назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [ 162 ] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


162

если £6(1. ..., п - 1) -

Тогда ап = - 2 at = - (и - 1- р)=п - р - 1- /хх. По (55:23) это

означает аЛ = (1)*.

Это доказывает все наши утверждения.

(55:G) а* принадлежит V.

-у 1 -у

Доказательство, а* принадлежит А, для любого а£А (55:Е), (55:F) дают

anat ( = ©*).

-у -у ->

Значит, (55:Z) исключает а е- а*; поэтому из (55:Y) следует, что а* принадлежит V.

55.9.3. После этих приготовлений переходим к решающей части рассуждений.

-У -У -У -У

(55:Н) Если а, р принадлежат V, то из аЛ = рп следует а = р.

Доказательство. Рассмотрим два дележа а и р из V, для которых ап = рд.

Положим yt = min (а*, pi) (£ = 1, . . ., п - 1, п), и допустим сна-

чала, что 2 < О, т. е. что 2 Vi = ~ 8> 8 > О-

г=1 г=1

Положим, далее, б = {б1? . . ., 6-1» где f 7ь если £££*, [ Yi + -Z7 если . . .,/г -1, тг) -

Это б является, очевидно, дележом, и так как для £ £ * должно быть

8t = 7г = «г = Рг = «г = б принадлежит Мы имеем 8п > уп =

*) Сравнение этого определения с (55:D) показывает, что это а* является некоторым а1 при i £ S*, т. е. оно принадлежит V, тогда и только тогда, когда условие из (55:U) выполняется.

Так как а* принадлежит Jt, это согласуется с заключением из (55:U). 32 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

(55:F) Этот максимум достигается ровйо Для одного а£А: для которого

{аь = а*, если £££*, со*, если i = n, - 1 в остальных случаях г).

Доказательство утверждений (55:Е) и (55:F). Из определения А ясно, что для а£А переменная компонента ап принимает свое максимальное значение, когда остальные переменные компоненты, т. е. аг при £ £ (1, . . ., п - 1) - $, достигают своих минимумов. Эти минимумы равны -1. Поэтому для указанного максимума будет

ai = a*, если i(iS%,



= ап = рп, и для i £ (1, . . ., п - 1) - будет бг- > уг = at или $ir

-у -у -у -у ->

откуда б е- а или б е- р. Так как а, р принадлежат V\ б не может принадлежать V. Значит, существует г] £ V7, для которого т) е- б.

Тогда по (55:Z) для некоторого i £ (1, • - тг - 1) -£* должно быть х\п > бя и r\i > 6f. Следовательно, г]Л > бЛ > уЛ = ап = рл, а так-

-у -у -у -у

же r]j > 8t > = аг или pf. Таким образом, г] е- а или г) е- р. Так как все дележи а, р и г) принадлежат V, мы получаем противоречие.

Следовательно, невозможно, так что

(55:25) S V«=t0.

Тогда 7гь YiPi и 2аг= S Pi = 0. Поэтому (55:25) дает знак =

i=l г=1

для всех этих отношений -< , т. е. уг = at = рг. Это доказывает, что а = р, что и требовалось.

(55:Г) Значения величин для всех а £ V заполняют в точности интервал - 1 rg g со*.

Доказательство. Для а £ V, очевидно, ал - 1, а g fg со* следует из (55:Е). Следовательно, остается только исключить возможность существования такого yt из

-12/ico*,

что ап Ф yt для всех а £ V. Допустим, что такое г/! найдется.

Конечно, существуют элементы а £ V, для которых г/4; действительно, а* принадлежит V по (55:G)> и а£- со*. Образуем

min аг/з1),

и выберем а+ из V с у и для которого этот минимум достигается:

= г/2- По (55:Н) это а+ единственное. Таким образом, z/2 = i и> так как a* У и мы имеем г/2 Уь т- е*

(55:26) 2/i < г/2.

Из определения у2 следует, что

(55:27) I/i g an < г/2 невозможно ни для какого a£V.

х) В этом случае не обязательно образовывать точный минимум, но вывод тогда получается несколько длиннее, чем приведенный здесь. То, что этот минимум можно образовать, т. е. что он существует и достигается, можно проверить тем же способом, что и в замечании на стр. 397-398. См., в частности, приведенное там утверждение (*). То,» что установлено там для V, справедливо также и для аналогичного множе-

ства V из и для пересечения V с замкнутым множеством, состоящим из а с осп ух.

Из-за этой потребности в замкнутости приходится использовать условие yir а не >> у±, хотя в действительности нам нужно последнее. Однако, как мы увидим, при рассматриваемых условиях оба они равносильны. (См. далее (55:26).)



и а (у) = {а4 (у), ..., ап ! (у), ап (у)} с

ai = a, если 1£8*>

у, если £ = га,

соответствующей функции от у (и £), если 16(1, ...,,га-1)-

55.9.5. Докажем в заключение следующее.

(55:К) Функции at (у) из (55:Г), где £6(1, . 1) - £*, удовле-

творяют следующим условиям:

(55:К:а) Область определения at (у) есть интервал

- 1 2/ =5со*-(55:К:Ь) Из у1=;у2 следует ai(yi)ai(y2)1). (55:К:с) а, ( -1)=а«.

(55:K:d) а* (со*) - -1.

(55:К:е) Ц аг (у) == - ра„ - у.

*€(i, ...,n-i)-S«

1) То есть a j ( - монотонно убывающая функция от г/.

Положим #1 = г/2 -е, 8>0 и составим дележ P = {Pi, ..., pn-i, P*}, где рл = ai - е = у2 - е = yi, pf = af = at = a* для £ 6 и pf =

= aj"+ ц -1 Для i € (l • • •» и - 1) - Очевидно, p принадле-

->•

жит и из рл = i/i следует, что р не принадлежит V. Следовательно,

-»• -> ->

существует такое у 6 V, для которого у е- р.

По (55:Z) это означает, что уп > fin и yt > pf для некоторого £ 6 6(1, . . /г - 1) -

Тогда из 7 > pn - yi по (55:27) следует уп i/2. Если бы было -> ->

7n = i/2, то было бы и 7 = а+ (по (55:Н), см. выше). Тогда для упомянутого выше £ 6 (1, • • •, п - 1) - было бы yt = af < рь и мы не получили бы нужного неравенства yt > Р. Следовательно, уп > i/2.

Таким образом, 7„ > z/2 = a£ и yt > Pj > at для приведенного выше

-> -> -> ->

£ 6 (1, . . ., га - 1) - 5*. Значит, 7 е- а+, и так как дележи 7 и а+ принадлежат V, мы получаем противоречие.

55.9.4. Из (55:Г) и (55:Н) получаем: для каждого у из - 1 у

со* существует единственное a 6 V, для которого ап = г/. Обозначим ->•

это а через

a (l/) = (ai (I/)» • • •» a*-i (У)* an (У)}. Очевидно, ап (у) =у и а г (1/) = a = а* для г 6 Так мы приходим к функциям at (у) для £ 6 (1, . . ., га - 1) - S#.

Объединение этого с (55:Г) дает нам следующее.

(55: J) V состоит из элементов а (г/), где у пробегает интервал

- 1 у <; со*

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [ 162 ] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]