назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [ 155 ] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


155

Эти равенства имеют, очевидно, решение ... = х§ - 21).

В обычной экономической терминологии следовало бы сказать, что структурное различие между группами игроков 1, 2, 3 и 4, 5, 6 не может быть выражено с помощью весов и мажоритарности, и поскольку рассматриваются числа, они неразличимы.

53.2.4. Четвертое. Заметим, что приведенный выше пример позволяет также установить различие между принципом однородного взвешенного большинства и существованием главного простого решения, как обсуждалось в п. 50.8.2. Действительно, это - пример случая равенства в (50:21). Так как хх = ... = х6 = 2 (см. выше), должно быть

2 *£ = 12=2w.

г= 1

53.2.5. Пятое. Рассмотрим теперь второй случай, описанный в третьем замечании: простая игра для п = 6, которая не описывается символом

[wu ..,],

и не имеет главного простого решения.

По сравнению с двумя предшествующими примерами, приведенными во втором и третьем замечаниях, этот пример основан на менее прозрачных принципах. Это неудивительно, так как теперь все наши упрощающие критерии оказываются невыполненными.

Положим п = 6. Определим W как систему всех тех множеств S ( / = (1, . . ., 6)), которые содержат либо большинство всех игроков (т. е. имеют 4 элементов), либо ровно половину (т. е. 3) элементов и удовлетворяют следующим условиям: или S содержит игрока 1, но отлично от (1, 3, 4) и от (1, 5, 6) 2), или S есть (2, 3, 4) или (2, 5, 6) 3«4).

Легко проверить, что ТУ удовлетворяет условиям (49:W*) из п. 49.6.2.

W171 может быть определено без серьезных трудностей. Оно состоит из следующих множеств:

( (Ss)- (1, 2, 6), где Ъ

I (1. а 6)> гДе а

{*з)\ (St): (2, р, д), где р

{ (S\y): (3,4,5, 6)«).

Если бы эта игра описывалась символом [wu ...,wn], то было бы

2 wt > 2 wi ддя всех s € w.

*) Легко видеть, что это-единственное решение.

2) То есть это есть (1, а, Ъ) с а = 2, Ъ = 3, или 4, или 5, или 6; или с а = 3, или 4, и Ъ = 5, или 6.

3) Дополнения предварительно исключенных множеств (1, 5, 6), (1, 3, 4).

4) Если убрать исключение относительно (1, 3, 4), (1, 5, 6) и (2, 3, 4), (2, 5, 6), то W определялось бы по следующему принципу. Игрок 1 привилегированный: нормально большинство побеждает, а в случаях равенства решает игрок 1.

Легко проверить, чтоэто просто игра [2,1, 1, 1, 1, 1], т. е. этот случай даже более прост, чем наш - в некотором смысле аналогичный - пример из второго замечания выше, так как существующая здесь привилегия имеет числовое значение в соответствующем смысле.

Таким образом, сложное исключение, касающееся (1, 3, 4), (1, 5, 6) и (2, 3, 4), (2, 5, 6), является решающим для выявления действительного характера нашего примера.

5) Заметим, что а и b изменяются независимо друг от друга, а р и q - нет.

6) Таким образом, Wm насчитывает 4 + 4 + 2 + 1 = 11 элементов.

= 3, 4, 5, 6;

= 3, 4; 6 = 5, б5);

= 3, д = 4 или р = 5, q = б5);



*) Имеется 10 уравнений относительно шести неизвестных; см. сноску 1 на стр. 474.

2) Таким образом, Wm имеет 7 элементов.

3) По терминологии теории чисел, отождествляются числа, сравнимые по модулю 7.

Применим это к множествам из Wm, перечисленным в (S3). В частности, мы получим

Щ + и>э + Щ > w2 + Щ + Щ, W2 + з + Щ > и\ + W5 + Wq, Щ + ™k + w6 > 2 + ™3 + Щ» 2 + 5 + 6 > 1 + 3 + Щ-

Сложив эти четыре неравенства, мы получим

2(w1 + W2 + W3 + W + W5+Wq) >2(Wi + W2 + W3 + W + W5 + W6),

т. е. противоречие.

Уравнениями (50:8) из пп. 50.4.3, 50.6.2, которые определяют главное простое решение, будут уравнения

f (Е3): xi + x2 + xb = 6, где 6 = 3, 4, 5, 6; (E"z): xt + xa + Zb = 6, где а==3, 4; 6 = 5, 6. 3/* j (Eg): а?2 + р + = 6, где р = 3, д = 4 или р = 5, д = 6;

[ (ElY): х3 + х + х5 + х6 = 6.

Эти уравнения (Е3) неразрешимы Действительно, (El) показывает, что х3 = #4 и х5 = х6. Следовательно, (Ez") дает х2 + 2#3 = 6, х2 + 2#5 = = 6; следовательно, х3 = х5 и поэтому х3 = xk = х5 = х6. Далее, (Ету) дает Ах3 = 6 и х3 = 3/2, в то время как (E"z) и (Е3") дают 4 + 3 = 6 и #2 + 3 = 6, т. е. xi = #2 = 3. Наконец, из (Е3) мы получаем 3 + 3 + 3

+ у = 6 - противоречие.

Что касается интерпретации этой неразрешимости, то здесь по существу уместны те же комментарии, что и приведенные к соответствующему месту во втором замечании.

53.2.6. Шестое. Мы уже упоминали различие между принципом однородного взвешенного большинства и существованием главного простого решения, как обсуждалось в п. 50.8.2. Это было сделано в четвертом замечании, где был приведен пример для случая = в (50:21). Мы дадим теперь пример для случая > в (50:21).

Так как мы нашли, что для п 5 все простые игры являются однородными взвешенными мажоритарными играми, мы должны предполагать, что п 6. Мы не знаем, существует ли искомый пример для п = 6; в том примере, который мы приведем, п = 7.

Положим п = 7. Определим W как систему всех тех множеств S ( /= (1, . . ., 7)), которые содержат какое-нибудь из следующих семи трехэлементных множеств 2)

(S,) : (1, 2, 4), (2, 3, 5), (3, 4, 6), (4, 5, 7), (5, 6, 1), (6, 7, 2), (7, 1, 3).

Принцип, на котором основано это определение, может быть проиллюстрирован различными способами.

Вот один из них. Семь множеств (£4) получаются из первого (1, 2, 4) циклической перестановкой, т. е. увеличением номера каждого из своих элементов на любое из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, считая при этом, что числа 8, 9, 10, 11, 12, 13 тождественны соответственно числам 1, 2, 3, 4, 5, 6 3).



Другими словами, они получены из множества точек, помеченных крестиками на рис. 68, любым из семи поворотов, которые переводят эту фигуру в себя.

Другая иллюстрация. На рис. 69 изображена конфигурация игроков 1, . . ., 7, на которой можно непосредственно указать семь множеств из (54). Они указываются шестью прямыми линиями и окружностью 1).

Проверка того, что W удовлетворяет условиям (49:W*), нетрудна, но мы предпочитаем предоставить ее читателю, если он интересуется этим видом комбинаторики. Wm состоит, очевидно, из семи множеств (54)..

Рис. 68. Рис. 69.

Легко показать, что это не есть взвешенная мажоритарная игра-Мы опустим соответствующее рассуждение.

С другой стороны, уравнения (50:8) из пп. 50.4.3, 50.6.2 (с U = Wm)r которые определяют главное простое решение, таковы:

(2?4): ха-\- хь + хс = 7, где (а, Ь, с) пробегают 7 множеств (£4).

Эти уравнения, очевидно, имеют решение xt = . .. = хт = 7/32).

Мы можем теперь установить, что в (50:21) из п. 50.8.2 имеет место* знак >. Действительно,

2*1=у>14 = 2и.

Так же как и игры, которые обсуждались во втором, третьем и пятом замечаниях, эта игра соответствует организационному принципу, который заслуживает более пристального изучения. В этой игре каждое множество* из Wm, т. е. решающая выигрывающая коалиция, всегда составляет меньшинство (все они - трехэлементные множества). Тем не менее никакой игрок не имеет никаких преимуществ перед остальными. Рис. 68* и его рассмотрение показывают, что любая циклическая перестановка игроков 1, . . ., 7, т. е. любой поворот круга на рис. 68, оставляет структуру игры неизменной. Любой игрок может бьт? переведен этим способом на место любого другого игрока 3). Таким образом, структура этой игры

!) Читатель, который знаком с проективной геометрией заметит, что рис. 69 есть изображение так называемой 7-точечной плоской геометрии. Семь искомых множеств суть ее прямые линии, каждая из которых содержит по три точки, и окружность, обладающая тем же свойством.

2) Легко видеть, что это решение единственное.

3) Тем не менее эта игра не является безобидной в смысле п. 28.2.1, так как, например, два трехэлементных множества (1, 2, 4) и (1, 3, 4) действуют различно. Первое из этих множеств принадлежит W, а второе принадлежит L. (Так, в редуцированной форме игры, с у = 1, значение v {S) для первого множества равно 4, а для второго* равно - 3.)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [ 155 ] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]