назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [ 158 ] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


158

§ 55] ПРОСТАЯ ИГРА [1? . . ., 1, п - 2\h 485

Таким образом, остается только случай (55:7). Здесь мы имеем: (55:Е) Для со = -1 условие (55:7) невозможно.

Доказательство. Из Рд 2=: -1 вытекает, что не может быть Р„<ю=-1.

Возможность со > -1 несколько глубже *).

(55:F) Пусть со > -1, и выполняется (55:7). Тогда условие (55:5)

- 0 1 равносильно условию со < п - 2--т .

Доказательство. Пусть рп < со. Для любого а с ап = со

условие (55:3) из п. 55.2.1 не допускается, т. е. доминирование а е- р должно осуществляться при помощи (55:1) (но не (55:2) !) в (55:а). Так как % > Рд> эт0 условие просто равнозначно условию

(55:8) аг->рг для некоторого £=1, ..., га - 1.

Значит, (55:5) требует существования дележа а с ап = со и (55:8). Рассмотрим сначала (55:8) для фиксированного £ = 1, га - 1.

Тогда это условие и ап = со могут удовлетворяться при дележе а тогда и только тогда, когда числа рг- и со, сложенные era - 2 слагаемыми, равными -1, дадут число < 0. Иными словами, должно быть pf + со - - (га - 2) < 0, Pj < га - 2- со. Следовательно, (55:8) невыполнимо для всех £ = 1, . . ., га - 1 тогда и только тогда, когда

(55:9) Pj 2 га - 2 - со для всех i = 1, . .., га - 1.

(55:5) означает, что этого не может быть ни для какого Р с Р < со. Тем самым ни для какого дележа р не может выполняться одновременно (55:9) и -1 §п < со 2). Значит, га - 1 слагаемых га - 2 - со и одно слагаемое -1 должны дать в сумме > 0. Таким образом, (га - 1) X

X (я - 2 - со) - 1 > 0, га - 2 - со > , откуда следует со <

<< га - 2 - , а это и требовалось.

Объединяя (55:Е) и (55:F) и вспоминая (55:D), а также утверждения, касающиеся (55:5), (55:6) и (55:7), можно утверждать следующее:

(55:G) Пусть со -любое число, для которого

- 1<со<га - 2--.

1) (о = -1 означает, что главный игрок не только сегрегирован, но также дискриминирован (решением V) наихудшим возможным образом. (См. п. 33.1.)

Таким образом, со = -1 дает решение сразу, в то время как со > -1 требует более детального анализа (55:F). Это и не удивительно: крайняя форма дискриминации является более элементарным предположением и требует менее тонких рассуждений, чем промежуточная форма.

2) Мы предполагаем, что из (55:9) следует р -1 для £ = 1, п-1. Это значит, что п - 2 - со -1 и со п - 1. В самом деле, со > п - 1 невозможно, так как иначе (55:4) было бы невыполнимо для дележей: со и п - 1 слагаемых, равных -1, дали бы в сумме положительное число.



Образуем множество V всех а, для которых

асо1).

Они дают в точности все решения V в случае (I). Первые из значений числа п - 2 - - даны в табл. 28.

Таблица 28

п 2 1 л

п- 1

1=0,5

4=1,67

Н = 2,75

55.3.3. Интерпретация этого результата не вызывает затруднений.

Такая норма поведения (решение) основывается на исключении главного игрока из} игры. Это делает распределение между остальными игроками совершенно неопределенным, т. е. любой дележ, который дает глав; ному игроку «назначенный» выигрыш со, принадлежит решению. Верх-нюю границу «назначенного» выигрыша со, именно п - 2 -- -j , также

можно было бы обосновать в соответствии с п. 33.1.2, но мы этот вопрос рассматривать не будем.

55.4. Случай (II). Нахождение V

55.4.1. Переходим теперь к значительно более трудному случаю (II). (См. последнюю часть замечания на стр. 483 - 484.) Мы имеем

- 1 5gco< со.

Это дает следующее разложение V на три попарно не пересекающихся множества:

->

V, множество всех oc£V с ад = со,

V, множество всех a£V с аЛ = а>,

-> -

V*, множество всех a£V с (0<Сссп<а>-

По самой природе чисел со и со (см. начало п. 55.2.3) множества V и V не могут быть пустыми; однако по поводу V* такого утверждения сделать уже нельзя 2).

55.4.2. Начнем с исследования V.

-► -> -

(55:Н) Если а принадлежит V, а Р принадлежит VU V *, то at р

для всех i = l, . . ., п - 1. Доказательство. В противном случае Pf > аг для некоторого i = l, . . ., п - 1. Тогда будет ап = со, рЛ > со, так что рд > ап\

х) Продолжая параллель с особым случаем п = 3 из п. 33.1, указанную в замечании на стр. 483-484, заметим, что это соответствует имеющемуся там с. Для п = 3 1

величина п - 2 - --- превращается как раз в 1/2.

2) у* действительно пусто в случае, который рассматривается перед (55:V).



г) То, что эти величины могут быть получены, т. е. что эти минимумы существуют

и достигаются, может быть установлено так же, как в замечании на стр. 397-398. См.,

в частности, там же (*). То, что устанавливается там для V, справедливо также для

->

V, равного пересечению V с замкнутым множеством тех а, у которых = со.

-►

2) Заметим, что этого нельзя утверждать по поводу р £ V, так как р$ может превысить минимальную величину а. См., однако, (55:L).

3) См. при этом (55:12) далее.

4) Заметим, что по своему определению все щ -1 (i = 1, . . ., п - 1) и со -1; следовательно, все наши yi -1 (i = 1, . . ., п - 1, п).

следовательно, р е- а по (55:1), что невозможно, так как аир принадлежат V. Положим

а$ = ттаг для i= 1, п - 11).

Тогда (55:Н) сразу дает:

<55:1) Если Р принадлежит V U V*, то сц fit для всех

* = 1, га-12). Докажем далее, что

71-1

<55:J) 2 af + (o03).

г=1 ~ -

Доказательство. Допустим, что 2 аг + 60 < 0* Тогда можно

г=1~ -п

выбрать 7 > at для i = l, га - 1, = 00 с 2?г = 0> образую-

- г=1

щие дележ у = {уи . . уп} 4)-

- -> -

V непусто, выберем Р £ V. Тогда по (55:1) рг af < для всех

-> -> ->

г = 1, .... га - 1; следовательно, по (55:2) у е-- р. Так как р принадле-жит V, у не принадлежит V.

-> -> ->

Следовательно, существует такое a £ V, для которого as- у. Если

<х принадлежит V, то ал = са = уп; следовательно, ae-у противоречит

->

{55:В). Поэтому дележ а должен принадлежать V J V*. Тогда по (55:1) щ аг << yt для всех i = l, га - 1. Но как (55:1), так и (55:2)

-> ->

из (55:А) - ввиду а е- у - дают, что аг > уг хотя бы для одного i = = 1, . . ., га - 1. Итак, мы имеем противоречие.

Теперь характеризация V может быть завершена:

(55:К) V имеет ровно один элемент:

а° = {аи ..., а, со}.

->

Доказательство. Пусть a = {a1? ..., ал 4, ал} - некоторый элемент из V. Тогда мы имеем

iat для i = 1, га -1,

(55:10)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [ 158 ] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]