назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [ 151 ] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


151

Неудивительно поэтому, что мы не можем перейти к этому обобщению 1).

Четвертое. В свете анализа п. 46.10 сделанные выше замечания относительно эксцесса приобретают следующее значение. Они показывают, что понятие простоты не выдерживает общей операции погружения2). Отсюда следует, что методические принципы, рассмотренные в п. 46.10.5, не могут применяться при всех условиях.

51.7. Критерий разложимости в терминах Wm

51.7.1. В п. 51.5 мы обсудили, когда разложимая игра Г проста. Теперь мы возьмемся за обратную проблему, т. е. решим, когда простая игра разложима.

Пусть дана простая игра Г. В дальнейшем окажется важным следующее понятие. Элемент i £ I называется значимым тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому S из Wm 3). Обозначим множество всех значимых элементов, т. е. объединение всех S из Wm, через /0.

Расчленим наши дальнейшие рассуждения на несколько последовательных этапов.

(51 :К) Если игра Г проста и разложима и если ее простой компонентой является А (см. (51 :J) и обозначения из п. 51.5), то Г и А имеют одно и то же Wm.

Доказательство. Согласно (51:1), S = R [) Т (где R J и Т с~ К), принадлежащее получается выбором произвольного

R £ WA и произвольного Т £ WH. Игра Н несущественна (по (51 :J)), поэтому Т £ Wyl есть просто любое Т К (см. доказательство (51:J)). Поэтому S =R\JT минимально (т. е. принадлежит И71), если минимальны R и Т. Это значит, что R принадлежит ТУд и Т = 0, т. е. S = R.

Таким образом, и W% совпадают, т. е. Г и А имеют одно

и то же Wm.

(51 :L) При тех же предположениях, что и в (51 :К), / /0.

Доказательство. ГиА имеют одно и то же Wm (по (51 :К)), а поэтому одни и те же значимые элементы. Следовательно, те элементы из Г, которые образуют 10 являются участниками в игре А, которая образована множеством /.

(51 :М) Предположим только, что игра Г проста. Тогда 10 есть разлагающее множество 4). 10 -компонента А проста, а (/ - /-компонента Н несущественна (см. (51 :J)).

Доказательство. Рассмотрим S = R [] Т, R /0, Т s I ~ 10. Тогда

(51:16) S принадлежит W тогда и только тогда, когда R принадлежит W.

1) В определенном смысле это можно рассматривать как применение методических принципов, упомянутых в сноске 3 на стр. 289.

2) Кроме простого добавления «болванов», как указывалось выше.

3) Таким образом, игрок i является значимым, если существует минимальная выигрывающая коалиция, к которой он принадлежит, т. е. существует возможная существенная услуга, которую он может оказать.

Будет показано, что противоположное этому состоит в том, что игрок является «болваном» (см. конец п. 51.7.3).

Все сказанное относится, конечно, к простым играм.

4) В смысле п. 43.1.



Действительно, если R принадлежит ТУ, то S R тоже принадлежит ТУ. Обратно, пусть S принадлежит ТУ. Тогда в ТУ существует минимальное Т <=: S. Так как Т принадлежит И7771, каждое i £ Т принадлежит /0. Следовательно, Т е 10. Таким образом, Т е S[}I0 = R и, следовательно, R принадлежит W вместе с 7".

(51:17) Т принадлежит L.

Действительно, заменим S на Т I - 10). Это заменит наши R и Т на 0 и Т. Так как 0 принадлежит L, (51.16) позволяет заключить то же самое и о Г.

Докажем теперь, что

(51:18) у(5) = у(Л) + у(Г).

Рассмотрим отдельно случаи, когда S £ L и когда 5 £ ТУ.

Пусть S (i L. Тогда Л, Т <=l S также принадлежат L. Следовательно,

v (S) = 2 v ((j)) + S v ((0) = v (Д) + v (Г),

т. е. мы получаем (51:18).

Пусть S £ ТУ. По (51:16) и (51:17) должно быть R £ ТУ, а Т g L. Поэтому

v(5)=-Sv((0),

v(Д) = - 2 v((0) = - 2v«О)-2 v«о),

у(Г) = 2 v((0),

откуда

y(S) = v(R)+v(T),

т. е. (51:18).

(51:18) есть просто утверждение о том, что 10 есть разлагающее множество. Для всех Т1 - 10 (51:17) дает

v(f) = Sv((0).

Поэтому (7 - /0)-компонента Н несущественна. Следовательно, по (51:J) /0-компонента А должна быть простой. Таким образом, доказательство завершено.

51.7.2. Теперь мы в состоянии полностью описать разложимость простой игры Г, т. е. можем указать разлагающее разбиение Пг в смысле п. 43.3.

(51 :N) При тех же предположениях, что и в (51 :М), элементами разлагающего разбиения Пг являются 10 и одноэлементные множества (i) для всех i £ I - 10.

Доказательство. Все (i), где i £ I - /0, принадлежат Пг.

По (51 :М) I - 10 есть разлагающее множество, образующее несущественную компоненту Н. Поэтому каждое (i) (i £ I - /0) есть разлагающее множество для Н (на основании, например, (43:J) из п. 43.4.1), а поэтому и для Г (на основании (43:D) из п. 43.3.1). Будучи одноэлементным множеством, (г),неизбежно минимально. Поэтому оно принадлежит Пг,

30 Дж. Нейман, О. Моргенштерн



10 принадлежит Пг. Io есть разлагающее множество по (51 :М). Если / есть разлагающее множество 0, то (51 :L) применимо к / или к I-J. Поэтому либо / з 70, либо I - J з I0, I0(]J = 0. Оба случая исключают / cz 10. Таким образом, 10 минимально. Поэтому оно принадлежит Пг.

Никакие другие / не принадлежат Пг. Любое другое / из Пг должно не пересекаться с 10 и со всеми (i) (i £ I - 10) (на основании (43:F) из 43.3.2). Так как объединение этих множеств есть 7, должно быть / = 0; но 0 не может быть элементом Пг (см. начало п. 43.3.2).

Таким образом, доказательство завершено.

51.7.3. Комбинация (43:К) из п. 43.4.1 и (51 :N) г) дает следующее.

(51:0) Простая игра Г неразложима тогда и только тогда, когда Io = /, т. е. когда все ее участники значимы.

В заключение докажем следующее утверждение:

(51 :Р) Простая игра обладает ровно одной /-компонентой, которая проста и неразложима. При этом / = 10.

Доказательство. /0-компонента может быть образована, и она проста по (51 :М).

Рассмотрим теперь простую /-компоненту. Тогда она имеет, по (51 :К), то же самое Wm и те же самые значимые элементы, что и Г. Таким образом, множество ее значимых элементов есть 1"0, но, по (51:0), неразложимость / компоненты эквивалентна / = /0.

Назовем /0-компоненту А0 игры Г ее ядром. Все остальные участники игры, т. е. элементы множества / - /0, суть «болваны». (См. (51 :М) или (51 :N) и последнюю часть п. 43.4.2). Поэтому все, что происходит в игре Г, осуществляется в ее ядре Д0. Чтобы увидеть это, достаточно применить первое замечание из п. 51.6.

§ 52. ПРОСТЫЕ ИГРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ П

52.1. Случаи п = 1, 2 интереса не представляют.

Описание случая п = 3

52.1. Нашей дальнейшей-целью является перечисление всех простых игр для небольших значений п. Мы предполагаем проводить этот казуистический анализ до тех пор, пока это необходимо для получения примеров, упомянутых в п. 51.2 (см. сноску 2 на стр. 444), в п. 50.7.2 (см. сноски 2, 3, 4 на стр. 452) и в п. 50.8.2 (см. сноски 1,2 на стр. 454).

Так как каждая простая игра существенна, мы должны рассматривать игры при пЗ.

Для п = 3 ситуация следующая. Единственная существенная игра трех лиц проста и описывается символом [1, 1, 1] 2).

Таким образом, начиная отсюда, мы можем предполагать, что п 4.

52.2. Процедура для п7>:4. Двухэлементные множества и их роль в классификации Wm

52.2.1. Пусть дано п 4. Мы хотим перечислить все простые игры при данном п. Для того чтобы сделать это, удобно ввести принцип дальнейшей классификации этих игр, который §есьма эффективен для небольших значений п.

1) Или более прямо (43:К) из п. 43.4.1 с (51:L), (51:М). 2) См. (50:А) в п. 50.1.1 и последнее замечание в п. 50.2.2.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [ 151 ] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]