назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [ 157 ] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


157

г) Кроме случая п = 3, о котором еще будет сказано позже.

55.1. Предварительные замечания

55.1.1. Нахождение всех решений рассмотренной выше игры покажет, что они распадаются в сложную систему классов, обнаруживающих чрезвычайно разнообразные характерные особенности. Это создает возможность для интерпретаций, о которых мы ранее упоминали. Мы рассмотрим некоторые из них, тогда как дальнейшие обсуждения в этом направлении, по-видимому, появятся в более поздних исследованиях.

Строгий вывод этого полного списка решений будет дан в следующих пунктах (55.2-55.11). Этот вывод является довольно громоздким. Мы приводим его полностью по тем же причинам, что и аналогичный вывод для решений разложимых игр в главе IX: само доказательство является удобным и естественным средством для получения некоторых интерпретаций. Оно дает возможность на различных этапах словесно описывать возникающие структурные свойства рассматриваемых построений. Это обстоятельство фактически будет выражено в доказательствах этой главы еще более отчетливо, чем в главе IX.

55.2. Доминирование. Главный игрок. Случаи (I) и (II)

55.2.1. После этих предварительных рассуждений приступим к систематическому исследованию игры [1, . . ., 1, п - 2]h (п игроков). Предположим, что игра представлена в редуцированной форме, нормированной с помощью у = 1.

Начнем с непосредственного замечания о доминировании.

(55:А) Для а={аи ...,ап} и P = доминирование as-$

имеет место тогда и только тогда, когда либо

(55:1) ап>рд и a>i>$i для некоторого г = 1, тг - 1, либо

(55:2) аг>рг- для всех г = 1, тг--1.

Доказательство. Это совпадает с (49:J) из п. 49.7.2, так как И777* состоит из множеств (1, тг), ..., (тг- 1, п) и (1, ..., п- 1).

Заметим, что 2а*~ 2 Рг = 0 позволяет вывести из (55:2) неравенство

(55:3) ап<$п.

Следовательно:

(55:В) Из а р следует ап ф р„.

Доказательство. По симметрии достаточно рассмотреть -> ->

только а е- р. Тогда отсюда следует (55:1) или (55:3); значит, во всяком случае гап Ф рл.

Эти два результата, хотя они и простые, заслуживают некоторых интерпретационных комментариев.

В п. 54.3 мы говорили, что игрок п находится в привилегированном положении в этой игре *). Он находится в ситуации, сравнимой с положе-



нием монополиста, при том неизбежном ограничении (см. второе замечание выше), что он должен найти себе хотя бы одного союзника. Это значит, что общая коалиция всех остальных игроков против него-но не что-либо меньшее - может нанести ему поражение. Будем называть его"главным игроком в этой игре *).

55.2.2. Эти обстоятельства выражены явно в неравенствах (55:1) и (55:2). Можно сказать, что (55:1) есть прямая форма доминирования главным игроком и произвольным его союзником (каким-нибудь игроком i = l, . . ., п - 1), в то время как (55:2) можно назвать состоянием общей кооперации против него. Неравенства (55:1) и (55:3) или утверждение (55:В) показывают, что при доминировании главный игрок непременно оказывается под воздействием: благоприятным в случае (55:1) (прямая форма доминирования с главным игроком) и неблагоприятным в случае (55:2) (общая кооперация против главного игрока). На любого-другого игрока при доминировании может не оказываться воздействия; он может оставаться в стороне 2).

55.2.3. Теперь рассмотрим решение V этой игры 3). Образуем

шах ап - со, min ап = со4). aev "ciev

Очевидно,

- 1 со со.

Смысл чисел со и со ясен: они представляют наихудший и наилучший возможный исход для главного игрока в пределах решения V. Будем различать две возможности:

(I) со = со,

(II) со<со.

55.3. Описание случая (I)

55.3.1. Рассмотрим случай (I). Это означает, что для всех a£V (55:4) ап = (й,

т. е. что главный игрок получает одинаковый выигрыш при всех условиях в пределах решения. Другими словами, (I) означает, что главный игрок в игре сегрегируется в смысле п. 33.1. Учитывая центральную роль главного игрока, представляется естественным, что первое альтернативное различение должно пойти в этом направлении.

Замечание. Ссылка на п. 33.1 снова подчеркивает, что такой образ действий аналогичен действиям для существенной игры трех лиц.

Это окажется даже еще более естественным, если вспомнить, что существенная игра трех лиц является частным случаем рассматриваемой сейчас игры, именно, при п = 3. (См., например, конец первого замечания в п. 54.3.)

*) Для случая п = 3 следует иметь в виду конец первого замечания в п. 54.3.

2) Таким образом, для некоторого i = 1, . . ., п - 1 может случиться, что -> ~>

a е- р и аг* = рг-. Это в действительности возможно только тогда, когда п 4, см. снова указания для п = 3.

3) В смысле старой теории (см. сноску 1 на стр. 481).

4) То, что эти величины можно образовать, т. е. что максимум~и минимум существуют и достигаются, может быть установлено тем же способом, что и в замечании на стр. 397-398. См., в частности, (*) там же.



Однако более внимательное рассмотрение случая п = 3 показывает, что в такой аналогии имеется довольно неудовлетворительная ограниченность: в этом случае игра фактически симметрична, и поэтому любой из трех игроков мог бы быть назван главным игроком. (См. также сноску 1 на стр. 483.) В п. 33.1 указанная сегрегация была действительно применима к любому из трех игроков, а теперь мы произвольно ограничили ее игроком п !

Тем не менее до сих пор нет способа применять ее также к другим игрокам, если мы желаем, чтобы наше рассуждение годилось для всех тг 3 (а не только для тг = 3): для тг 4 главный игрок и его роль оказываются однозначно выделенными.

Такая ситуация может быть принята временно только в следуюшем смысле: нужно иметь в виду, что случай (II) в конце концов будет расчленен.

Таким образом, для п - 3 сравнение с классификацией из п. 32.2.3, которая анализируется в п. 33.1, показывает следующее. Наш случай (I) является одной из возможностей в (32:А): дискриминацией по отношению к игроку 3. Наш случай (II), с другой стороны, охватывает две остальные возможности в (32:А): дискриминацию игроков 1, 2 вместе с недискриминирующим решением (32:В). Таким образом, (II) в действительности объединяет три возможности при п = 3. Эта схема будет действительно распространена на все тг. См. (е) в четвертом замечании из п. 55.12.5.

55.3.2. Рассмотрим теперь V в случае (I).

->

(55:С) V представляет собой множество всех а, удовлетворяющих (55:4).

Доказательство. Мы уже знаем, что все а £ V удовлетворяют (55:4). Если, наоборот, некоторое р удовлетворяет (55:4), то для каждого а £ V мы имеем ап = $п; следовательно, (55:В) не допускает

а е- р. Значит, р принадлежит V.

Таким образом, V определяется достаточно легко, но теперь нужно ответить на обратный вопрос. Если задано некоторое со t -lr то является ли решением множество V, определяемое из (55:4) (т. е. из (55:С))? Иными словами, удовлетворяет ли это V условиям (30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1?

Итак, (55:В) и (55:4) не допускают а е- р для а, р £ V; следовательно, (30:5:а) удовлетворяется автоматически. Поэтому нам остается только исследовать (30:5:Ь) из п. 30.1.1. Это значит, что мы должны обеспечить следующее свойство: .

(55:5) Если р„ Ф со, то а е- р для некоторого а, для которого

ап = со.

Говоря более ясно, нужно определить, какие ограничения свойство (55:5) накладывает на со.

Условие Рдсо из (55:5) можно расчленить: (55:6) Ртг>со,

(55:7) Р„<ю.

Прежде всего покажем, что (55:D) В случае (55:6) условие (55:5) выполняется автоматически.

Доказательство. Пусть р„ у> со, т. е. ря = со + 8, где е > 0. Положим

а = {а4, . .., ап},

где а* = р + для i = 1, . . ., п - 1 и ап = р„ - е = со. а есть дележ нужного вида, причем а е- Р ввиду (55:2).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [ 157 ] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]