Замечание 1. Из этих соотношений следует непрерывность всех функций ai (у) для п-1) - Фактически можно даже доказать несколько боль-
ше, а именно, так называемое условие Липшица:
(55:28) (Xi (y2)-at (Ui) i = i У2-У11-
Доказательство. Это условие симметрично относительно у4, у2, поэтому можно считать, что уху2. Тогда применение (55:К:е) к у - yi и = z/2 и последующее вычитание дают нам
2 iai (yi) - <*i (Уг)} = Уг - У\-
i£(l, n-l)-S*
По (55:K:b) все слагаемые сзс - o&j (г/2) оказываются 0; следовательно, они также чем их сумма у2- у±. Значит,
0 Ш cct (yi) - ai (у2) У2 - У1-
Из этих неравенств также ясно, что средняя часть равна aj (у2)- o&i(*/i), а правая часть равна \у2-у\. Следовательно,
1 а* Ш - ai (Vi) i i Уг - Vi l>
что и требовалось.
Читатель заметит, что мы не предполагали никакой непрерывности - мы ее доказали! Это очень интересно с чисто математической точки зрения.
Замечание 2. Отметим, что равенства (55:К:с) и (55:K:d) не противоречат (55:К:е). Действительно, для у=-1 равенство (55:К:е) дает нам
2 а*( -1)=-/>а* + 1,
...,n-l)-S#
следовательно, из (55:К:с) мы получаем
71 - 1
2 ai=- 2
i£(l, ...,n-l)-S$ t=l
в согласии с (55:N).
Для у - со* (55:К:е) дает
2 CLi (со*)= - /?а* - со*;
. ..,n-l)-S*
следовательно, из (55:K:d) мы получаем -(п - р-1) = -ра* - со*, со* = и- - р-1- 7?а#, в согласии с (55:23).
Доказательство. Утверждение (55:К:а) содержится в (55:J). (55:К:Ь). Предположим противное: пусть yt у2 и аг(у < аь(у2)
(для некоторого i 6 (1, . . ., п - 1) - Это исключает г/4 = г/2, так
->- -> ~>
что г/i < г/2. Тогда а(г/2) е- jc(?/i), что невозможно, так как а(г/4), a(z/2) принадлежат V.
->
(55:К:с). Это следует из того факта, что а0 принадлежит V; в действительности оно принадлежит V. (См. (55:К) и (55:М).)
->
(55:K:d). Это следует из того, что а* принадлежит V (см. (55:G)).
(55:К:е). а (у) есть дележ; следовательно, 2аг(#) = 0-
i=l-
По (55:J) это означает, что
2 ai (»)+pa. + » = 0,
i6d, ...,n-l)-S* /
т. е. 2 а»(У) = -Р - У, а это и требовалось.
55.10. Описание случая (II")
55.10.1. Результаты, полученные в пп. 55.8-55.9, содержат полное описание решения V. В самом деле, как мы видели в начале п. 55.8.2, V= V U V, причем слагаемое V может быть опущено (так как оно V) тогда и только тогда, когда выполняется условие из (55:U). V описано в (55:S); V описано в (55: J). Эти характеризации содержат параметры:
подчиненные ограничениям, установленным в (55:N); (55:13), (55:15) из п. 55.5.1; (55:R); (55:23), (55:24) из п. 55.9.2; (55:К).
Так как все это рассеяно по семи пунктам, удобно поместить все результаты в одном месте.
(55:1/)
(55:L:a) *S#cz(l, . . ., тг -1) и непусто. Если р - число элементов в S„ то ipn - 2.
(55:1/:с) Для всех i £ должно быть = а*; для всех г £ (1, . . .
. . ., П - 1) - 5# ДОЛЖНО быТЬ 0tj >> (X*.
(55:L:d) Положим со = тг - 2 - а, ы* = п - р - 1 - ра#, так что
ю - со* = (р - 1) К + 1). (55:1/:е) а* (у) определено для г 6 (1, . . ., п - 1) -
а*(г = 1, ...,тг -1), а*, S„ со, со*, at (у) (i из (1, . ..,тг - 1) - S„ - 1г/а>*)
(55:L:b)
- 1 У со*.
Эти функции удовлетворяют условиям (55:К:а) - (55:К:е). V состоит из следующих элементов:
(а) а (у), где у изменяется в интервале - 1 :g у rg со* и
<* (») = {<*!(»)> • • •> <М»)Ь
причем
Г а*=-а*, если *б£*,
, ч у, еСЛИ 1 = 72,
а% (у) определяется согласно (55:1/:е), если г£(1, . . ., п-1)- S.
(b) аг, где i пробегает элементы из и аг = {а*, . .., an i, ап}, причем
Заметим, что если р=1 -одноэлементное множество) илиа* = -1, - ->. ->
то со = со* и аг из (Ь) совпадают с а (у) из (а) для г/ = со*. Если это не так,
-у ->
т. е. если 2 и а# > - 1, то со > со* и а* из (Ь) отличны от а (у) из (а).
Читатель может проверить без большого труда, что все эти утверждения есть не что иное, как переформулированные результаты, упомянутые выше.
55.10.2. За (55:1/) должны следовать такие же рассмотрения, как и за (55:V). Мы должны исследовать, все ли V, полученные из- (55:1/), являются решениями, и притом то, что мы имеем дело именно со случаем (II"). Те из них, которые удовлетворяют обоим этим требованиям, образуют полную систему всех решений в случае (И"), Мы докажем, что все V из (55:1/) этим требованиям удовлетворяют.
(55:М) V из (55:1/) описывают в точности все решения в случае {II").
Доказательство. Нужно только показать, что каждое V из (55:1/) является решением в случае (II"); то, что эти V суть в точности все такие решения, будет следовать тогда из (55:1/).
То, что мы имеем дело со случаем (И"), устанавливается легко. Для этого V, очевидно, со = - 1, и со, а1? . . ., an t, (в смысле их определений в пп. 55.2 - 55.5) являются как раз величинами, обозначенными этими же символами в (55:/)х); следовательно,
£*<=(!, ...,т*-1)
по (55:L:a).
Остается доказать, что V является решением. В данном случае для этого нужно доказать, что V удовлетворяет условиям (30:5:а), (30:5:Ь) из п. 30.1.1.
Рассматриваем (30:5:а). Предположим, что для а, 3 V имеет место -у ->
а е- р.. Мы должны различать, к какому из случаев (а), (Ь) из (55:1/)
-> ->
относятся аир. Всего имеется четыре возможных комбинации. -> -> ->->->->
аир относятся оба к (а). Это значит, что а = а(ух) и р = а(г/2),
так что a (yt) е- а (у2). Тогда (55:1) исключается для i £ а (55:2) исключается, так как аух) = с(г/2) = аг = a* Для & € £*• Итак, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i £ 6 (1, . . ., п - 1) - По (55:1/:е) это означает ап(ух) > ап(у2), yt > уг, и a,i(yt) > a*(#2) для некоторого i £ (1, . . ., п - 1) - S„ что противоречит (55:К:Ь).
а относится к (а), а р - к (Ь). В этом случае a = а (у) и р = а1
-у -у .
(где i g S#), так что а(у) е- аг. Тогда (55:1) исключается, так как ап (у) = = У oj* со = а, а (55:2) исключается, так как аг (у) = а\ = at = = a*. В итоге мы получаем противоречие.
-у -у -у -у.
а относится к (Ь), а р - к (а). Это значит, что a = al (где i £ SJ,
-У -у -у. -у
Р = а (у), так что а1 е- а (у). Тогда ai = at (у) = at - а*, и для / Ф i, ]фп должно быть а\ = - 1 at (у), т. е. должно быть а\ а7- (у) для
г) w получается из (b), а4, . . ., ал 4 - из (а) с у - -1, а затем a*, из (55:L:c).