назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [ 156 ] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


156

г) Которые могут быть заданы правилами игры.

2) В этой игре нет никаких существенных связей между какими-либо игроками. Любых двух игроков можно перевести в любых двух других игроков соответствующей перестановкой (всех игроков 1, . . ., 7), относительно которой игра инвариантна.

определяется не индивидуальными свойствами игроков *) (как мы видим, все они в равном положении), а отношениями между игроками. Именно* взаимопонимание, достигаемое между тремя игроками, которые связаны в (£4) 2)> решает вопрос о победе или поражении.

§ 54. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ В СООТВЕТСТВУЮЩИХ ИГРАХ

54.1. Основания для рассмотрения в простых играх решений, отличных от главного решения

54.1.1. До сих пор при исследовании простых игр наше внимание было сосредоточено в основном на решениях специального типа, рассматривавшихся в пп. 50.5.1-50.7.2, и особенно на главном простом решении из п. 50.8.1. На основании изученного в предыдущих параграфах, особенно на основании примеров из п. 53.2, такой подход не представляется оправданным в равной мере для всех аспектов нашей задачи.

Прежде всего, мы видели, что нельзя ожидать, чтобы все простые игры имели решения указанного типа. Уже при п = 6 появляется обилие новых возможностей. Это знаменательно, так как 6 есть крупное число с комбинаторной точки зрения, но малое с точки зрения социальной организации.

Далее, даже когда эти решения существуют, фактически даже для случая однородных взвешенных мажоритарных игр, они не описывают полностью всего положения вещей. Для наиболее примитивного представителя такого класса, для существенной игры трех лиц, обозначаемой, как мы знаем, через [1, 1, 1], существует много решений. А рассмотрения в § 33 показывают, что все они важны для понимания характерных особенностей и выводов нашей теории - фактически некоторые основные интерпретации были получены впервые именно на этом пути.

54.1.2. Следовательно, важно уметь находить все решения простой игры и, пока мы не можем этого осуществить для всех простых игр, сделать это для возможно большего их числа. В частности, это должно быть сделано хотя бы для одной простой игры при каждом значении п. Эти результаты дали бы некоторые сведения о структурных возможностях и принципах классификации р<ешений для случая п участников.

Конечно, было бы в равной степени желательно получить такие сведения не только для простых игр. Однако простые игры обладают явным преимуществом перед всеми другими, когда решения нужно находить систематически. Именно, для простых игр так называемые предварительные условия из п. 30.1.1 не вызывают трудностей (см. п. 31.1.2), так как в этом случае каждое множество S или заведомо необходимо, или заведомо не необходимо (см. п. 49.7).

Ясно также, что подобные результаты дали бы сведения только относительно нескольких изолированных случаев. Тем не менее они охватили бы все п, т. е. позволили бы изменять п произвольно. Это может привести к важным интуитивным представлениям.



54.2. Перечисление тех игр, для которых все решения известны

54.2.1. Перечислим те случаи, для которых мы уже знаем все решения игры. Их три:

(a) Все несущественные игры (см. (31:Р) в п. 31.2.3, дополненное (31:1) из п. 31.2.1).

(b) Существенная игра трех лиц как в старой теории (эксцесс равен нулю), так и в новой (эксцесс произволен). (См. п. 32.2.3 для первого случая и анализ в пп. 47.2.1-47.7 для второго.)

(c) Все разложимые игры - в случае, если все решения компонент известны. (См. (46:1) в п. 46.6.)

Очевидно, можно использовать (с) и комбинировать игры из (а) и (Ь), получая, таким образом, игры, для которых все решения известны.

Замечание. Это можно выразить также следующим образом.

Данная игра Г строится из своих неразложимых компонент, в соответствии с определением разлагающего разбиения в конце п. 43.3 и с (43:Е). Мы знаем на основании (43:L) из п. 43.4.2, что множества, на которые это разбиение разделяет участников, являются множествами, состоящими из 1 или 3 элементов.

Простейшей возможностью поэтому будет такая, когда все эти множества одноэлементны. Согласно (43:J) в п. 43.4.1 это означает, что игра несущественна, т. е. мы снова приходим к случаю (а).

Следующая по простоте возможность - та, когда они все являются одно- или трехэлементными множествами. Это будут как раз те игры, которые можно образовать согласно (с) из (а) и (Ь). Значит, именно для таких игр мы знаем все решения.

Это удовлетворительно, так как оказывается, что классификация, основанная на размерах неразложимых компонент (т. е. элементов разлагающего разбиения, см. (43:L) в п. 43.4.2), является естественной: наше продвижение в получении всех решений следует точно по указываемым ею путям.

Это также подчеркивает, насколько ограниченны наши результаты: в действительности случай, когда игра вообще разложима, является очень частным. (Вспомним определяющие уравнения (41:6) или (41:7) из п. 41.3.2, соответствующие критерию в конце п. 42.5.2!) Как правило, игра п лиц неразложима и не может быть получена при помощи (с).

В этом процессе построения случай (а) дает только «болванов» (см. конец п. 43.4.2); следовательно, можно обходиться без него, так как нам нужна структурная информация. Итак, остаются игры, которые получаются повторным применением (с) к (Ь). Таким способом можно получать игры, которые являются композициями существенных игр трех лиц х).

54.2.2 Это дает игры п - Зк лиц, для которых мы знаем все решения. Так как число к произвольно, число п можно сделать произвольно большим. С этой точки зрения все обстоит удовлетворительно. Однако остается фактом, что такая игра п лиц является всего лишь полимером существенной игры трех лиц - в действительности игроки образуют множества по 3, и при этом правила игры не связывают их друг с другом. На самом деле наши результаты о решениях разложимых игр показывают, что некоторая связь между этими множествами игроков тем не менее обеспечивается в типичном решении, т. е. посредством типичной нормы поведения. Однако мы, естественно, хотим узнать, каким образом обычный вид связи, явно установленной правилами игры, воздействует на организа-

г) Применяя стратегическую эквивалентность, можно предположить, что все они заданы в редуцированной форме. Однако, обозначая их соответствующие у через У и • • .? нельзя рассчитывать сделать их все равными 1 при помощи изменения единицы измерения (если к Ф 1). Действительно, их отношения у4: . . .: yk при изменениях единицы измерения не изменяются.



цию игроков, т. е. на решения или нормы поведения. И это желательно знать для большого числа игроков.

Следовательно, мы должны искать и другие игры п лиц, для которых можно найти все решения.

54.3. Основания для рассмотрения простой игры [1, . . ., 1, п - 2]h

54.3.1. Как отмечено выше, мы собираемся искать указанных представителей среди простых игр Тогда оказывается, что при каждом п 3 имеется некоторая простая игра, для которой это нахождение всех решений может быть осуществлено. Она является единственной игрой п лиц, при произвольном п, для которой мы до сих пор преуспели в таком общем нахождении решений. Это, очевидно, придает ей особый интерес. Мы увидим также, что она допускает интересные во многих отношениях интерпретации.

Эта игра уже встречалась нам в п. 52.3 и в (52:В) из п. 52.4. Это - однородная взвешенная мажоритарная игра [1, . . ., 1, п - 2]h (п игроков).

54.3.2. Как говорилось в п. 52.3, в этой игре минимальными выигрывающими коалициями S являются следующие: (1, п), . . ., (п - 1, п) и (1, . . ., п - 1). Это значит, что игрок п выигрывает, как только он находит какого-нибудь союзника, но если он остается полностью изолированным, то он проигрывает 2): Здесь следует сделать некоторые замечания.

Первое. Это правило явно указывает, что игрок п находится в привилегированном положении. Для того чтобы выиграть, ему нужно только одного союзника, в то время как остальные игроки нуждаются друг в друге без исключения. Фактически положение таково: игроку п нужна коалиция из двух, а остальным нужна коалиция из п - 1; следовательно, привилегия существует только при

и - 1 >2,

т. е. при

п 4.

Для п = 3 в действительности нет никакой разницы между тремя игроками. Мы имеем тогда игру [1, 1, l]h, единственную существенную игру трех лиц, которая, очевидно, симметрична.

Второе. Привилегии игрока п широки настолько, насколько это вообще возможно. Требуется, что игрок п для своего выигрыша должен найти хотя бы одного союзника, и нельзя потребовать меньшего 3). Невозможно полагать, что игрок п может выиграть совсем без союзников, т. е. провозгласить одноэлементное множество (п) выигрывающим,- это несовместимо с существенностью игры. (Это подробно обсуждалось в п. 49.2.)

г) Поэтому мы используем старую теорию, т. е. случай, когда эксцесс равен нулю. См. третье и четвертое замечания в п. 51.6.

2) Как это и должно быть для каждого одноэлементного множества.

3) Ранее мы говорили, что игрок п вообще не имеет привилегии в этой игре при п = 3, а теперь утверждаем, что он привилегирован так, как только возможно! Тем не менее случай п - 3 не является исключением в указанном утверждении. Поскольку имеется вообще только одна существенная игра трех лиц, положение, в котором находится игрок, может также быть названо наилучшим возможным положением, так как такое положение только одно.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [ 156 ] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]