назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [ 160 ] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


160

•следовательно, (55:0) гарантирует, что а1 принадлежит V. А так как 4хп = со, аг принадлежит даже V. В результате мы получаем:

(55:20) Каждое аг при i £ является дележом и принадлежит V.

(55:19) и (55:20) вместе дают (55:S). Утверждение (55:R) было доказано выше. Это завершает доказательство.

55.5.3. Основными результатами проведенного анализа являются утверждения (55:R), (55:S) вместе с введением множества S. Здесь снова можно дать словесную формулировку х).

Наилучший возможный исход для главного игрока дает ему некоторую величину со. Чтобы этого достигнуть, ему нужен ровно один союзник, которого можно выбирать произвольно из некоторого множества S% игроков. Это множество состоит из тех игроков среди 1, . . ., п - 1, которым наименее везет в состоянии полной кооперации против главного игрока, о котором говорилось в конце п. 55.4.

Таким образом, распределения, которые образуют игроки 1, . . . . . ., п - 1 между собой, объединяясь для полного поражения главного игрока, определяют его поведение и в тех случаях, когда он достигает полного успеха. Это «взаимодействие» между коренным образом различными ситуациями заслуживает внимания 2). Интересно также, что естественными союзниками главного игрока, когда он стремится к полному успеху, являются наименее удачливые члены возможной полной оппозиции против него.

Замечание. Политические ситуации, иллюстрирующие этот принцип, хорошо известны, и в связи с ними часто утверждается его справедливость вообще. Однако трудно отрицать, что доводы, которые могут быть приведены чисто словесно в пользу этого принципа, не лучше тех, которые могли бы быть сделаны для ряда других конфликтных принципов.

Суть дела в том, что для той конкретной игры, т. е. структуры конфликта, которую мы сейчас рассматриваем, справедлив именно этот, а не какой-либо иной принцип. Для установления этого необходимо более или менее сложное математическое доказательство. Все чисто словесные правдоподобные доводы были бы неубедительны и сомнительны.

Заключительное замечание в п. 55.4 относительно расхождения между формулировкой и доказательством здесь снова приложимо.

55.6. Случай (II). Л и

55.6. Мы определили в пп. 55.4 и 55.5 два подмножества V, V множества V 3). Теперь пора обратиться к оставшемуся подмножеству V*.

2) Все это относится, конечно, только к случаю (II).

2) В п. 4.3.3 мы настойчиво говорили о влиянии, оказываемом «фактическим» существованием какого-либо дележа, т. е. его принадлежностью к некоторой норме поведения (решению), на все остальные дележи той же нормы. Почти все решения игр п 3 лиц, которые мы нашли, могут быть использованы для иллюстрации этого принципа. Специальная ссылка на это была сделана на более раннем этапе рассуждений, в п. 25.2.2. Настоящий случай, однако, особенно бросается в глаза.

3) Множество S* все еще неизвестно, хотя и выделено условием (55:Q). Числа «1, . . ., Од ! также неизвестны, но выделены условием (55:N). Они определяют число

а# (являющееся их минимумом). Числа шиш задаются условиями (55:М) и (55:R). Определением этих неизвестных величин мы займёмся позже. См. (55:0) (т. е. (55:1/), <55:N) и (55:Р)).

Тем не менее вид V и V найден, и остающиеся неопределенности имеют менее фундаментальный характер.



Пусть Jk - множество всех а с at = at = а* для всех i £ S#. Тогда (55:Т) \{}\*с=лГ

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь а £ V J V*.

Нужно показать, что at = а для всех i £ S#.

Согласно (55:L), для всех i = 1, . . ., п - 1 мы имеем а

Следовательно, нужно только исключить < а для i £

->. -

Для i g S# составим а1 из (55:S). Этот дележ принадлежит V, так

что агп = со; а принадлежит V(J V*, так что ап < со. Значит, ап>ап.

. ->. ->

Тогда < a означает, что aj = аг > а; следовательно, агЕ- а по

-»ГГ ->

(55:1), а это невозможно, так как аг и а оба принадлежат V.

(55:U) У Jk тогда и только тогда, когда является одноэлементным множеством или а = - 1; в противном случае Уине пересекаются.

-> -

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь a (j V. Тогда -> -> -*.

а = ai (по (55:S)), i g 5*. Сравнение определений аг и А показывает,

что аг принадлежит Л тогда и только тогда, когда имеет единственный элемент i или а* = -1.

Словесное выражение (55:Т), (55:U) следующее. Каждый игрок наименее удачливой группы см. конец п. 55.5) достигает своего

оптимума г) в каждом распределении, в котором главный игрок не имеет полного успеха (т.е. в V(JV*). Когда главный игрок терпит полное поражение (т. е. в V), это даже справедливо для всех игроков 1, . . . . . ., п - 1 (см. конец п. 55.4). Когда главный игрок имеет полный успех, то это справедливо для одного и только одного игрока, которым может быть любой член наименее удачливой группы (£*, см. конец п. 55.5).

55.7. Случаи (1Г) и (1Г). Описание случая (1Г)

55.7.1, Рассмотрим случай S# = (1, . . ., п - 1), обозначаемый как

случай (1Г)- Тогда а* = а* для всех i = 1, . . ., п - 1, так что (55:N)

1 - 1

дает (п - 1) a* = 1, т.е. а* --, и (55:R) дает со = гс - 2 - -

Если а принадлежит Jk, то a = а = а* = Для * = 1» • • •» п - 1-

Г 1 1 1

Следовательно, ап - - 1, т. е. a = j , • • •» -j » ~ j • -Л0 (55:Т)

->

это также справедливо для всех a £ VUV*.

->- ->

Это а является, очевидно, единственным элементом а0 в V по (55:К);

следовательно, V* пусто. Поэтому V = V J V, и тогда (55:К) и (55:S) дают:

х) Своего индивидуального оптимума внутри данной нормы поведения (т. е. решения) V. Для игрока i (== 1, . . ., n - i) этот оптимум (максимум) есть согласно (55:L), хотя было первоначально определено как его пессимум (минимум) в подмножестве V из V.



-- , если ] = п,

- 1 в остальных случаях.

(55:V) определяет единственное возможное решение V в случае (1Г)« Однако отсюда не следует обязательно, что это V есть решение, или что имеет место случай (1Г). Действительно, если бы не удалось удовлетворить какому-нибудь из этих двух требований, то мы бы только показали (хотя и довольно окольным путем), что не существует решения в случае (1Г)« Мы покажем поэтому, что оба эти требования удовлетворяются *).

55.7.2.

(55:W) V из (55:V) есть единственное решение в случае (1Г).

Доказательство. Нужно только показать, что это V является решением в случае (II); единственность будет следовать тогда из сказанного выше, т. е. из (55:V).

То, что это - случай (1Г)> устанавливается легко. Очевидно, для нашего V

со= -1, (д - п - 2-

п-1

= 0 = 0== -j , £* = (1, .. ., п - 1).

Остается доказать, что V есть решение, т. е. проверить (30:5:с)

->

из п. 30.1.1. Для этой цели нужно определить дележи р, которые не доми-

нируются элементами из V.

-> ->

Для а° е- Р (55:1) исключается, так как а = - 1. Таким образом, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:2);

следовательно, оно равносильно а? > р, т. е. Р* << для i = 1, . . .

. . ., п - 1.

Для ае-р, к = 1, п - 1, (55:1) невозможно при i Ф к,

а (55:2) исключается, так как а\ = - 1 для i Ф к. Следовательно, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i = к;

поэтому оно равносильно a > Р; для / = к, п, т. е. р& < ---и 6n < п - 2 - .

х) Ср. это положение с (55: G), где имелся случай (I). Никакие вторичные рассмотрения такого рода там не были нужны, так как (55:G) было с самого начала необходимо и достаточно.

(55:V) V состоит из следующих элементов: (Ь) а*,

где i = 1, . . п - 1 и а1 = {aj, . . ., а ь а\) с

1 . .

» если / =

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [ 160 ] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]