы, необходимых для действительно исчерпывающей интерпретации ситуаций, подобных той, которая сложилась. Рассматриваемая здесь игра является характерной игрой п лиц во многих важных отношениях, как устанавливается в пп. 54.1.2 и 54.3. Однако наш успех в нахождении всех ее решений оказывается все же изолированным явлением (несмотря на п. 54.2.1). Потребуется гораздо больше рассуждений, подобных приведенным здесь, прежде чем браться за действительно исчерпывающую интерпретацию типичных игр п лиц.
Тем не менее полезно предпринять некоторую попытку интерпретации, без какой-либо претензии на полноту. На нескольких приведенных выше примерах мы видели, что такая интерпретация оказывается ценным руководством для дальнейшего прогресса в нашей теории. Кроме того, она проливает определенный свет на важность нашего довольно сложного математического результата.
Так как мы не стремимся к полноте, эту интерпретацию удобно провести в форме нескольких замечаний.
55.12.2. Первое. Решение в случае (I), описанное в (55:G), является бесконечным множеством дележей. То же справедливо и для решений в случае (И"), описанных в (55:1/) (см. (55:N)), так как упомянутая там переменная у изменяется во всем интервале, не стягивающемся в точку. (См. (55:Р:Ь).) С другой стороны, как уже отмечалось в конце п. 55.7 *), решение в случае (1Г) является конечным множеством дележей. Это реше-
г) Читатель может применить для той же цели (55:Р:а), (55:Р:Ь).