52.4. Простые игры, отличные от [1, . . 1, I - 2]н (с «болванами»). Случаи С, к .= 0, 1, . . п - 3
52.4. Результаты п. 52.3 заслуживают дальнейшего рассмотрения и переформулировки. Мы видели, что для каждого Z 4 можно составить однородную взвешенную мажоритарную игру Z игроков [1, . . ., 1, I - 2]h 1). Мы можем составить ее даже при Z = 3. В этом случае игра оказывается чисто мажоритарной игрой трех участников [1, 1, Итак, мы можем пользоваться этим фактом для всех I 3.
Если га > 4, то мы можем получить простую игру га лиц, образуя [1, . . ., 1, Z - 2]h для любого I = 3, . . ., га и добавляя необходимое число «болванов».
Результатом п. 52.3 было то, что такая игра при Z = 3, га и га - 1 (для га 2 5) исчерпывает случаи С*, Сп ь Сп 2.
Особенностью этого результата является то, что эти значения I не исчерпывают всех своих возможностей I = 3, . . ., га (см. выше). Точнее говоря, это исчерпание имеет место для га = 4, 5, но не для га 6. Остаются Z = 4, . . ., га - 2 для га 6. 13 чем их смысл?
Ответ состоит в следующем. Рассмотрим игру [1, ... ., 1, Z - 2]и (Z участников) с га - Z «болванами». Предположим только, что I = 3, . . . . . ., га и га 4. Wm состоит из (1, Z), . . ., (Z - 1, Z) и (1, . . ., I - 1) 2). Поэтому мы имеем случай С* при I = 3 и случай Сг ! при Z = 4, . . ., га3).
Таким образом, мы имеем в этих играх образцы случаев С*, С3, ... . . ., Сп !. Результат п. 52.3 можно теперь сформулировать так: случаи С*, Сп 2, Сп :1 исчерпываются явными указаниями на соответствующие игры 4).
Переформулируем это утверждение.
(52:В) Мы хотим перечислить все простые игры га лиц для га 4. Игра [1, . . ., 1, Z - 2]h с числом га - Z «болванов» есть простая игра для всех Z = 3, . . ., га. Эта игра подпадает соответственно под случай С*, С3, . . ., Сп- Все остальные простые игры га лиц (если такие есть) описываются случаями С0\ Сь . . ., Сп 3 5).
52.5. Описание случаев п = 4, 5
52.5.1. Мы рассмотрим полностью случаи значений га = 4, 5 и приведем несколько/характерных примеров для га = 6, 7.
Случай га = 4 разбирается легко. В силу (52:В), при этом га нам нужно проводить исследование только для С0 и С4. В этих случаях W171 содержит не более одного двухэлементного множества. Однако это невозможно, так как дополнение двухэлементного множества есть двухэлементное
г) См. случай Ся 1 с I вместо п.
2) Мы выбрали игроков 1, . . ., I участниками ядра [1, . . ., 1, I - 2], а игроков I + 1, . . ., п - в качестве «болванов». Это отличается от соглашения в п. 52.3 для случая Cn-i,- где I = п - 1, а «болваном» был игрок п - 1,- перестановкой игроков п - 1 и п.
3) Для I = 3 С* можно заменить на С2, так как (1, . . ., I - 1) в этом случае есть двухэлементное множество.
*)7Т образом, С2 пусто при п 4, ибо С2 входит во второй список случаев, но не «ходит в первый. См. п. 52.3.
5) Все те случаи, которые нам удалось исчерпать до сих пор, были либо пусты, либо содержали ровно одну игру. Это, однако, в общем случае неверно. См. первое замечание в п. 53.2.1.
х) Используется (52:А) из п. 52.2.1. Далее мы будем пользоваться этим фактом без ссылок.
2) То есть к единственной простой игре трех лиц [1, 1, Пл.
3) То есть к [1,1, 1]ли[1, 1, 1, 2]л.
4) Мы переставили игроков в этих играх (принадлежащих Ct и С2) для того, чтобы иметь возрастающее расположение весов.
множество. Следовательно, в W и в L должно быть одинаковое число двухэлементных множеств, а именно по 3. Итак, W содержит 3 двухэлементных множества, и то же самое верно для W71
Таким образом, единственными простыми играми для п = 4 являются игры из (52:В). Сформулируем это следующим образом.
(52:С) Если пренебречь играми, которые получаются добавлением «болванов» к простым играм с числом игроков меньше четырех 2), то существует только одна простая игра четырех лиц: [1, 1, 1, 2].
52.5.2. Рассмотрим теперь случай п = 5. В силу (52:В), нам нужно исследовать С0, Си С2. В отличие от гс=4, все они предоставляют конкретные возможности.
С0. Никакое двухэлементное множество не содержится в Wm, а потому и в W. Следовательно, все они содержатся в t, а их дополнения, т. е. трехэлементные множества, в W. Таким образом, W состоит из всех множеств с числом элементов 3, a Wm - из всех трехэлементных множеств. Следовательно, мы имеем дело с чисто мажоритарной игрой tl, 1, 1, 1, lk.
С*. (1,2) есть единственное двухэлементное множество в Wm и тем самым в W. Переходя к дополнениям, мы получим, что (3,4,5) - единственное трехэлементное множество в L, т. е. остальные трехэлементные множества содержатся в W. Таким образом, W состоит из следующих множеств: (1, 2), все трехэлементные множества, кроме (3, 4, 5), все четырех- и пятиэлементные множества. Легко проверить, что это W удовлетворяет условиям (49:W*), а также что Wm состоит из следующих множеств:
(1, 2), (а, Ь, с), где а = 1, 2, а Ь, с равны любым двум из 3, 4, 5.
Теперь легко увидеть, что эта игра описывается символом 12, 2, 1, 1, 11*.
С2. (1, 2) и (1, 3) суть единственные двухэлементные множества в Wm и, следовательно, в W. Переходя к дополнениям, мы получим, что (3, 4, 5) и (2, 4, 5) - единственные трехэлементные множества в L, т. е. остальные трехэлементные множества содержатся в W. Таким образом, W состоит из следующих множеств: (1, 2), (1,3), все трехэлементные множества, кроме (2, 4, 5), (3, 4, 5), все четырех- и пятиэлементные множества. Легко проверить, что это W удовлетворяет (49:W*), а также что W171 состоит из следующих множеств:
(1, 2), (1, 3), (2, 3, 4), (2, 3f 5), (1, 4, 5;.
Теперь легко видеть, что эта игра описывается символом [3# 2, 2, 1, l]/v Таким образом, простыми играми для п = 5 являются эти три игры
и игры из (52:В).
Сформулируем сказанное следующим образом:
(52:D) Если пренебречь играми, которые получаются добавлением «болванов» к простым играм для п < 5 3), то существуют ровно четыре простые игры пяти лиц: [1, 1, 1, 1, l]h И 1, 1, 2, 2k 4), [1, 1, 2, 2, 31И), [1, 1, 1, 1, 3]л.
§ 53. НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ДЛЯ ПРОСТЫХ ИГР ПРИ Пб 53.1. Закономерности, обнаруженные для Ж б
53.1. Прежде чем идти дальше, выведем некоторые заключения из предыдущего.
Первое. Все простые игры, которые были получены до сих пор, описывались символом [wi, . . ., wn]h, т. е. были однородными взвешенными мажоритарными играми. Возникает вопрос, не будет ли это верным всегда. Как указывалось в сноске 3 на стр. 452, это не так. Первый контрпример получается при п = 6.
Второе. До сих пор каждый класс Ch, содержащий какую-либо игру, содержал только одну игру. Это также нарушается при п = 6. (См. первое замечание в п. 53.2.1.)
Третье. Априори можно было бы думать, что имеет место большая свобода в выборе весов для однородной взвешенной мажоритарной игры. Наш перечень игр (для п < 6) показывает, однако, что эти варианты очень ограничены. Их оказывается по одному для п = 3, 4 и четыре для п = 5 2). Мы подчеркиваем, что, так как наши перечни игр являются исчерпывающими, это есть строго установленный, объективный факт, а не более или менее произвольная особенность нашей процедуры.
Четвертое. Мы можем проверить утверждение сноски 1 на стр. 455 о том, что, в то время как число элементов W определяется числом п (оно равно 2п~1), число элементов Wm для простых игр с одним и тем же п может быть различным. Это явление начинает иметь место с п = 5.
Для п = 3 множество W имеет 4 элемента; W171 в единственном примере имеет 3 элемента. Для п = 4 множество W имеет 8 элементов; Wm в единственном примере имеет 4 элемента. Для п = 5 множество W имеет 16 элементов, a Wm в четырех примерах имеет соответственно 10, 7, 5 и 5 элементов.
Пятое. Мы можем проверить утверждение сноски 2 на стр. 452 о том, что число уравнений (50:8) из пп. 50.4.3, 50.6.2 (с U = Wm) может быть больше числа переменных, и тем не менее решение существует, т. е. существует система дележей в обычном смысле. Первое означает, что Wm имеет больше чем п элементов, а второе, несомненно, есть случай однородной взвешенной мажоритарной игры ((50:К) из п. 50.8.1).
Мы видели выше, что для п = 3, 4 множество Wm имеет п элементов, но для п = 5 Wm может иметь 10 или 7 элементов, и все эти игры суть однородные взвешенные мажоритарные игры 2).
По поводу простых игр, где, таких решений нет, см. пятое замечание в п. 53.2.5.
53.2. Шесть основных контрпримеров (для п = 6, 7)
53.2.1, Мы переходим теперь к п = 6, 7. Полный обзор этих случаев, даже для п = 6, был бы довольно громоздким. По этой причине мы от него отказываемся. Мы приведем только несколько характерных примеров простых игр для п = 6, 7, на которых иллюстрируются определенные явления, начинающиеся, как упоминалось выше, с этих п.
г) С точностью до перестановки игроков!
2) Таким образом, мы имеем первые контрпримеры уже при п = 5: [1, 1, 1, 1,1] h чисто мажоритарная игра) и [1, 1, 1, 2, 2].