назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [ 161 ] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


161

Значит, (3 не доминируется элементами из V тогда и только тогда, когда справедливо следующее: р ~rf выполняется для некоторого 1 = 1, тг - 1, и это имеет место даже для всех этих i в случае

Таким образом, из рд < тг - 2 - -у следует р1? . . ., р--р

Кроме того, рп=: - 1. Поэтому 2 Pi = О дает знак = для всех этих

отношений т. е. Р = а0. С другой стороны, из р„ тг - 2---

/г - 1

следует Р* g=r для какого-то значения г (= 1, . . ., тг - 1) и PJ=r - 1

для остальных тг - 2 значений /. Поэтому 2 Pj = 0 снова дает знак = для

всех этих отношений г, т. е. Р = а .

Мы видим, что дележи р, не доминируемые элементами из V, оказы-

-у ~У ->

ваются равными а0 и а1, . . ., а71"1, т. е. оказываются как раз элементами и* V, что и требовалось.

55.7.3. Это решение важно, так как оно является конечным множеством, - как мы увидим, это единственное решение с таким свойством. Если образуется общая коалиция против главного игрока, то тг - 1 чле-

нов участвуют в ней на равных условиях, как описывает а0. Если глав-

ный игрок находит союзника, то он дает ему тот же выигрыш, что и а0,

-V -У

и удерживает остаток, как указывают а1, . . ., а71"1. Все это совершенно разумно и не содержит в себе дискриминации *). Тем не менее это решение не является единственно возможным: в п. 55.3 мы нашли и другое решение (см. (55:G)), еще больше появится их в последующих пунктах.

55.8. Случай (1Г). и V. Доминирование

55.8.1. Рассмотрим теперь случай Ф (1, . . ., п - 1), называемый случаем (IIя).

Пользуясь (55: Q), [можно описать его также следующим образом:

(55:Х) с= (1, ..., тг- 1), непусто.

Можно также сказать: случаи (1Г) и (IV) характеризуются соответственно отсутствием или наличием дискриминации внутри возможной общей коалиции против главного игрока.

Хотя мы приступаем к обсуждению случая (IV), сделаем следующее замечание.

Содержание пп. 55.4-55.7 было математическим, но получавшиеся промежуточные результаты допускали простую словесную формулировку. Другими словами, можно было сравнительно часто делать вставки в математические выводы, давая словесные иллюстрации достигаемым последовательно ступеням. Эта ситуация теперь изменилась, поскольку нужны долгие математические рассуждения, чтобы привести нас к следующему пункту (в п. 55.12), где снова уместна словесная интерпретация.

2) Частные случаи п = 3, 4 этого решения известны: для п = 3 это - дискриминирующее решение существенной игры трех лиц; для п - 4 оно обсуждалось в п.35.1.



55,8.2. Перейдем теперь к этим рассуждениям.

Положим V = i П V (V есть часть V, содержащаяся в А).

По (55:Т) и (55:U) должно быть V = V U V* или V = V U V* U V =

= V, в соответствии с тем, не выполняется или выполняется условие

Доказательство. Заменим (30:5:с) на равносильные (30:5:а)г (30:5:Ь) в п. 30.1.1.

Проверяем (30:5:а). Из V V следует, что элементы из V не могут доминировать друг друга, так как этого не может быть даже в V.

Проверяем (30:5:Ь). Пусть р £ А не принадлежит V. Тогда нужно найти такое а £ V, что а е- р.

Прежде всего, Р не принадлежит даже V. Следовательно, в V суще-ствует а, для которого а е- р. Это а должно лежать в V, если только оно не в V (см. замечания перед (55:Y)), и это доказало бы наше утвержде-ние. Поэтому нам остается показать, что а не принадлежит V,

Допустим, что а принадлежит V, т. е. (по (55:S)) а = ак для к £

Тогда должно быть сг е- р. (55:1) невозможно при i Ф к, а (55:2)невозможно, так как afi = - 1 для i Ф к (i = 1, . . ., п - 1). Значит, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i = к; следовательно, а£ > pft, т. е. pft <[ = а. Однако это невозможно,

так как р принадлежит А.

55.8.3. Таким образом, наша задача теперь сводится к тому, чтобы найти все решения (т. е. все множества, удовлетворяющие (30:5:с) из п. 30.1.1) для А. Это требует установления характера доминирования в А. )

(55:Z) Для а, р £ А доминирование а е- р равносильно следующе-

му: аЛ>рЛ и at> pj для некоторого i из (1, . . ., п - 1) -

Доказательство. Для а е- р утверждение (55:1) невозможно» для i из a (55:2) невозможно ввиду ak = рА (= ah = а*) для всех к из S#.

Следовательно, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i £ (1, . . ., п - 1) - Но это означает ап > р и at > pz-, что и требовалось.

Мы заменили множество всех дележей на А, а описанное в (55:А) понятие доминирования - на аналогичное понятие, описанное в (55:Z). В остальном задача нахождения всех решений осталась той же самой. Прогресс состоит здесь в том, что с понятием доминирования из (55:Z)» как мы увидим в дальнейшем, работать легче, чем с соответствующим понятием из (55:А).

в (55:U). (55: Y)

Условие (30:5:с) выполняется для V в А»

55.9. Случай (IF). Нахождение V

(55:А)

55.9.1. Пусть р - число элементов в Тогда

V) i<pn - 2.



Доказательство вытекает непосредственно из (55:Х).

<55:В) -1а.<.

Доказательство. То, что - 1 < а*, очевидно. Далее, at = = а* для i g S#, и aj > а* для i g (1, . . ., п - 1) - 5*; согласно

71-1

(55:А), ни одно из этих множеств не пусто. Значит, 2 аг > - 1) а*»

и, следовательно, из (55:N) получаем 1 > (тг - 1) а*, т. е. а* < - , что и требовалось.

Произвольное а из Jk имеет р фиксированных компонент at (= at = = aj, где i £ и тг - j9 переменных компонент с, где i £ (1, . . ., тг) -

- Последние подчинены условиям:

(55:21) для г 6(1, ..., тг)

и 2а* = 0, т. е.

(55:22) 2 а.= ра#.

i6(i,...,n)-S*

Складывая нижние границы в (55:21), мы получим меньше, чем сумма, записанная в (55:22), т. е. - (тг - р) < - ра#. Действительно, это

означает, что a*<~~~-" 1- Но по (55:А) р<,п- 1, так что ~ -

- 1 > --т - 1 = , а (55:В) дает нам а* < -Ц-.

тг - 1 п - 1 v * /г - 1

Итак, мы видим, что

(55:С) Область Л является (тг - р - 1)-мерной.

55.9.2. Приступим теперь к более подробному анализу V и Jk1). Положим

(55:23) со* = тг - р- 1-ра.

По (55:R) можно написать

(55:24) ю* = ю--(р-1)(а, + 1).

(55: D) со* = со тогда и только тогда, когда является одноэлементным множеством (т. е. р = 1) или а* = - 1, т. е. тогда и только тогда, когда выполняется условие из (55:U); в остальных случаях со* < со.

Доказательство. Так как р 1 и а* - 1 по (55:А) и (55:В), это непосредственно следует из (55:24).

(55:Е) шахаЛ = со*.

г) Последующие леммы (55:D) - (55:Р) являются аналитическим эквивалентом графического вывода в пп. 47.5.2-47.5.4. Техническая основа здесь другая, однако аналогия между этими двумя доказательствами очень заметна; интересующийся читатель может проследить за этим шаг за шагом.

(55:С) показывает, что графическое рассуждение должно было бы производиться в (тг - р - 1)-мерном пространстве (по (55:А) это 1, <тг - 2). В этом причина того, что мы пользуемся аналитическим рассуждением. (Упомянутое выше графическое доказательство имело место на плоскости, т. е. оно требовало размерности 2.)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [ 161 ] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]